8.8  Extra opgaven
1

Gegeven is de functie f : x 5 + 2 sin ( 3 ( x 1 4 π ) ) .

a

Bepaal zonder GR welke waarden y aan kan nemen. Licht je antwoord toe.

b

Bepaal zonder GR de oplossingen x van de vergelijking y = 4 .
Hoeveel oplossingen zijn er als π x 2 π ?

De hoek waaronder de lijn y = 4 de grafiek van f snijdt is in elk snijpunt hetzelfde.

c

Leg dat uit en bereken de hoek in graden nauwkeurig.

2

Een kogeltje beweegt volgens { x = 1 + 2 cos ( 3 t 1 2 π ) y = 5 + 2 sin ( 3 t 1 2 π ) .

a

Welke beweging wordt door deze parametervoorstelling beschreven? (Baan, hoeksnelheid, startpunt, snelheid?)

b

Bereken exact de momenten t tussen 0 en 6 waarop het kogeltje op hoogte 6 is.

3

Gegeven is de cirkelbeweging: { x = 3 + 2 cos ( π ( 1 t ) ) y = 4 + 2 sin ( π ( 1 t ) ) .

a

Geef middelpunt, straal, periode en fasehoek van de beweging.

b

Wat is de grootte van de snelheid van het kogeltje als de afstanden in meters en de tijd in seconden gemeten wordt?

4

Geef een parametervoorstelling van het kogeltje dat met een hoeksnelheid van π  rad/s beweegt over de cirkel met straal 2 en middelpunt ( 1, 3 ) , tegen de wijzers van de klok in en dat op t = 0 in O ( 0,0 ) is ( t in seconden).

5

Een kogeltje gaat in 4 π  seconden een cirkel met straal  3 rond.

a

Wat is de hoeksnelheid (in rad/s) en de snelheid van dat kogeltje?

Op zeker moment is het kogeltje op een hoogte die het π  seconden later weer heeft.

b

Bereken exact hoe ver die punten van elkaar liggen.

6
a

Bereken zonder rekenmachine cos ( t ) als sin ( t ) = 0,96 en t  tussen 1 2 π en π ligt.

b

Bereken in drie decimalen nauwkeurig alle waarden van t  tussen π en π als sin 2 ( t ) = 0,36 .

c

Leg uit dat cos ( 3 8 π ) = sin ( 1 8 π ) = sin ( 7 8 π ) .

7

Gegeven zijn: α en β tussen 1 2 π en π met: sin ( α ) = 1 5 5 en sin ( β ) = 1 2 .

Bereken zonder rekenmachine sin ( α + β ) , cos ( α β ) , sin ( 2 α ) en cos ( 2 α ) .

8

Een kogeltje beweegt volgens { x = t cos ( t ) y = t sin ( t ) , met t > 0 .

a

Bepaal de snelheidsvector bij de beweging.

b

Bereken het moment waarop de snelheid van het kogeltje 3 is exact.

9

De ruit in figuur 1 heeft zijden van lengte 1 . De scherpe hoeken zijn 2 α .

a

Druk de lengte van de diagonalen uit in α.

In figuur 2 staat de eenheidscirkel met S ( 1,0 ) , A ( cos ( 2 α ) , sin ( 2 α ) ) en O P = O S + O A .
Er is een getal k met O P = k ( cos ( α ) sin ( α ) ) .

b

Waarom?

c

Bepaal het getal k exact.

d

Laat zien dat hieruit de verdubbelingsformules volgen.

10

We gaan verder met de vorige opgave.
De helling van lijn O P noemen we m .
Er geldt: m = sin ( α ) cos ( α ) .

a

Ga dat na.

b

Laat zien: de helling van lijn O A is: 2 sin ( α ) cos ( α ) cos 2 ( α ) sin 2 ( α ) .

In hoofdstuk 9 (verdubbeling van de hellingshoek) zul je zien: de helling van lijn O A is: 2 m 1 m 2 .

c

Leid dit af uit b.

11

Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

cos ( 2 x ) + cos ( x ) cos ( x ) + 1 = 2 cos ( x ) 1 en
cos ( x - y ) cos ( x + y ) = cos 2 ( y ) sin 2 ( x ) .

12

Twee kogeltjes bewegen, het een volgens: { x = cos ( t ) + 1 y = sin ( t ) en het ander volgens { x = 2 cos ( 2 t ) + 4 y = 2 sin ( 2 t ) .

a

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de tijdstippen t met 0 t 2 π dat de kogeltjes op dezelfde hoogte zijn.

b

Bereken de tijdstippen tussen 0 en 2 π dat je de kogeltjes vanuit de oorsprong ( 0,0 ) in dezelfde richting ziet.

13

Op de eenheidscirkel liggen de hoekpunten van een regelmatige zeshoek. Eén van de hoekpunten is B ( 3 5 , 4 5 ) .

Bereken exact de coördinaten van hoekpunt A , zie figuur.
Gebruik de somformules.

14

Gegeven is de functie f met f ( x ) = cos 2 ( x ) + cos ( x ) op [ π , π ] .

a

Bereken exact de nulpunten van f ( x ) .

b

Bereken de extreme waarden van f ( x ) exact.