In paragraaf 2 heb je vergelijkingen met machten van x opgelost. Hieronder volgen er nog enkele.

1

Los de volgende vergelijkingen in x exact op (van links naar rechts). Schrijf het antwoord zonder negatieve en gebroken exponenten.
Let op. Een gebroken macht van x bestaat alleen voor positieve  x .

x 3 = 2 x 2

x 3 = 2 x 2

x 5 = 2 x 2

x 5 = 2 x 2

x 6 = 2 x 2

x 6 = 2 x 2

x 3 = 2 x 1 3

x 3 = 2 x 1 3

x = 2 x

x = 2 x + 3

x 2 = 2 x 3

x 1 3 = 2 x 2 3

Om te kunnen differentiëren moet je wortels als gebroken machten kunnen schrijven en omgekeerd.

2

a , b en c zijn positieve gehele getallen.

a

Schrijf in de vorm: a b c .

a b 2 c 3

a b 2 c 3 3

a b 2 c 3 a b c

a b 2 c 3 a b c

b

Schrijf zonder gebroken en negatieve exponenten.
Gebruik hoogstens één wortelteken.

a 1 2 b 1 2

a 1 2 b 1 3

a 1 2 b 1 2

a 1 2 b 1 3

c

Vereenvoudig zo veel mogelijk: a 2 ( 8 b ) 1 4 c 1 2 a b c 3 2 .

In de theorie vóór opgave 17 is de zogenaamde samengestelde breuk 1 x 1 a x a , dat is een breukvorm waarvan teller en/of noemer ook een breukvorm bevat, vereenvoudigd tot de enkelvoudige breuk 1 a x .
Dat gaat zo:
1 x 1 a x a = x a x a 1 x 1 a x a = a x x a ( x a ) = a x x a ( a x ) = 1 x a .

3

Schrijf de volgende vormen als een zo eenvoudig mogelijke enkelvoudige breuk.

1 x 1 x 2 1 x 3

x 1 x x 1

( x a ) 2 1 x a

1 a 1 x x a

4

Als y = x + 1 x , dan d y d x = x 1 2 x ( x + 1 ) x .

a

Ga dat na.

b

Laat zien dat d y d x = x 1 2 x x .

c

Laat zien dat y = x 1 2 x 1 2 en dus: d y d x = 1 2 ( x 1 2 x 1 1 2 ) .

d

Laat zien dat: x 1 2 x x = 1 2 ( x 1 2 x 1 1 2 ) .

e

Laat zien dat x 1 x x + 1 vereenvoudigd kan worden tot x 1 x .

5

Bekijk de functie y = x + 2 x 2 4 .

a

Je kunt x + 2 x 2 4 vereenvoudigen.
Doe dat.

b

Bereken d y d x , door eerst y te vereenvoudigen.

c

Bereken d y d x , zonder eerst y te vereenvoudigen.
Vereenvoudig je antwoord tot het antwoord uit het vorige onderdeel.

6

Differentieer:

a

y = x + 1 x

y = x + 1 3 1 3 x

y = 2 x + 1 x

y = 2 x + 1 3 1 3 x

y = x 2 + 1 x

y = x 2 + 1 3 1 3 x 2

b

y = ( x 1 ) 5

y = 4 x 1

y = ( 2 x 1 ) 5

y = 4 2 x 1

y = ( x 2 1 ) 5

y = 4 x 2 1

c

y = 3 2 x

y = ( 2 x ) 3

y = x 2 x

y = x ( 2 x ) 3

y = x 2 2 x

y = x 2 ( 2 x ) 3

d

y = 1 x 3 + x 2 x

y = 2 x + 3 4 x + 2

y = x x 3 + x 2 x

y = 2 x + 1 4 x + 2

y = x 2 x 3 + x 2 x

y = x 2 + 1 x 2 1

7

Bereken bij elk van de functies uit opgave 6 algebraïsch voor welke x de afgeleide gelijk aan 0 is.