9.5 Afstand van punt tot lijn >

Hoofdstukken > Rekenen aan lijnen

Op drie manieren

Gegeven zijn de punten $A (0,9)$ , $B (1,1)$ en $C (7,5)$ .

Geef een vergelijking van lijn $B C$ .

Bereken de coördinaten van de (loodrechte) projectie van $A$ op lijn $B C$ .

Bereken de afstand van $A$ tot lijn $B C$ .

Bereken de coördinaten van het spiegelbeeld van $A$ in lijn $B C$ .

We gaan verder met opgave 40.

Ga na dat $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 + 3 t \\ 1 + 2 t \end{array})$ een pv van lijn $B C$ is.

Dus elk punt van lijn $B C$ is te schrijven in de vorm: $(1 + 3 t,1 + 2 t)$ voor zekere waarde van $t$ .

Druk de afstand van $A$ tot $(1 + 3 t,1 + 2 t)$ uit in $t$ en ga na dat je die kunt schrijven als: $\sqrt{13 {(t - 1)}^{2} + 52}$ .

Met behulp van het vorige onderdeel kun je de projectie van $A$ op lijn $B C$ bepalen en de afstand van $A$ tot lijn $B C$ .

Doe dat. Licht je antwoord toe.

Nog een derde manier gaat als volgt.
Zoals je gezien hebt, is elk punt van lijn $B C$ van de vorm: $P (1 + 3 t,1 + 2 t)$ .
$P$ is de projectie van $A$ op lijn $B C$ als: $\vec{A P} \cdot \vec{B C} = 0$ .

Bereken zo de projectie van $A$ op lijn $B C$ .

Voorbeeld:

Je hebt drie manieren gezien om de afstand van een punt $A$ tot een lijn $k$ te bepalen.

manier van opgave 40
Snijd de lijn door $A$ loodrecht op $k$ met $k$ . Het snijpunt is de projectie van $A$ op $k$ . De afstand van $A$ tot het snijpunt is de afstand van $A$ tot $k$ .
manier van opgave 41a, b en c
Geef een pv van $k$ . Dit geeft je een punt van de vorm
$P (\dots + \dots \cdot t, \dots + \dots \cdot t)$ op $k$ . (Op de stippellijntjes staan getallen.)
De afstand $A P$ kun je schrijven als $\sqrt{\dots {(t - \dots)}^{2} + \dots}$ .
De wortel van de minimale waarde van de kwadratische vorm onder het wortelteken geeft je de afstand van $A$ tot $k$ en de waarde van $t$ waarvoor die bereikt wordt hoort bij de projectie van $A$ op $k$ .
manier van opgave 41d
$P$ is als in de vorige manier. $\vec{A P}$ staat loodrecht op een richtingsvector $\vec{v}$ van $k$ . De oplossing van de vergelijking $\vec{A P} \cdot \vec{v} = 0$ geeft je de waarde van $t$ die hoort bij de projectie van $A$ op $k$ .

Bereken de afstand van $A (1,2)$ tot lijn $k : 3 x - 4 y - 20 = 0$ op elk van de drie manieren.

In het volgende gebruiken we het inproduct nog anders om de afstand van een punt tot een lijn te bepalen.

Een formule voor de afstand van een punt tot een lijn

In de figuur staat de lijn $k$ met vergelijking $x - 2 y - 2 = 0$ en het punt $A (1,3)$ .
Lijn $n$ is de normaal van $k$ door het punt $A$ . Een richtingsvector van lijn $n$ is $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ .

Voor elk punt $P$ op lijn $k$ geldt: de lengte van de projectie van lijnstuk $A P$ op $n$ is de afstand van $A$ tot $k$ . In de figuur is voor $P$ het punt $(0, ‐ 1)$ gekozen.
Hoe je deze lengte kunt berekenen is in de vorige paragraaf behandeld.

Bereken de afstand van $A$ tot $k$ met behulp van de projectie van $A P$ op $n$ .

Neem nu $A (a, b)$ .

Toon aan dat de afstand van $A$ tot lijn $k$ gelijk is aan: $\frac{| a - 2 b - 2 |}{\sqrt{5}}$ .

Gegeven is de lijn $k$ met de vergelijking: $3 x + 4 y - 12 = 0$ .
Een normaalvector van $k$ is $\vec{n} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array})$ .

Neem $A (5,8)$ .

Bereken de afstand van $A$ tot $k$ exact op de manier van opgave 43.

Neem $A (a, b)$ .

Laat zien dat de afstand van $A$ tot $k$ gelijk is aan: $\frac{| 3 a + 4 b - 12 |}{5}$ .

Wat je in opgave 43 en 44 gezien hebt zijn speciale gevallen van het volgende.

Afstandsformule
Lijn $k$ heeft vergelijking $p x + q y + r = 0$ .
De afstand van $A (a_{1}, a_{2})$ tot $k$ is: $\frac{| p a_{1} + q a_{2} + r |}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}$ .

We bewijzen de bewering hierboven.
Neem een punt $P (p_{1}, p_{2})$ op $k$ , dan: $p p_{1} + q p_{2} + r = 0$ .
$\vec{n} = (\begin{array}{l} p \\ q \end{array})$ is een normaalvector van $k$ .
$\vec{A P} = (\begin{array}{l} p_{1} - a_{1} \\ p_{2} - a_{2} \end{array})$ en $\vec{A P} \cdot \vec{n} = (p_{1} - a_{1}) p + (p_{2} - a_{2}) q$ $= p_{1} p + p_{2} q - a_{1} p - a_{2} q$ $= ‐ r - a_{1} p - a_{2} q$ , de absolute waarde hiervan is: $| a_{1} p + a_{2} q + r |$ .
De lengte van $\vec{n} = \sqrt{p^{2} + q^{2}}$ .
Dus de afstand van $A$ tot $k$ is: $\frac{| p a_{1} + q a_{2} + r |}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}$ .

$A$ is het punt $(a, b)$ en $k$ is een lijn. In deze opgave bekijken we speciale gevallen van de formule van lijn $k$ .

Wat levert de afstandsformule op als we voor $k$ de $x$ -as nemen?

We nemen voor $k$ de lijn $y = x$ .

Wat levert de afstandsformule op?

We leiden het antwoord op b op een andere manier af.

In de figuur is $0 < a < b$ , $P$ is de projectie van $A$ op $k$ , de lijn evenwijdig aan de $y$ -as snijdt $k$ in $Q$ en de $x$ -as in $R$ .

Druk de lengte van de lijnstukken $Q R$ en $A Q$ in $a$ en $b$ uit.

Druk nu $A P$ uit in $a$ en $b$ . Licht je antwoord toe.

In de figuur staan de punten $O (0,0)$ , $A (75,0)$ en $B (0,40)$ . Op de positieve $x$ -as ligt een punt $P (p, 0)$ .

Druk de afstand van $P$ tot $O$ en tot de lijn $A B$ in $p$ uit.

Neem aan: $P$ heeft gelijke afstanden tot $O$ en lijn $A B$ .

Stel een vergelijking op in $p$ en los die op.

Geef een vergelijking van de bissectrice van hoek $O B A$ .

In de figuur hiernaast is de cirkel getekend die de zijden van driehoek $O B A$ raakt.

Bereken de straal van die cirkel exact.

Zie opgave 40. In de figuur staan de punten $A (0,9)$ , $B (1,1)$ en $C (7,5)$ .
In opgave 40 heb je de afstand van $A$ tot lijn $B C$ berekend.

Doe dit nog eens met de afstandsformule.

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

De punten $X$ met oppervlakte $Δ B C X =$ oppervlakte $Δ B C A$ vormen twee lijnen.

Geef van beide lijnen een vergelijking.

Er zijn twee punten $P$ met gelijke eerste en tweede coördinaat zo dat $Δ P B C$ en $Δ A B C$ gelijke oppervlakte hebben.

Bereken de coördinaten van die punten $P$ .

Gegeven zijn de punten $A (12,0)$ en $B (0,16)$ . Op de lijn $y = 10$ liggen twee punten die afstand $10$ tot lijn $A B$ hebben.

Bereken de eerste coördinaat van die punten exact met de afstandsformule.

Eén van de twee punten heeft een positieve eerste coördinaat.

Bereken deze coördinaat ook met gelijkvormigheid.

Gegeven zijn de lijnen $k : 2 x + y = 14$ en $m : x - 2 y = 2$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt $R$ van $k$ en $m$ .

Ga na dat $k$ en $m$ elkaar loodrecht snijden.

$P$ is het punt $(6,6)$ . De loodrechte projectie van $P$ op $k$ is $Q$ en de loodrechte projectie van $P$ op $m$ is $S$ .

Bereken de exacte oppervlakte van rechthoek $P Q R S$ .