Formules voor de afgeleide van sinus en cosinus

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. De snelheid van het kogeltje is $1$ . De eerste coördinaat op tijdstip $t$ is $\cos (t)$ en de tweede coördinaat $\sin (t)$ . We zoeken de afgeleide van de functies sin en cos. De afgeleide van sin is de snelheid van het kogeltje in de $y$ -richting en de afgeleide van cos is de snelheid van het kogeltje in de $x$ -richting.
De vier "polen" van de eenheidscirkel noemen we $A$ , $B$ , $C$ en $D$ , zie plaatje.

Bepaal de snelheid in de $x$ -richting en de $y$ -richting als het kogeltje in $A$ , $B$ , $C$ en $D$ is.

Schets de grafiek van de snelheidsfunctie in de $x$ -richting en in de $y$ -richting op het interval $[0,2 π]$ .

In b heb je de afgeleide van de functies sinus en cosinus geschetst.

Controleer je tekeningen met de GR.

Het ziet er naar uit dat deze functies ook weer sinusoïden zijn.

Welke functies zijn de afgeleide van de functie $y = \sin (x)$ en van de functie $y = \cos (x)$ , denk je?

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging.

Teken de snelheidsvector in het punt $(\cos (t), \sin (t))$ .

Om de kentallen van de snelheidsvector te bepalen verschuiven we hem zó, dat hij in de oorsprong begint. Het eindpunt van de vector ligt dan op de eenheidscirkel.

Laat zien dat de snelheidsvector $(\begin{matrix} ‐ \sin (t) \\ \cos (t) \end{matrix})$ is.

Als $f : x \to \sin (x)$ , dan $f^{'} : x \to \cos (x)$ ,
als $f : x \to \cos (x)$ , dan $f^{'} : x \to ‐ \sin (x)$ .

Korter:
$\frac{d \sin (x)}{d x} = \cos (x)$ ; $\frac{d \cos (x)}{d x} = ‐ \sin (x)$ .

Opmerking:

Als je het kogeltje met een hoeksnelheid van bijvoorbeeld $1 °$ /s over de eenheidscirkel laat rondgaan, dan is de lengte van de snelheidsvector niet $1$ , maar $\frac{2 π}{360}$ . De uitdrukkingen in opgave 64 en dus de formules voor de afgeleide worden minder mooi. Dit was een belangrijke reden om de radiaal als hoekmaat te nemen.

Een punt voert een harmonische trilling uit. Zijn uitwijking $u (t)$ op tijdstip $t$ is $100 \cos (t)$ , met $u (t)$ in cm en $t$ in s.

Bereken het eerste tijdstip na $0$ waarop de snelheid (absoluut) $50$ cm/s is.

Goniometrische functies differentiëren

Voorbeeld:

De afgeleide van $y = \sin (2 x)$ kun je als volgt vinden.
$y = \sin (2 x)$ is een ketting van functies:
$x \to 2 x = u \to y = \sin (u)$ .
Dus $\frac{d y}{d x} = \frac{d u}{d x} \cdot \frac{d y}{d u} = 2 \cdot \cos (u) = 2 \cos (2 x)$ .

Voorbeeld
De afgeleide van $y = \sqrt{\cos (x)}$ kun je als volgt vinden.
$y = \sqrt{\cos (x)}$ is een ketting van functies:
$x \to \cos (x) = u \to y = \sqrt{u}$ .
Dus $\frac{d y}{d x} = ‐ \sin (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}} = ‐ \frac{\sin (x)}{2 \sqrt{\cos (x)}}$ .

Voorbeeld
De afgeleide van $y = \sin (x) \cdot \cos (x)$ kun je met de productregel vinden.
$\frac{d y}{d x} = \sin^{'} (x) \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos^{'} (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

Opmerking:

Zie het laatste voorbeeld.
$y = \sin (x) \cdot \cos (x)$ kun je schrijven als $y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$ .
Ga na dat je door $y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$ te differentiëren hetzelfde krijgt als in het laatste voorbeeld.

Bereken de afgeleide van de volgende functies.

$y = \sin^{2} (x)$	$y = \cos^{2} (x)$
$y = x \sin (x)$	$y = x \sin^{2} (x)$
$y = \frac{x}{\cos (x)}$	$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Met differentiëren kun je ook goniometrische formules vinden.

Bepaal de afgeleide van $y = \sin (x + 7)$ .

Volgens formule 13 geldt:
$\sin (x + 7) = \sin (x) \cos (7) + \cos (x) \sin (7)$ .

Differentieer $y = \sin (x) \cos (7) + \cos (x) \sin (7)$ .

Welke formule vind je met behulp van a en b?

Gegeven is de cirkelbeweging ${\begin{matrix} x = 1 + 3 \cos (2 t) \\ y = 2 + 3 \sin (2 t) \end{matrix}$ .

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

Bereken de grootte van de snelheidsvector en schrijf het antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Leg uit hoe je op een andere manier aan het resultaat van b kunt komen.

Gegeven is de beweging ${\begin{cases} x = \cos (t^{2}) \\ y = \sin (t^{2}) \end{cases}$ .

Beschrijf de baan.

Teken de beweging voor $0 \leq t \leq 3$ op de GR.
Doe dat ook nog eens voor $0 \leq t \leq 11$ .

Het lijkt wel alsof er steeds slordiger getekend wordt.

Verklaar dat.

Neem $0 \leq t \leq 11$ .

Hoe vaak wordt het punt $(0,1)$ gepasseerd?
En het punt $(0, ‐ 1)$ ?

De baan wordt niet met constante snelheid doorlopen.

Bepaal de snelheidsvector en bereken de grootte.

Bekijk de functie $y = \sin^{2} (x) + \sin (x)$ , met domein $[0,2 π]$ .

Teken de grafiek op de GR.

Bereken de nulpunten van de functie exact.

Differentieer de functie en bereken de nulpunten van de afgeleide exact.

(hint)

In de afgeleide kun je

\cos (x)

buiten haakjes halen.

Welke waarden kan de functie aannemen?

Bereken exact de hoek waaronder de raaklijn aan de grafiek in $(π,0)$ de $x$ -as snijdt.

Een lijn $k$ snijdt de grafiek van een functie in $S$ .
Met de hoek waaronder de $k$ de grafiek snijdt, bedoelen we de hoek waaronder $k$ de raaklijn aan de grafiek in $S$ snijdt.

Opmerking:

Dus de hoek waaronder de grafiek van de functie uit opgave 70 de $x$ -as in $(π,0)$ snijdt, is $45 °$ .

Gegeven zijn $f : x \to \sin^{2} (x)$ en $g : x \to ‐ \frac{1}{2} \cos (2 x)$ .

Laat zien dat de functies dezelfde afgeleide hebben.

Wat betekent dat voor de grafieken?

Welk verband bestaat er tussen $f$ en $g$ ?

Wat stelt $\frac{\sin (x)}{x}$ voor in het plaatje hiernaast?

Leg uit dat $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ .

Uit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ volgt dat $\sin (x) \approx x$ als $x$ dicht bij $0$ ligt.

Maak een tabel op de GR om $x$ en $\sin (x)$ te vergelijken.

Vul in:
als $x$ dicht bij $0$ , dan $\sin (\frac{1}{2} x) \approx \dots$ en $\sin (\sqrt{x}) \approx \dots$ .

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$

De oppervlakte en omtrek van een cirkel

In figuur 1 is een gelijkbenige driehoek getekend met twee zijden van lengte $1$ . De oppervlakte van de driehoek en de lengte van de derde zijde worden bepaald door de grootte van de hoek α tussen de twee gelijke benen.

Toon aan dat de oppervlakte $\frac{1}{2} \sin (α)$ is.
Toon aan dat de derde zijde $d$ lengte $2 \sin (\frac{1}{2} α)$ heeft.

In figuur 2 is de eenheidscirkel getekend met een regelmatige twaalfhoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen.

Bereken de oppervlakte (exact) en de omtrek (in twee decimalen) van de regelmatige twaalfhoek.

De oppervlakte en de omtrek van de regelmatige twaalfhoek geven een redelijk goede benadering van de oppervlakte en de omtrek van de eenheidscirkel. Je krijgt een betere benadering als je in plaats van een twaalfhoek bijvoorbeeld een twintighoek neemt.
Als $n$ willekeurig groot wordt, dan naderen de oppervlakte en de omtrek van de regelmatige $n$ -hoek in de eenheidscirkel tot de oppervlakte en de omtrek van de eenheidscirkel.

Toon aan dat de oppervlakte van de regelmatige $n$ -hoek in de eenheidscirkel $\frac{1}{2} n \cdot \sin (\frac{2 π}{n})$ is en de omtrek $2 n \cdot \sin (\frac{π}{n})$ .

Voor $\frac{2 π}{n}$ schrijven we $x$ .

Laat zien dat de oppervlakte van de regelmatige $n$ -hoek geschreven kan worden als $π \cdot \frac{\sin (x)}{x}$ en de omtrek als
$2 π \cdot \frac{\sin (\frac{1}{2} x)}{\frac{1}{2} x}$ .

Hoe groter $n$ , hoe dichter $x$ bij $0$ komt en hoe beter $π \cdot \frac{\sin (x)}{x}$ en $2 π \cdot \frac{\sin (\frac{1}{2} x)}{\frac{1}{2} x}$ de oppervlakte en de omtrek van een cirkel benaderen.
Dus de oppervlakte van de eenheidscirkel is: $\lim_{x \to 0} (π \cdot \frac{\sin (x)}{x}) = π$ en de omtrek is: $\lim_{x \to 0} (2 π \cdot \frac{\sin (\frac{1}{2} x)}{\frac{1}{2} x}) = 2 π$ .

Het aanzicht van een schroeflijn is een sinusoïde