1

a

$s^{″} = 1,6$ , dus $1,6$ m/s².

b

$s = 1,8 t^{2}$

2

$y^{″} = x^{4}$	$y^{″} = 4$
$y^{″} = 6 a x + 2 b$	$y^{″} = ‐ \frac{1}{x \sqrt{x}} + \frac{1}{x^{3}}$

3

a

$v_{A} (t) = 2 t$ en $v_{B} (t) = 3 t^{2} - 6 t + 4$ .

b

$3 t^{2} - 6 t + 4 = 2 t \Leftrightarrow 3 t^{2} - 8 t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 2) (3 t - 2) = 0$ , dus $t = 2$ of $t = \frac{2}{3}$ .

c

Ze reden naast elkaar. $A$ haalde $B$ bijna in.

d

De versnelling is constant gelijk aan $2$ .

e

$v_{B} (t) = 3 {(t - 1)}^{2} + 1$ , die is dus minimaal $1$ als $t = 1$ .
De versnelling $a_{B}$ van $B$ is $a_{B} (t) = 6 t - 6$ , dus op $t = 1$ is de versnelling $0$ .
Je kunt ook zeggen: $v_{B} (t)$ is minimaal als zijn afgeleide, dus $a_{B} (t) = 6 t - 6 = 0$ .

4

a

Als $t = 2,75$ , dan is de raaklijn aan de grafiek het steilst.

b

Vóór $t = 2,75$ neemt de snelheid toe, dus dan is de versnelling positief.
Na $t = 2,75$ neemt de snelheid af, dus dan is de versnelling negatief.

5

Voor $f$ : de helling in de buurt van het punt $(2,3)$ neemt toe, dus de tweede afgeleide is positief.
Voor $g$ : de helling in de buurt van het punt $(2,3)$ neemt af, dus de tweede afgeleide is negatief.
Voor $h$ : de helling vóór het punt $(2,3)$ neemt af, en neemt toe na dit punt, dus de tweede afgeleide is nul.
Voor $j$ : de helling vóór het punt $(2,3)$ neemt toe, en neemt af na dit punt, dus de tweede afgeleide is nul.

6

a

De grafiek is toenemend dalend op $[0,4]$ en afnemend dalend op $[4,6]$ .
Voor een mogelijke grafiek, zie figuur.

b

$f^{″} (x) < 0$ als $x < 4$ , want $f^{'} (x)$ neemt af op $[0,4]$ .
$f^{″} (x) > 0$ als $x > 4$ , want op $[4,6]$ neemt $f^{'} (x)$ toe.

c

$f^{″} (4) = 0$

7

a

Een van de figuren hieronder.

b

$f^{'} (b)$ is de kleinste waarde van $f^{'} (x)$ op het interval $[a, b]$ ; de grafiek van $f$ heeft een buigpunt met eerste coördinaat $b$ .

8

a

-

b

De helling van de functie neemt af voor negatieve waarden van $x$ en toe voor positieve waarden van $x$ .

c

$f^{″} (x) = 6 x$ is negatief voor negatieve $x$ en positief voor positieve waarden van $x$ .

d

$(0,0)$

e

$f^{'} (0) = ‐ 12$

9

$f^{'} (x) < 0$ en $f^{″} (x) > 0$	$g^{'} (x) < 0$ en $g^{″} (x) < 0$
$h^{'} (x) > 0$ en $h^{″} (x) < 0$	$k^{'} (x) > 0$ en $k^{″} (x) > 0$

10

We zoeken de waarden van $x$ waarvoor $f^{'} (x) < 0$ en $f^{″} (x) > 0$ .
$f^{'} (x) = x^{3} - 12 x^{2}$ , dus $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x < 12$ (en $x \neq 0$ ).
$f^{″} (x) = 3 x^{2} - 24 x$ , dus $f^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow x > 8$ of $x < 0$ .
Dus is de grafiek van $f$ afnemend dalend op het interval $[8,12]$ en op het interval $〈 \leftarrow, 0]$ .

11

a

$f^{'} (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$
Voor $x$ moet gelden: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (x^{2} - 5) = 0 \Leftrightarrow x = ‐ \sqrt{5}$ , $x = ‐ 1$ , $x = 1$ of $x = \sqrt{5}$ .

b

Noem de eerste coördinaat $x$ . Dan geldt: $f^{″} (x) = 0$ . Let op, bekijk ook opgave 84.
$f^{″} (x) = 4 x^{3} - 12 x$ , dus $f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow x = ‐ \sqrt{3}$ of $x = 0$ of $x = \sqrt{3}$ .

c

$‐ \sqrt{3} < x < ‐ 1$ of $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$

d

$f^{'} (0) = 5$ , dus een vergelijking is: $y = 5 x + 2$ .

12

a

$f^{'} (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x^{4}$
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{3} (1 - \frac{1}{4} x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ of $x = 4$
In de grafiek is te zien dat $f (x)$ extreem is voor $x = 0$ en $x = 4$ .

b

$f^{″} (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ en $f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} (3 - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ of $x = 3$ .
Alleen in het punt met eerste coördinaat $x = 3$ heeft de grafiek een buigpunt.

13

$y^{″} (x) = 6 a x + 2 b = 0 \Leftrightarrow x = ‐ \frac{b}{3 a}$ . De tweede afgeleide wisselt daar ook van teken.