We bekijken het vermoeden uit de Intro voor een speciale ligging van .
De punten en
in driehoek liggen zó, dat loodrecht op staat.
Wat moet je nu laten zien?
De hoogtelijn uit verdeelt hoek in α en β. Je kunt de twee oppervlaktes uitdrukken in , , , α en β.
Ga na dat dit tot het gewenste resultaat leidt.
In hoofdstuk 2 van deel 1 4Vb is de cosinusregel behandeld. In hoofdstuk 5 van deel
2 is het inproduct geïntroduceerd.
De inproductregel hieronder is de 'vertaling' van de cosinusregel in het -vlak.
Inproductregel
. Hierbij is
ϕ de hoek tussen de vectoren en
.
In coördinaten geformuleerd:
Als en
, dan:
.
We bewijzen deze regel in de volgende opgave.
Gegeven zijn de vectoren en . Het zijn de plaatsvectoren van de punten en . Hoek noemen we ϕ.
Druk , en uit in , , en .
De cosinusregel in driehoek luidt:
.
De resultaten van het vorige onderdeel invullen geeft:
.
Ga na dat hieruit volgt: .
Bereken het inproduct van en in de onderstaande gevallen.
Bereken ook de lengtes van en en en gebruik vervolgens de inproductregel om in graden nauwkeurig, zo mogelijk exact, uit te rekenen. Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren.
Bereken in de linker figuur hieronder.
Je krijgt nu een mooi resultaat. Die hoek kun je ook wel eenvoudiger vinden. Hoe?
Bereken in de figuur rechts, met behulp van het inproduct in graden nauwkeurig.
en zijn vectoren en ϕ is de hoek tussen die vectoren.
Bereken exact en
ϕ in graden nauwkeurig in de volgende gevallen:
en
,
en
,
en
.
Als het inproduct van twee vectoren is, staan ze loodrecht op elkaar.
Wat kun je zeggen van de hoek tussen twee vectoren als hun inproduct positief is? En als het negatief is?
In de figuur hiernaast geldt: . We draaien over graden.
Wat wordt het inproduct dan?
en zijn vectoren, niet de nulvector en
ϕ is de hoek tussen die vectoren. Dan
ϕ is scherp,
ϕ is recht,
ϕ is stomp.
De (loodrechte) projectie van een punt op een lijn
is het snijpunt van de lijn door
loodrecht op met lijn .
De (loodrechte) projectie van een lijnstuk
op lijn is lijnstuk
, waarbij
en
de projecties van
en zijn.
Gegeven zijn de punten en op de -as op hoogte en en lijn door met vergelijking . De projectie van op noemen we .
Bereken de coördinaten van exact.
Bereken de (lengte van de) projectie van lijnstuk op .
Gegeven zijn de punten en en de lijn met vergelijking .
We gaan de (lengte van de) projectie van lijnstuk op berekenen, zie figuur 1.
Bereken de lengte van exact.
We verschuiven lijnstuk evenwijdig aan zichzelf totdat één van de eindpunten, in dit geval
op komt, zie figuur 2. Hierbij is terecht gekomen in . Daardoor verandert de lengte van de projectie niet.
Het lijnstuk dat je dan krijgt noemen we en de projectie van op
is
.
De vector is een richtingsvector van
. De hoek tussen en
noemen we ϕ.
Bereken exact met het inproduct.
Bereken de lengte van de projectie van op met behulp van de vorige twee onderdelen.
Je hoeft hiervoor de coördinaten van de
projecties van
en
(of van
en
) niet uit te rekenen!
Het inproduct is ook handig bij het berekenen van projecties. Dat zie je in de volgende stelling.
Stelling
Lijnstuk wordt loodrecht op een lijn
geprojecteerd.
Dan is de lengte van de projectie .
Je kunt de stelling ook in woorden formuleren.
De lengte van de projectie krijg je als volgt.
Neem een richtingsvector van , bereken het inproduct hiervan met
de vector . Neem van het resultaat de absolute waarde en deel door
de lengte van de richtingsvector van die je gekozen hebt.
We berekenen de lengte van de projectie met de stelling voor het geval van opgave 21, zie figuur.
en als richtingsvector van
nemen we .
Het inproduct van en
is , de absolute waarde hiervan ook.
De lengte van is
, dus de lengte van de projectie is: .
Gegeven zijn de punten en
en lijn
met vergelijking . Zie figuur.
We berekenen de lengte van de projectie van op lijn .
Als richtingsvector van nemen we .
, dus het inproduct ; de absolute waarde is ; de lengte van
is
, dus de projectie heeft lengte .
In het laatste voorbeeld zie je wat voor een mooi instrument het inproduct is. De projecties van en zijn geen 'mooie' punten en toch kun je de lengte eenvoudig uitrekenen.
We gaan van figuur 1 over op figuur 2. De projectie van is even lang als
lijnstuk .
De lengte daarvan is .
In de figuur zijn de vectoren en zó gekozen dat de hoek
ϕ die ze maken scherp is.
Als die hoek stomp is, is de lengte van de projectie:
, vandaar dat je de absolute waarde van het inproduct moet nemen.
De punten , en in de figuur zijn roosterpunten.
Bereken de lengte van de projectie van lijnstuk op lijn exact.
Bereken de lengte van de projectie van lijnstuk op lijn .
Een schuit beweegt in de richting
van naar .
Ze wordt voortgetrokken door een paard. De trekkracht van het paard wordt gegeven
door de vector : zie de figuur hieronder.
Voor de voortbeweging van de schuit is alleen de grootte van de projectie van op de richting waarin het schip beweegt van belang.
Bereken de grootte van die projectie.
Een voorwerp met een gewicht van N kan wrijvingsloos bewegen over een vlak .
Er wordt met een kracht van N aan getrokken. Als scheef gehouden wordt, krijgt de trekkracht ‘tegenwerking’ van de zwaartekracht.
Als de hellingshoek van groot genoeg is, zal het voorwerp omlaag glijden.
We brengen het gebruikelijke assenstelsel aan: de positieve -as naar rechts en de positieve -as naar boven.
Neem aan dat richtingsvector heeft.
Bereken de grootte van de projectie van de kracht van N in de richting van vlak . Glijdt het voorwerp naar beneden?
De kracht van N wordt gegeven door .
Neem nu aan dat richtingsvector heeft.
Maak een berekening zoals in a om te bepalen of het voorwerp naar beneden glijdt.
We gaan de kritische waarde van de helling bepalen, dat is de helling van waarbij het voorwerp op het punt staat naar beneden te glijden. De bijbehorende richtingsvector van is , voor zeker getal tussen en .
Stel een vergelijking voor op en bereken hieruit .
In de figuur zijn getekend de punten ,
en
.
is de hoogtelijn uit
van driehoek
, is het midden van
en
ligt op zijde zó, dat de lijnen
, en door één punt gaan.
Bereken exact.
Bereken exact.
Stelling van Ceva.
Een kunstwerk in de vorm van een blok, staat in de stromende regen. Gelukkig waait
het niet, de regen valt verticaal.
In de figuur hiernaast kijken we in de richting van de ribben die evenwijdig met de
grond zijn.
De lengten van de ribben die niet evenwijdig met de grond zijn noemen we en , met .
De hoek die de ribben van lengte met de grond maken noemen we ϕ.
Heb je enig idee hoe groot ϕ moet zijn opdat er zoveel mogelijk droog blijft onder het blok en ook opdat er zo weinig mogelijk droog blijft?
We gaan vectoren gebruiken om deze vraag te beantwoorden.
Hiernaast is de cirkel met middelpunt en straal getekend, de zogenaamde eenheidscirkel. De vector met eindpunt tussen en op de eenheidscirkel maakt een hoek ϕ met de positieve -as. We schrijven: .
Toon aan: .
Ga na dat de lengte van het stuk in de tekening dat droog blijft gelijk is aan .
Voor welke ϕ is maximaal en voor welke ϕ minimaal? Licht je antwoord toe.
Bereken met de GR de uitkomst van
.
(Zet de GR in de stand Degree.)
Een mooie uitkomst!
In de figuur hiernaast is
,
en
.
Bewijs: .
Gebruik de figuur.