Formules voor sinus en cosinus

Twee kogeltjes maken een beweging over de eenheidscirkel.
De bewegingsvergelijkingen zijn voor kogeltje 1: ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin (t) \end{cases}$
en voor kogeltje 2: ${\begin{cases} x = \cos (t + \frac{1}{4} π) \\ y = \sin (t + \frac{1}{4} π) \end{cases}$ .
Het tweede kogeltje heeft dus een booglengte van $\frac{1}{4} π$ voorsprong op het eerste kogeltje.

Bepaal de tijdstippen $t$ tussen $0$ en $2 π$ waarop de kogeltjes op gelijke hoogte zijn.

Bepaal de tijdstippen $t$ tussen $0$ en $2 π$ waarop de kogeltjes dezelfde $x$ -coördinaat hebben.

In opgave 24a heb je oplossingen gevonden van de vergelijking: $\sin (t) = \sin (t + \frac{1}{4} π)$ , namelijk $t = \frac{3}{8} π$ en $t = 1 \frac{3}{8} π$ .

Vanwege het periodiek karakter van de cirkelbeweging, zijn er meer oplossingen van deze vergelijking.

Alle oplossingen zijn:
$t = \dots, \frac{3}{8} π - 4 π$ , $\frac{3}{8} π - 2 π$ , $\frac{3}{8} π$ , $\frac{3}{8} π + 2 π$ , $\frac{3}{8} π + 4 π$ , $...$ en
$t = \dots, 1 \frac{3}{8} π - 4 π$ , $1 \frac{3}{8} π - 2 π$ , $1 \frac{3}{8} π$ , $1 \frac{3}{8} π + 2 π$ , $1 \frac{3}{8} π + 4 π$ , $...$

We schrijven die oplossingen zó op:
$t = \frac{3}{8} π + k \cdot 2 π$ of $t = 1 \frac{3}{8} π + k \cdot 2 π$ , met $k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ , $...$ .

Het rijtje $t = \dots, \frac{3}{8} π - 4 π$ , $\frac{3}{8} π - 2 π$ , $\frac{3}{8} π$ , $\frac{3}{8} π + 2 π$ , $\frac{3}{8} π + 4 π$ , $...$ kun je op meer manieren kort noteren.
Zó: $t = 2 \frac{3}{8} π + k \cdot 2 π$ , en ook zó:
$t = ‐ 1 \frac{5}{8} π + k \cdot 2 π$ met $k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ , $...$ .
Ga dat na.

Opmerking:

In plaats van $k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ , $...$ schrijven we ook wel $k$ geheel, of we laten dat weg en nemen stilzwijgend aan dat $k$ geheel is.

In opgave 24b heb je oplossingen van de vergelijking
$\cos (t) = \cos (t + \frac{1}{4} π)$ gevonden.

Schrijf alle oplossingen van deze vergelijking op. Gebruik de bovenstaande notatie.

Hiernaast is de eenheidscirkel getekend met daarop het punt $P (\cos (t), \sin (t))$ .

Teken op het werkblad de punten $Q (\cos (‐ t), \sin (‐ t))$ ,
$R (\cos (π + t), \sin (π + t))$ en $S (\cos (π - t), \sin (π - t))$ .

$P$ en $Q$ liggen symmetrisch ten opzichte van de $x$ -as, dus:

$\cos (t) = \cos (‐ t)$ en
$\sin (‐ t) = ‐ \sin (t)$ .

Leid net zo af:
$\sin (t + π) = ‐ \sin (t)$
$\cos (t + π) = ‐ \cos (t)$
$\sin (π - t) = \sin (t)$
$\cos (π - t) = ‐ \cos (t)$

In paragraaf 1 hebben we gezien:
$\sin (\frac{1}{2} π - t) = \cos (t)$
$\cos (\frac{1}{2} π - t) = \sin (t)$

Neem een waarde voor $t$ en bereken daarvoor met de GR:
${(\sin (t))}^{2} + {(\cos (t))}^{2}$ .

Verklaar het opmerkelijke resultaat.

(hint)

Gebruik de stelling van Pythagoras.

Opmerking:

In plaats van ${(\sin (t))}^{2}$ schrijven we in het vervolg meestal $\sin^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. Op een zeker tijdstip $t$ geldt: $\cos (t) = \frac{4}{5}$ .

Teken de eenheidscirkel en geef daarop zo goed mogelijk de plaatsen aan waar het kogeltje zich kan bevinden.

Bereken de $y$ -coördinaat bij elke positie, zonder rekenmachine.

Bereken exact: $\cos (t + π)$ en $\sin (t - \frac{1}{2} π)$ .

Voorbeeld:

Door in formules te substitueren krijg je andere formules.
Als je bijvoorbeeld in formule 8 in plaats van $t$ invult $t + \frac{1}{2} π$ krijg je: $\cos (\frac{1}{2} π - (t + \frac{1}{2} π)) = \sin (t + \frac{1}{2} π)$ .
En $\cos (\frac{1}{2} π - (t + \frac{1}{2} π)) = \cos (‐ t) = \cos (t)$ (dit laatste volgens formule 2).
Dus vind je een nieuwe formule: 9. $\sin (t + \frac{1}{2} π) = \cos (t)$ .
Dat dit een goede formule is, kun je natuurlijk ook in de eenheidscirkel controleren.

Druk uit in $\cos (t)$ of $\sin (t)$ :

$\cos (t + \frac{1}{2} π)$ , $\sin (t + 3 π)$ , $\cos (‐ t + 2 \frac{1}{2} π)$ en $\sin (t + 1 \frac{1}{2} π)$ .

We verzamelen de formules.

$\cos (t) = \cos (‐ t)$
$\sin (‐ t) = ‐ \sin (t)$
$\sin (t + π) = ‐ \sin (t)$
$\cos (t + π) = ‐ \cos (t)$
$\sin (π - t) = \sin (t)$
$\cos (π - t) = ‐ \cos (t)$
$\sin (\frac{1}{2} π - t) = \cos (t)$
$\cos (\frac{1}{2} π - t) = \sin (t)$
$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$ (stelling van Pythagoras)
$\cos (t + \frac{1}{2} π) = ‐ \sin (t)$
$\sin (t + \frac{1}{2} π) = \cos (t)$

Formules toepassen

Gegeven is de functie:
$y = \sin (x) + \sin (x + \frac{1}{2} π) + \sin (x + π) + \sin (x + 1 \frac{1}{2} π)$ .

Teken de grafiek op de GR.

Verklaar het opmerkelijke resultaat met de formules hierboven.

Teken op de GR de grafieken van:
$y = \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x)$ en $y = {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$ .
Verklaar het opmerkelijke resultaat.

(hint)

Stelling van Pythagoras, formule 9.

Bewijs:
$\sin^{2} (x) + \sin^{2} (x + \frac{1}{2} π) + \sin^{2} (x + π) + \sin^{2} (x + 1 \frac{1}{2} π) = 2$ .
Schrijf op welke formules je gebruikt.

Laat zien dat $\sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

Laat zien dat $\sin (3 t - 1) + \sin (1 - 3 t) = 0$ voor alle $t$ geldt.

Laat zien dat $\cos (3 t - 1) + \cos (1 - 3 t) = 0$ niet voor alle $t$ geldt.
Zoek één waarde van $t$ met $\cos (3 t - 1) + \cos (1 - 3 t) = 0$ .

Laat zien dat voor alle $x$ geldt: $\cos (x + \frac{1}{3} π) + \sin (x - \frac{1}{6} π) = 0$ .

Bereken langs algebraïsche weg:
$\sin^{2} (\frac{2}{14} π) + \sin^{2} (\frac{3}{14} π) + \sin^{2} (\frac{4}{14} π) + \sin^{2} (\frac{5}{14} π)$ .

(hint)

Bereken die som op de GR en probeer de uitkomst via de eenheidscirkel te verklaren.

Gegeven is de beweging: ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin^{2} (t) \end{cases}$ .

Teken de beweging op de GR.

De baan is een deel van een parabool met top $(0,1)$ , dus met vergelijking $y = p \cdot x^{2} + 1$ , voor zekere $p$ .

Bepaal de waarde van $p$ .

Toon aan dat elk punt $(\cos (t), \sin^{2} (t))$ aan de vergelijking van de parabool voldoet.

Een dynamo geeft een wisselspanning $V = 20 \cdot \sin (\frac{1}{5} π t)$ , $V$ in volt en $t$ in seconden.

Hoe ontstaat de grafiek van de functie $V$ uit die van de sinusfunctie?

Wat is de periode van $V$ ? Hoeveel periodes zijn er per seconde (de zogenaamde frequentie)?

De gemiddelde waarde van $V$ is $0$ .

Wat is de maximale (positieve) afwijking hiervan, de zogenaamde amplitude?