Goniometrische vergelijkingen

In opgave 43 moest je de volgende vergelijking oplossen: $\sin (2 x) = \sin (3 x)$ .
Dat kan door geschikte bogen op de eenheidscirkel te tekenen. Maar je kunt de oplossingen ook vinden door het volgende te gebruiken.

$\sin (x) = \sin (a) \Leftrightarrow$
$x = a + k \cdot 2 π$ of $x = π - a + k \cdot 2 π$ ,

$\cos (x) = \cos (a) \Leftrightarrow$
$x = a + k \cdot 2 π$ of $x = ‐ a + k \cdot 2 π$ ,
voor alle gehele waarden van $k$ .

Bovenstaande volgt onmiddellijk uit symmetrie in de eenheidscirkel.

Voorbeeld:

De oplossingen van de vergelijking $\sin (2 x) = \sin (3 x)$ op het interval $[0,2 π]$ vind je als volgt.
$\sin (2 x) = \sin (3 x) \Leftrightarrow$
$2 x = 3 x + k \cdot 2 π$ of $2 x = π - 3 x + k \cdot 2 π \Leftrightarrow$
$‐ x = k \cdot 2 π$ of $5 x = π + k \cdot 2 π \Leftrightarrow$
$x = k \cdot 2 π$ of $x = \frac{1}{5} π + k \cdot \frac{2}{5} π$ .
De oplossingen tussen $0$ en $2 π$ zijn: $0$ , $\frac{1}{5} π$ , $\frac{3}{5} π$ , $π$ , $1 \frac{2}{5} π$ , $1 \frac{4}{5} π$ , $2 π$ .

Voorbeeld
De exacte oplossingen van de vergelijking $\cos (x) = ‐ \cos (\frac{1}{7} π)$ vind je zó.
Er geldt: $‐ \cos (\frac{1}{7} π) = \cos (1 \frac{1}{7} π)$ , volgens formule 4. Dus:
$\cos (x) = ‐ \cos (\frac{1}{7} π) \Leftrightarrow$
$\cos (x) = \cos (1 \frac{1}{7} π) \Leftrightarrow$
$x = 1 \frac{1}{7} π + k \cdot 2 π$ of $x = ‐ 1 \frac{1}{7} π + k \cdot 2 π$ ,
voor alle gehele waarden van $k$ .

Voorbeeld
De oplossingen tussen $‐ π$ en $2 π$ van de vergelijking
$\cos (x) = 0,2$ benader je zó in drie decimalen.
De GR geeft één oplossing: $\cos^{‐ 1} (0,2) = 1,3694...$ .
Alle oplossingen zijn: $x = \pm 1,3694... + k \cdot 2 π$ met $k$ geheel.
De gezochte oplossingen zijn:
$1,369$ , $‐ 1,369$ , en $‐ 1,3694... + 2 π = 4,914$ .

Geef de oplossingen tussen $0$ en $3 π$ van de volgende vergelijkingen in $2$ decimalen.

$\cos (x) = 0,3$	$\cos (x) = ‐ 0,3$
$\sin (x) = 0,3$	$\sin (x) = ‐ 0,3$

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op met $0 \leq x \leq 2 π$ .

$\sin (x) = \sin (\frac{1}{3} π)$	$\cos (x) = \cos (\frac{1}{3} π)$
$\sin (x) = \sin (4 x)$	$\cos (x) = \cos (4 x)$

$\sin (x) = ‐ \sin (x)$

$\cos (x) = ‐ \cos (x)$

$\sin (x) = \cos (\frac{1}{3} π)$

$\cos (x) = \sin (\frac{1}{3} π)$

(hint)

Formule 8, je krijgt:

\cos (x) = \sin (\frac{1}{2} π - x)

$\sin (x) = \cos (x)$	$\sin (x) = ‐ \cos (x)$
$\sin (x) = \sin (x + 2)$	$\cos (x) = \cos (x + 2)$

Los de volgende vergelijkingen exact op met $0 \leq x \leq 2 π$ .

$\sin (x) = \sin (3 x - 2 \frac{1}{4} π)$

$\cos (x + \frac{1}{4} π) = \cos (2 x - 1 \frac{1}{4} π)$

$\sin (x - \frac{5}{6} π) = \cos (x)$

$\sin (x) = ‐ \cos (\frac{1}{7} π)$

$\sin (x + \frac{1}{4} π) = ‐ \cos (x)$

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

In opgave 46 moest je de volgende vergelijking oplossen: $3 \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$ . In de volgende opgave staan soortgelijke vergelijkingen.

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

$\cos (2 x) + \cos (x) + 1 = 0$

(hint)

formule 17

$\cos^{2} (x) + 3 \sin (x) = 3$

$\cos (2 x) = 1 - \sin (x)$

In opgave 58 moest je laten zien dat ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$ , voor alle $x$ .

We noemen deze gelijkheid een goniometrische identiteit.

Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

$\frac{\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x)}{\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)} = \frac{\sin (x + \frac{1}{3} π)}{\sin (x - \frac{1}{3} π)}$

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}} = \frac{1 + \sin (2 x)}{1 - \sin (2 x)}$

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x) + \cos (x)} = \cos (x) - \sin (x)$

$\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} = 2 \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)}$

$\frac{\cos (2 (x - \frac{1}{4} π))}{\cos (x - \frac{1}{2} π)} = 2 \cos (x)$

Los de volgende vergelijkingen exact op.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \cos (x)$

$2 \cos^{2} (x) + \sin (2 x) = 0$

(hint)

formule 16

$2 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x + \frac{1}{4} π)$

$4 \sin^{3} (x) = 3 \sin (2 x)$

$\cos (x + \frac{1}{4} π) \cdot \cos (x - \frac{1}{4} π) = \sin (x) \cdot \cos (x)$

Bewijs de volgende identiteiten.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

$\sin^{6} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) + \cos^{6} (x) = 1$

$\cos^{2} (y) - \sin (x + y) \sin (x - y) - \cos^{2} (x) = 0$