De somformules afleiden

Geldt: $\sin (\frac{1}{4} π) + \sin (\frac{1}{4} π) = \sin (\frac{1}{2} π)$ ?

Gegeven is de functie $y = \sin (x) + \cos (x)$ .

Teken de grafiek van deze functie op de GR.

Zo te zien krijg je weer een mooie sinusoïde. Vanwege symmetrie in de grafieken van sinus en cosinus, kun je wel vermoeden voor welke waarde van $x$ het maximum van $y$ bereikt wordt en wat het exacte maximum van $y$ is.

Bepaal de exacte coördinaten van de eerste top van de grafiek na de oorsprong.

Als de grafiek van $y$ een perfecte sinusoïde is, dan geldt:
$y = \sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{1}{4} π)$ .

Teken de grafiek van de functie $y = \sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{1}{4} π)$ op de GR bij de functie die je al getekend hebt.

In opgave 45 van de vorige paragraaf heb je de grafiek van $y = 2 \sin^{2} (x)$ op de GR getekend.
Deze ziet er ook weer als een sinusoïde uit.

Geef de exacte coördinaten van de eerste top na de oorsprong van de grafiek.
Wat is de periode van $y$ ?

Het ziet er naar uit dat $y = 1 - \cos (2 x)$ dezelfde functie is.

Teken de grafiek van $y = 1 - \cos (2 x)$ op de GR.

De vermoedens in de vorige twee opgaven kunnen we exact bewijzen met de somformules.
Om de somformules af te leiden gebruiken we meetkunde.

$\vec{p}$ , $\vec{q}$ en $\vec{v}$ zijn vectoren met beginpunt $O$ en eindpunt op de eenheidscirkel.
$\vec{p}$ en $\vec{q}$ staan loodrecht op elkaar. $\vec{v}$ is ontbonden langs de lijnen $O P$ en $O Q$ . Verder, zie figuur.

Toon aan: $\vec{v} = \cos (α) \cdot \vec{p} + \sin (α) \cdot \vec{q}$ .

Zie figuur, de vectoren $\vec{p}$ en $\vec{q}$ staan loodrecht op elkaar.

Er geldt: $\vec{p} = (\begin{matrix} \cos (β) \\ \sin (β) \end{matrix})$ .

Geef de kentallen van $\vec{q}$ .

Dus volgens de vorige vraag geldt:
$\vec{v} = \cos (α) \cdot (\begin{matrix} \cos (β) \\ \sin (β) \end{matrix}) + \sin (α) \cdot (\begin{matrix} ‐ \sin (β) \\ \cos (β) \end{matrix})$ .

Laat zien dat hieruit volgt:
12. $\cos (α + β) = \cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β)$ en
13. $\sin (α + β) = \sin (α) \cdot \cos (β) + \cos (α) \cdot \sin (β)$ .

Schrijf met behulp van formule 13:
$\sin (x + \frac{1}{4} π) = \dots \cdot \cos (x) + \dots \cdot \sin (x)$ , met exacte getallen op de stippellijnen.

Ga na dat uit a volgt:
$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{1}{4} π)$ .
Zie opgave 48.

Door handige substitutie in de formules 12 en 13 vind je:
14. $\cos (α - β) = \cos (α) \cdot \cos (β) + \sin (α) \cdot \sin (β)$ en
15. $\sin (α - β) = \sin (α) \cdot \cos (β) - \cos (α) \cdot \sin (β)$ .

Ga dat na.

De somformules toepassen

Laat zien dat de formules 3, 4, 7, 8 en 9 speciale gevallen van de formules 12, 13, 14 en 15 zijn.

Van twee hoeken α en β is gegeven:
$\sin (α) = \frac{3}{5}$ en $\cos (β) = ‐ \frac{12}{13}$ .

Geef α en β zo goed mogelijk op de eenheidscirkel aan. Voor beide zijn er twee mogelijkheden, kies voor beide de kleinste positieve.

Bereken $\cos (α)$ en $\sin (β)$ .

Bereken $\sin (α + β)$ en $\cos (α - β)$ .

Leid uit de formules 12 en 13 af:
$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cdot \cos (x)$ en $\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

Gebruik formule 9 om uit het vorige onderdeel af te leiden: $\cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

Dus:
16. $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cdot \cos (x)$ en
17. $\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

In opgave 49 heb je met de GR gezien dat de grafiek van de functie $y = 2 \sin^{2} (x)$ een sinusoïde is.
Wil je dit aantonen, dan moet je $y$ schrijven in de vorm:
$y = a + b \sin (c x + d)$ voor zekere getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .

Doe dat met behulp van formule 17. Wat zijn de waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ ?

Laat zien dat de grafiek van $y = 2 \cos^{2} (x)$ een sinusoïde is.
Wat zijn de waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ ?

We zetten de formules bij elkaar.

$\cos (t) = \cos (‐ t)$
$\sin (‐ t) = ‐ \sin (t)$
$\sin (t + π) = ‐ \sin (t)$
$\cos (t + π) = ‐ \cos (t)$
$\sin (π - t) = \sin (t)$
$\cos (π - t) = ‐ \cos (t)$
$\sin (\frac{1}{2} π - t) = \cos (t)$
$\cos (\frac{1}{2} π - t) = \sin (t)$
$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$ (stelling van Pythagoras)
$\cos (t + \frac{1}{2} π) = ‐ \sin (t)$
$\sin (t + \frac{1}{2} π) = \cos (t)$
$\cos (α + β) = \cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β)$
$\sin (α + β) = \sin (α) \cdot \cos (β) + \cos (α) \cdot \sin (β)$
$\cos (α - β) = \cos (α) \cdot \cos (β) + \sin (α) \cdot \sin (β)$
$\sin (α - β) = \sin (α) \cdot \cos (β) - \cos (α) \cdot \sin (β)$
$\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cdot \cos (x)$
$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Opmerking:

De formules 16 en 17 gaan door het leven met de naam verdubbelingsformules.

Laat met behulp van de formules zien dat de functies
$y_{1} = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ en $y_{2} = 1 + \sin (2 x)$ hetzelfde zijn.

Een kogel wordt schuin omhoog geschoten. De kogel beweegt volgens: $x (t) = 20 t$ , $y (t) = 40 t - 5 t^{2}$ .

De $x$ -as is langs de grond gekozen, de $y$ -as loodrecht op de grond en de oorsprong in de vuurmond. De valversnelling is afgerond op $10$ m/s² en de luchtweerstand is verwaarloosd.
Uit de natuurkunde is het volgende bekend.

De snelheid in de $x$ -richting: $v_{x} = x^{'} (t)$ ,
de snelheid in de $y$ -richting: $v_{y} = y^{'} (t)$ .
De snelheidsvector is dus $(\begin{array}{l} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array})$ .
De grootte van de snelheid is $\sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}$ .
De snelheidsvector raakt aan de baan.

Geef in een assenstelsel de plaats van de kogel aan op de tijdstippen $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ en $8$ .
Teken de baan. Controleer je tekening met de GR.

Geef een formule voor de snelheid in de $x$ -richting en de $y$ -richting.
Onder welke hoek (in één decimaal) en met welke snelheid (exact) wordt de kogel afgeschoten?
Teken de snelheidsvector bij $t = 0$ op de bijbehorende plaats in de tekening van a.

Bepaal het hoogste punt van de baan exact. Wat is de snelheidsvector in dat punt? Teken die vector op de goede plaats in je tekening.

Hoelang is de kogel in de lucht? Welke afstand heeft de kogel overbrugd?

Bereken de snelheid waarmee de kogel op de grond komt.

We vragen ons af onder welke hoek (met de grond) je een kogel af moet schieten om hem zo ver mogelijk te laten komen. Als je de hoek groot maakt, kom je niet ver. Als je hem klein maakt, is hij te kort in de lucht om ver te komen.

We nemen aan dat een kogel onder een hoek α met de grond wordt afgeschoten met een snelheid van $80$ m/s.
De bewegingsvergelijkingen (onder dezelfde voorwaarden als in de vorige opgave) zijn dan: $x (t) = 80 t \cdot \cos (α)$ en $y (t) = 80 t \cdot \sin (α) - 5 t^{2}$ .

Teken voor enkele waarden van α de baan op de GR.

De vliegtijd van de kogel noemen we $T$ en de afstand die de kogel overbrugt $A$ . (Dus de kogel treft de grond op tijdstip $T$ in $(A,0)$ .)

Druk $T$ uit in α. Bij welke α is de vliegtijd maximaal?

Laat zien dat $A = 1280 \cdot \sin (α) \cdot \cos (α)$ en dat je dit kunt schrijven als $640 \cdot \sin (2 α)$ .
Bij welke α is $A$ maximaal?

Een kogeltje beweegt volgens de standaardcirkelbeweging. Op zeker tijdstip $t$ tussen $\frac{1}{2} π$ en $π$ is het op hoogte $0,8$ , zie plaatje.

Bereken de exacte waarde van $\cos (t)$ .

Teken zo precies mogelijk de positie waar het kogeltje zich bevindt op tijdstip $2 t$ . Licht je antwoord toe.

Bereken de coördinaten van die positie exact.

Van twee scherpe hoeken in de driehoek hiernaast is gegeven: $\sin (α) = \frac{1}{2}$ en $\sin (β) = \frac{1}{3}$ .

Bereken exact $\cos (α)$ en $\cos (β)$ .

Bereken $\sin (γ)$ exact.

(hint)

Bereken

\sin (α + β)