1

a

Dat de oppervlaktes van de twee rechthoeken gelijk zijn.

b

De oppervlakte links is: $P Q \cdot \cos (α) \cdot b$ en rechts: $P Q \cdot \cos (β) \cdot a$ .
Zowel $\cos (α) \cdot a$ als $\cos (β) \cdot b$ is gelijk aan de lengte van de hoogtelijn uit $C$ van driehoek $A B C$ .

2

a

$| \vec{a} |$ $= \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$ , $| \vec{b} |$ $= \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}$ en $A B = \sqrt{{(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2}}$ .

b

Werk de haakjes weg. Aan beide kanten valt ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}$ tegen elkaar weg.
Als je vervolgens beide kanten van de gelijkheid door $‐ 2$ deelt, krijg je het gewenste resultaat.

3

a

$1$ , $‐ 5$

b

In het eerste geval:
$| \vec{a} | = \sqrt{13}$ en $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{1}{\sqrt{65}}$ , dus $ϕ = 83 °$ .
In het tweede geval:
$| \vec{a} | = \sqrt{10}$ en $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{‐ 5}{\sqrt{50}}$ , dus $ϕ = 135 °$ exact.

c

$\cos (∠ A O B) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $∠ A O B = 45 °$ exact.
Eenvoudiger is op te merken dat driehoek $A O B$ een gelijkbenige rechthoekige driehoek is.

d

We berekenen de hoek ϕ tussen de vectoren $B A$ en $B C$ :
$(\begin{array}{l} ‐ 3 \\ ‐ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} ‐ 1 \\ ‐ 4 \end{array})$ $= \sqrt{13} \cdot \sqrt{17}$ $\cdot \cos (ϕ)$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{11}{\sqrt{221}}$ , dus $ϕ = 42 °$ .

e

$\cos (ϕ) = ‐ \frac{5}{13}$ , ϕ $= 113 °$ ;
$\cos (ϕ) = \frac{1}{26} \sqrt{26}$ , ϕ $= 79 °$ ;
$\cos (ϕ) = \frac{3}{5}$ , ϕ $= 53 °$ .

f

Noem de hoek tussen de vectoren ϕ.
Als het inproduct positief is, dan moet $\cos (ϕ)$ positief zijn, dus is ϕ scherp.
Als het inproduct negatief is, dan moet $\cos (ϕ)$ negatief zijn, dus is ϕ stomp.

g

$‐ 10$

4

a

$k$ heeft richtingsvector $(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ , dit is een normaalvector van lijn $B P$ , dus een vergelijking van lijn $B P$ is $2 x + y = 4$ .
Het snijpunt van lijn $B P$ met $k$ kun je nu exact berekenen.
Dit geeft: $P (1 \frac{1}{5},1 \frac{3}{5})$ .

b

De projectie van $A B$ is $A P$ . De lengte hiervan is: $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ .

5

a

$3 \sqrt{2}$

b

$(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}) = | (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}) | \cdot \cos (ϕ)$ , dus $\cos (ϕ) = \frac{3}{10} \sqrt{10}$ .

c

De lengte van de projectie is $A B \cdot \cos (ϕ) = 3 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{10} \sqrt{10} = 1 \frac{4}{5} \sqrt{5}$ .

6

a

Kies als richtingsvector van lijn $A C$ : $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . De lengte van de projectie is: $\frac{| (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix}) |} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

b

$\vec{O A} = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 0 \end{matrix})$ en als richtingsvector van lijn $B C$ kiezen we $(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array})$ . De lengte van de projectie is: $\frac{| (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}) |}{| (\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}) |} = \frac{2}{\sqrt{17}} = \frac{2}{17} \sqrt{17}$ .

7

De grootte is $\frac{| (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{5}} = 2 \frac{1}{5} \sqrt{5}$ .

8

a

$\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 10 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{5}} = 4 \sqrt{5} > 8$ , dus glijdt het voorwerp naar beneden.

b

$\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 10 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} < 8$ , dus glijdt het voorwerp niet naar beneden.

c

$\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ - 10 \end{matrix}) \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \end{array}) |}{\sqrt{1 + a^{2}}} = 8 \Leftrightarrow 10 a = 8 \sqrt{1 + a^{2}}$ .
Kwadrateren geeft: $100 a^{2} = 64 a^{2} + 64$ , dus $a = 1 \frac{1}{3}$ .

9

a

We passen de stelling uit deze paragraaf toe.
Een richtingsvector van lijn $B C$ is $(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix})$ . Dus $B D = \frac{| (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) |} = 3 \frac{2}{5}$ .

b

Met de stelling van Ceva.
$\frac{A S}{B S} \cdot \frac{B D}{C D} \cdot \frac{C M}{A M} = 1 \Leftrightarrow \frac{3 \frac{2}{5}}{1 \frac{3}{5}} \cdot \frac{A S}{B S} = 1$ , dus $\frac{A S}{B S} = \frac{8}{17}$ , dus $A S = \frac{8}{25} \cdot A B = 1 \frac{3}{5} \sqrt{2}$ .

10

a

-

b

De eerste coördinaat is $1 \cdot \cos (ϕ)$ en de tweede $1 \cdot \sin (ϕ)$ .

c

$∠ P S Q = ϕ$ , dus $P Q = b \cdot \sin (ϕ)$ .
$Q R = a \cdot \cos (ϕ)$ .
Het stuk dat droog blijft is $P Q + Q R = \vec{v} \cdot \vec{e}$ .

d

Maximaal als $\vec{v}$ en $\vec{e}$ in elkaars verlengde liggen, dan is $\tan (ϕ) = \frac{b}{a}$ , dus dan is de diagonaal vanuit $S$ van de rechthoek evenwijdig aan de grond.
Minimaal als $ϕ = \frac{1}{2} π$ , want dan is de projectie van $\vec{e}$ op $\vec{v}$ minimaal, dan staat het blok rechtop op de korte zijde.

11

a

$180$

b

Geef het punt $(2,0)$ de naam $P$ .
$A C = B C$ en je ziet met het inproduct: $∠ A C B = 90 °$ .
Dus $\tan^{‐ 1} (1) = ∠ B A C$ , $\tan^{‐ 1} (2) = ∠ C A O$ en $\tan^{‐ 1} (3) = ∠ B A P$ .
Samen geeft dit de gestrekte hoek bij $A$ .