Het inproduct nader bekeken

We bekijken het vermoeden uit de Intro voor een speciale ligging van $P Q$ .
De punten $P$ en $Q$ in driehoek $A B C$ liggen zó, dat $P Q$ loodrecht op $A B$ staat.

Wat moet je nu laten zien?

De hoogtelijn uit $C$ verdeelt hoek $C$ in α en β. Je kunt de twee oppervlaktes uitdrukken in $a$ , $b$ , $P Q$ , α en β.

Ga na dat dit tot het gewenste resultaat leidt.

In hoofdstuk 2 van deel 1 4Vb is de cosinusregel behandeld. In hoofdstuk 5 van deel 2 is het inproduct geïntroduceerd.
De inproductregel hieronder is de 'vertaling' van de cosinusregel in het $O x y$ -vlak.

Inproductregel
$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ . Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .
In coördinaten geformuleerd:
Als $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ , dan:
$a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} \cdot \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}} \cdot \cos (ϕ)$ .

We bewijzen deze regel in de volgende opgave.

Gegeven zijn de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ . Het zijn de plaatsvectoren van de punten $A (a_{1}, a_{2})$ en $B (b_{1}, b_{2})$ . Hoek $A O B$ noemen we ϕ.

Druk $| \vec{a} |$ , $| \vec{b} |$ en $A B$ uit in $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ en $b_{2}$ .

De cosinusregel in driehoek $O A B$ luidt:
$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot \cos (ϕ)$ .
De resultaten van het vorige onderdeel invullen geeft:
${(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2} = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ .

Ga na dat hieruit volgt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (ϕ)$ .

Hoeken berekenen met het inproduct

Bereken het inproduct van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in de onderstaande gevallen.

Bereken ook de lengtes van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ en en gebruik vervolgens de inproductregel om $ϕ$ in graden nauwkeurig, zo mogelijk exact, uit te rekenen. Hierbij is ϕ de hoek tussen de vectoren.

Bereken $∠ A O B$ in de linker figuur hieronder.
Je krijgt nu een mooi resultaat. Die hoek kun je ook wel eenvoudiger vinden. Hoe?

Bereken $∠ A B C$ in de figuur rechts, met behulp van het inproduct in graden nauwkeurig.

$\vec{v}$ en $\vec{w}$ zijn vectoren en ϕ is de hoek tussen die vectoren.

Bereken $\cos (ϕ)$ exact en ϕ in graden nauwkeurig in de volgende gevallen:
$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ,
$\vec{v} = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ,
$\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ ‐ 7 \end{array})$ .

Als het inproduct van twee vectoren $0$ is, staan ze loodrecht op elkaar.

Wat kun je zeggen van de hoek tussen twee vectoren als hun inproduct positief is? En als het negatief is?

In de figuur hiernaast geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 10$ . We draaien $\vec{v}$ over $180$ graden.

Wat wordt het inproduct dan?

$\vec{v}$ en $\vec{w}$ zijn vectoren, niet de nulvector en ϕ is de hoek tussen die vectoren. Dan
$\vec{v} \cdot \vec{w} > 0 \Leftrightarrow$ ϕ is scherp,
$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow$ ϕ is recht,
$\vec{v} \cdot \vec{w} < 0 \Leftrightarrow$ ϕ is stomp.

Projecties

De (loodrechte) projectie van een punt $P$ op een lijn $k$ is het snijpunt $P^{'}$ van de lijn door $P$ loodrecht op $k$ met lijn $k$ .
De (loodrechte) projectie van een lijnstuk $P Q$ op lijn $k$ is lijnstuk $P^{'} Q^{'}$ , waarbij $P^{'}$ en $Q^{'}$ de projecties van $P$ en $Q$ zijn.

Gegeven zijn de punten $A$ en $B$ op de $y$ -as op hoogte $1$ en $4$ en lijn $k$ door $A$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} x + 1$ . De projectie van $B$ op $k$ noemen we $P$ .

Bereken de coördinaten van $P$ exact.

Bereken de (lengte van de) projectie van lijnstuk $A B$ op $k$ .

Gegeven zijn de punten $A (0,1)$ en $B (3,4)$ en de lijn $k$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} x - 1$ .

We gaan de (lengte van de) projectie van lijnstuk $A B$ op $k$ berekenen, zie figuur 1.

Bereken de lengte van $A B$ exact.

We verschuiven lijnstuk $A B$ evenwijdig aan zichzelf totdat één van de eindpunten, in dit geval $A$ op $k$ komt, zie figuur 2. Hierbij is $A$ terecht gekomen in $P$ . Daardoor verandert de lengte van de projectie niet.
Het lijnstuk dat je dan krijgt noemen we $P Q$ en de projectie van $Q$ op $k$ is $Q^{'}$ .
De vector $\vec{v} = (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ is een richtingsvector van $k$ . De hoek tussen $\vec{P Q}$ en $\vec{v}$ noemen we ϕ.

Bereken $\cos (ϕ)$ exact met het inproduct.

Bereken de lengte van de projectie van $P Q$ op $k$ met behulp van de vorige twee onderdelen.
Je hoeft hiervoor de coördinaten van de projecties van $A$ en $B$ (of van $P$ en $Q$ ) niet uit te rekenen!

Het inproduct is ook handig bij het berekenen van projecties. Dat zie je in de volgende stelling.

Stelling
Lijnstuk $A B$ wordt loodrecht op een lijn $k$ geprojecteerd.
Dan is de lengte van de projectie $\frac{| \vec{A B} \cdot \vec{v} |}{| \vec{v} |}$ .

Je kunt de stelling ook in woorden formuleren.
De lengte van de projectie krijg je als volgt. Neem een richtingsvector van $k$ , bereken het inproduct hiervan met de vector $\vec{A B}$ . Neem van het resultaat de absolute waarde en deel door de lengte van de richtingsvector van $k$ die je gekozen hebt.

Voorbeeld:

We berekenen de lengte van de projectie met de stelling voor het geval van opgave 21, zie figuur.
$\vec{A B} = (\begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array})$ en als richtingsvector van $k$ nemen we $\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ .
Het inproduct van $\vec{A B}$ en $\vec{v}$ is $3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 9$ , de absolute waarde hiervan ook.
De lengte van $\vec{v}$ is $\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ , dus de lengte van de projectie is: $\frac{9}{\sqrt{5}} = 1 \frac{4}{5} \sqrt{5}$ .

Voorbeeld:

Gegeven zijn de punten $A (0,1)$ en $B (‐ 3, 2)$ en lijn $k$ met vergelijking $4 x - 3 y = 4$ . Zie figuur.
We berekenen de lengte van de projectie van $A B$ op lijn $k$ .
Als richtingsvector van $k$ nemen we $\vec{v} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ .
$\vec{A B} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 1 \end{matrix})$ , dus het inproduct $\vec{v} \cdot \vec{A B} = 3 \cdot ‐ 3 + 4 \cdot 1 = ‐ 5$ ; de absolute waarde is $5$ ; de lengte van $\vec{v}$ is $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ , dus de projectie heeft lengte $1$ .

Opmerking:

In het laatste voorbeeld zie je wat voor een mooi instrument het inproduct is. De projecties van $A$ en $B$ zijn geen 'mooie' punten en toch kun je de lengte eenvoudig uitrekenen.

Bewijs van de stelling

We gaan van figuur 1 over op figuur 2. De projectie van $A B$ is even lang als lijnstuk $A P$ .
De lengte daarvan is $| \vec{A B} | \cdot \cos (ϕ) = \frac{| \vec{v} | \cdot | \vec{A B} | \cdot \cos (ϕ)}{| \vec{v} |} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{A B}}{| \vec{v} |}$ .
In de figuur zijn de vectoren $\vec{v}$ en $\vec{A B}$ zó gekozen dat de hoek ϕ die ze maken scherp is.
Als die hoek stomp is, is de lengte van de projectie:
$| \vec{A B} | \cdot \cos (180 ° - ϕ) = ‐ | \vec{A B} | \cdot \cos (ϕ)$ , vandaar dat je de absolute waarde van het inproduct moet nemen.

De punten $A$ , $B$ en $C$ in de figuur zijn roosterpunten.

Bereken de lengte van de projectie van lijnstuk $O B$ op lijn $A C$ exact.

Bereken de lengte van de projectie van lijnstuk $O A$ op lijn $B C$ .

Trekschuit Den Haag - Delft
Aquarel zonder naam
Atlas van Stolk, 19e eeuw

Een schuit beweegt in de richting $\vec{r} =$ $(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ van $A$ naar $B$ . Ze wordt voortgetrokken door een paard. De trekkracht van het paard wordt gegeven door de vector $\vec{v} =$ $(\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array})$ : zie de figuur hieronder.
Voor de voortbeweging van de schuit is alleen de grootte van de projectie van $\vec{v}$ op de richting waarin het schip beweegt van belang.

Bereken de grootte van die projectie.

Een voorwerp met een gewicht van $10$ N kan wrijvingsloos bewegen over een vlak $V$ .

Er wordt met een kracht van $8$ N aan getrokken. Als $V$ scheef gehouden wordt, krijgt de trekkracht ‘tegenwerking’ van de zwaartekracht. Als de hellingshoek van $V$ groot genoeg is, zal het voorwerp omlaag glijden.
We brengen het gebruikelijke assenstelsel aan: de positieve $x$ -as naar rechts en de positieve $y$ -as naar boven.
Neem aan dat $V$ richtingsvector $(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array})$ heeft.

Bereken de grootte van de projectie van de kracht van $10$ N in de richting van vlak $V$ . Glijdt het voorwerp naar beneden?

(hint)

De kracht van $10$ N wordt gegeven door $(\begin{matrix} 0 \\ ‐ 10 \end{matrix})$ .

Neem nu aan dat $V$ richtingsvector $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ heeft.

Maak een berekening zoals in a om te bepalen of het voorwerp naar beneden glijdt.

We gaan de kritische waarde van de helling bepalen, dat is de helling van $V$ waarbij het voorwerp op het punt staat naar beneden te glijden. De bijbehorende richtingsvector van $V$ is $(\begin{array}{l} 1 \\ a \end{array})$ , voor zeker getal $a$ tussen $1$ en $2$ .

Stel een vergelijking voor $a$ op en bereken hieruit $a$ .

In de figuur zijn getekend de punten $A (‐ 3, ‐ 1)$ , $B (4,0)$ en $C (1,4)$ .
$A D$ is de hoogtelijn uit $A$ van driehoek $A B C$ , $M$ is het midden van $A C$ en $S$ ligt op zijde $A B$ zó, dat de lijnen $A D$ , $B M$ en $C S$ door één punt gaan.

Bereken $B D$ exact.

Bereken $A S$ exact.

(hint)

Stelling van Ceva.

Een kunstwerk in de vorm van een blok, staat in de stromende regen. Gelukkig waait het niet, de regen valt verticaal. In de figuur hiernaast kijken we in de richting van de ribben die evenwijdig met de grond zijn. De lengten van de ribben die niet evenwijdig met de grond zijn noemen we $a$ en $b$ , met $a > b$ .
De hoek die de ribben van lengte $a$ met de grond maken noemen we ϕ.

Heb je enig idee hoe groot ϕ moet zijn opdat er zoveel mogelijk droog blijft onder het blok en ook opdat er zo weinig mogelijk droog blijft?

We gaan vectoren gebruiken om deze vraag te beantwoorden.

Hiernaast is de cirkel met middelpunt $O$ en straal $1$ getekend, de zogenaamde eenheidscirkel. De vector $\vec{e}$ met eindpunt tussen $(1,0)$ en $(0,1)$ op de eenheidscirkel maakt een hoek ϕ met de positieve $x$ -as. We schrijven: $\vec{v} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array})$ .

Toon aan: $\vec{e} = (\begin{array}{l} \cos (ϕ) \\ \sin (ϕ) \end{array})$ .

Ga na dat de lengte van het stuk in de tekening dat droog blijft gelijk is aan $\vec{v} \cdot \vec{e}$ .

Voor welke ϕ is $\vec{v} \cdot \vec{e}$ maximaal en voor welke ϕ minimaal? Licht je antwoord toe.

Bereken met de GR de uitkomst van
$\tan^{‐ 1} (1) + \tan^{‐ 1} (2) + \tan^{‐ 1} (3)$ .
(Zet de GR in de stand Degree.)

Een mooie uitkomst!
In de figuur hiernaast is $A (1,0)$ , $B (2,3)$ en $C (0,2)$ .

Bewijs: $\tan^{‐ 1} (1) + \tan^{‐ 1} (2) + \tan^{‐ 1} (3) = 180$ .
Gebruik de figuur.