8.3  Vergelijkingen met sinus en co >
Voorbeeld:

Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2 π zo dat sin ( t ) = 0,4 .
Welke waarden zijn dat?

In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je rekenmachine levert je één van deze twee waarden via de inverse van de sinus: sin 1 ( 0,4 ) = 0,4115168... .
De andere waarde vind je door het bijbehorende punt te spiegelen in de y -as: π 0,4115168 =   2,7300758... .

1

Bereken (in drie decimalen nauwkeurig) de getallen t tussen 0 en 2 π waarvoor sin ( t ) de volgende waarden heeft.
Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.

sin ( t ) = 0,7
sin ( t ) = 0,3
sin ( t ) = 1,2
sin ( t ) = 1,0

2

In het voorbeeld hierboven heb je de getallen t gevonden tussen 0 en 2 π waarvoor geldt: sin ( t ) = 0,4 .

Geef ook de getallen t tussen 2 π en 4 π met sin ( t ) = 0,4 .
En de getallen t tussen 4 π en 6 π met sin ( t ) = 0,4 .

Opmerking:

Alle oplossingen van de vergelijking sin ( t ) = 0,4 zijn:
0,412 + k 2 π en 2,730 + k 2 π met k geheel. Zie opgave 24.

Voorbeeld:

Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2 π zo dat cos ( t ) = 0,4 .
Welke waarden zijn dat?

In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven. Je rekenmachine levert je één van deze twee waarden: 1,1592795... .
Door het bijbehorende punt te spiegelen in de x -as, vind je nog een oplossing: ‐1,1592795... .
De andere oplossing tussen 0 en 2 π is: ‐1,1592795... + 2 π = 5,1239058... .

3

Bereken de getallen t tussen 0 en 2 π waarvoor de cos ( t ) de volgende waarden heeft. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.

cos ( t ) = 0,7
cos ( t ) = 0,3
cos ( t ) = 1,2
cos ( t ) = 1,0

4

Twee kogeltjes bewegen, het eerste volgens: { x = cos ( t ) y = sin ( t )
het tweede volgens: { x = cos ( 2 t ) y = sin ( 2 t ) .

a

Geef op de eenheidscirkel zo nauwkeurig mogelijk de punten aan waar het eerste kogeltje is als beide kogeltjes op gelijke hoogte zijn. (Dat zijn vier plaatsen.)

b

Bepaal exact de tijdstippen tussen 0 en 2 π waarbij de kogeltjes gelijke hoogte hebben.

5

Gegeven twee functies: y 1 = sin ( 2 x ) en y 2 = sin ( 3 x ) .

a

Teken de grafieken van beide functies op de GR.
Geef van beide de periode.

De vergelijking sin ( 2 x ) = sin ( 3 x ) heeft x = 1 5 π als exacte oplossing.

b

Controleer dat zonder je rekenmachine te gebruiken.

De tekening van de grafieken op de GR doet vermoeden dat de oplossingen van de vergelijking sin ( 2 x ) = sin ( 3 x ) ook periodiek zijn.

c

Heb je een vermoeden over de periode?

d

Bepaal de exacte oplossingen van de vergelijking:
sin ( 2 x ) = sin ( 3 x ) voor 0 x 1 1 2 π (bijvoorbeeld met behulp van je vermoeden).
Als je dit moeilijk vindt, kun je deze vraag meer rekentechnisch oplossen: zie voorbeeld 1 van paragraaf 6.

6

Gegeven zijn twee functies: y 1 = sin ( x ) en y 2 = sin 2 ( x ) .

a

Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode.

b

Los op zonder GR: sin 2 ( x ) = sin ( x ) , voor 0 x 2 π .

(hint)
Noem sin ( x ) = y , los dan eerst de vergelijking in y op.
7

Gegeven zijn twee functies: y 1 = sin ( x ) en y 2 = 2 sin 2 ( x ) .

a

Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode.

b

Los op zonder GR: sin ( x ) = 2 sin 2 ( x ) , voor 0 x 2 π .

8

Gegeven zijn twee functies: y 1 = 3 sin ( x ) en y 2 = 2 cos 2 ( x ) .

a

Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode.

b

Los op zonder GR: 3 sin ( x ) = 2 cos 2 ( x ) , voor 0 x 2 π .

(hint)
Vervang 2 cos 2 ( x ) door 2 2 sin 2 ( x ) .