1

a

$‐ \frac{3}{4}$ ; $‐ m$

b

$\frac{1}{2}$ ; $∠ C A B = \tan^{‐ 1} (\frac{1}{2}) = 27 °$

c

-

d

$‐ \frac{1}{3} \sqrt{3}$ , $‐ 1$ en $‐ \sqrt{3}$

e

de helling is $\tan (‐ 70 °) = ‐ 2,75$

2

a

$\tan^{‐ 1} (‐ \frac{2}{3}) = ‐ 33,7 °$

b

$\tan^{‐ 1} (‐ 2 \frac{1}{2}) = ‐ 68,2 °$

3

a

De gevraagde hoek $α = 68,198... ° - 33,690... ° \approx 34,5 °$ dus $35 °$ .

b

Richtingsvectoren van die lijnen zijn: $(\begin{array}{l} 1 \\ \frac{2}{3} \end{array})$ en $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \frac{1}{2} \end{matrix})$ . Het inproduct van deze vectoren is $0$ , dus de hoek is $90 °$ .

4

a

$23 °$ , $105 °$ , $127 °$

b

In het eerste geval is het de hoek tussen $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})$ , die is: $31 °$ .
In het tweede geval bereken je de hoek tussen de vectoren $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})$ , die is $121 °$ , dus de gevraagde hoek is $59 °$ .

c

De hellingshoek van die lijn is $\frac{1}{4}$ , dus de hoek tussen de lijnen is $\tan^{‐ 1} (\frac{1}{4}) = 14 °$ .

5

a

Aflezen in het rooster: $\frac{2}{3}$ .

b

$\frac{(\begin{array}{l} 1 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array})}{| (\begin{array}{l} 1 \\ 5 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}) |} = \frac{13}{\sqrt{338}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \cos (45 °)$

c

$\vec{w} = {\vec{v}}_{R} =$ $(\begin{matrix} ‐ \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix})$

d

Dat zijn de positieve veelvouden van $\vec{v}$ en van $\vec{w}$ .

6

De hoekensom in driehoek $A B D$ geeft: $α + β = 90 °$ ;
de hoekensom in driehoek $B C E$ geeft: $β + γ = 90 °$ , dus α = γ.

7

In het eerste geval: $\cos^{‐ 1} (\frac{6}{\sqrt{13} \sqrt{25}}) = 71 °$ .
In het tweede geval: een richtingsvector van $k$ is $(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array})$ en van $m$ is $(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . Voor de hoek tussen de lijnen vind je: $72 °$ .

8

a

Richtingsvectoren zijn $(\begin{array}{l} 1 \\ m \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 1 \\ n \end{array})$ .
Als de lijnen loodrecht op elkaar staan is het inproduct van deze vectoren $1 + m \cdot n = 0$ .

b

De helling is dan $\frac{4}{5}$ , dus een vergelijking is: $y = \frac{4}{5} x - 6 \frac{1}{5}$ .

c

$(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ ‐ a \end{matrix}) = 0$ , dus $a = 2$ .

9

a

-

b

$26,565$ graden

c

-

d

$53,130$ graden

e

In beide gevallen vind je $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ .

f

De vectoren $(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array})$ zijn even lang; als je ze optelt volgens de parallellogrammethode krijg je een vector die de hoek tussen $(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ middendoor deelt. (Eigenschap van een ruit: diagonaal deelt hoeken middendoor.)
$(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array})$ .

g

Anders wordt de noemer van $\frac{2 m}{1 - m^{2}}$ nul.
Als $m = ‐ 1$ en $m = 1$ , maakt de lijn een hoek van $45 °$ met de $x$ -as en krijg je een verticale lijn bij verdubbelen van de hellingshoek.

h

De richtingscoëfficiënt bij richtingsvector is $(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array})$ is $m = \frac{1}{2}$ en bij richtingsvector $(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ is die $1 \frac{1}{3}$ .
$m = \frac{1}{2}$ invullen in $\frac{2 m}{1 - m^{2}}$ geeft $1 \frac{1}{3}$ .

i

$\frac{2 \cdot \frac{1}{3} \sqrt{3}}{1 - {(\frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{3}$

10

a

$α + β = 90 °$ (hoekensom in driehoek $O Q S$ ) en $β + γ = 90 °$ (rechte hoek), dus $α = γ$ .

b

Uit a volgt dat $\frac{Q S}{O S} = \frac{R S}{Q S}$ , dus $\frac{m}{1} = \frac{S R}{m}$ , dus $R S = m^{2}$ , dus $R = (m^{2} + 1,0)$ .

c

Omdat de driehoeken $O R Q$ en $O P Q$ congruent zijn, want de hoeken bij $Q$ zijn beide recht, de hoeken bij $O$ zijn gelijk en ze hebben zijde $O Q$ gemeenschappelijk.

d

$\vec{Q P} = \vec{R Q} = (\begin{matrix} ‐ m^{2} \\ m \end{matrix})$ , dus $P = (1 - m^{2},2 m)$ .

11

a

In beide gevallen is dit de inproductregel.

b

Uit het eerste deel van a volgt: $\cos (ϕ) \cdot \sqrt{1 + m^{2}} = 1$ en uit het tweede deel: $\cos (ϕ) \cdot \sqrt{1 + m^{2}} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} = m x + 1$ . Als je voor $\cos (ϕ) \cdot \sqrt{1 + m^{2}}$ in het tweede deel $1$ invult krijg je: $\sqrt{1 + x^{2}} = m x + 1$ .

c

Kwadrateren geeft: $1 + x^{2} = 1 + 2 m x + m^{2} x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 2 m x + m^{2} x^{2}$ $\Leftrightarrow x = 2 m + m^{2} x$ $\Leftrightarrow x (1 - m^{2}) = 2 m$ , dus $x = \frac{2 m}{1 - m^{2}}$ .

12

Helling $O C = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ , dus helling $O D = \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} = \frac{15}{8}$ , maar de helling van $O D$ is ook: $\frac{x + 24}{40}$ , dus: $\frac{15}{8} = \frac{x + 24}{40}$ .
Kruislingsvermenigvuldigen levert dan: $x = 51$ .