9.5  Afstand van punt tot lijn >
Op drie manieren
1
a

2 x 3 y + 1 = 0

b

We snijden de lijn door A loodrecht op lijn B C met lijn B C .
Een normaalvector van de lijn door A loodrecht op B C is: ( 3 2 ) , dus een vergelijking is: 3 x + 2 y 18 = 0 .
Het snijpunt van de lijnen 2 x 3 y + 1 = 0 en 3 x + 2 y 18 = 0 is S ( 4,3 ) .

c

Dat is de afstand van A ( 0,9 ) tot S ( 4,3 ) , die is 2 13 .

d

Het spiegelbeeld noemen we D . A S = S D = ( 4 6 ) , dus D = ( 0 + 2 4,9 2 6 ) = ( 8, 3 ) .

2
a

b = ( 1 1 ) is steunvector en 1 2 B C = ( 3 2 ) is richtingsvector.

b

De afstand is de lengte van ( 1 + 3 t 1 + 2 t ) ( 0 9 ) .
Het kwadraat van die lengte is: ( 1 + 3 t ) 2 + ( 2 t 8 ) 2 = 13 ( t 1 ) 2 + 52 (kwadraat afsplitsen).

c

De minimale waarde van 13 ( t 1 ) 2 + 52 krijg je voor t = 1 en die is 52 .
Dus het punt van lijn B C dat het dichtst bij A ligt, krijg je voor t = 1 . Dat punt S ( 4,3 ) is dus de projectie van A op lijn B C . De afstand van A tot lijn B C is A S = 2 13 .

d

A P B C = ( 3 t + 1 2 t 8 ) ( 6 4 ) = 0 , dus t = 1 en de projectie is dus: ( 4,3 ) .

3
  • Manier 1
    Loodlijn op k door A : 4 x + 3 y = 10 .
    Snijden met k geeft snijpunt S ( 4, 2 ) als projectie. De afstand is A S = 5 .

  • Manier 2
    P ( 4 t ,3 t 5 ) ligt op k . A P 2 = ( 4 t 1 ) 2 + ( 3 t 7 ) 2 = 25 ( t 1 ) 2 + 25 .
    Dus A P is minimaal 25 = 5 voor t = 1 .
    De afstand is dus 5 .

  • Manier 3
    A P = ( 4 t 1 3 t 7 ) en een richtingsvector van k is v = ( 4 3 ) .
    A P v = 0 4 ( 4 t 1 ) + 3 ( 3 t 7 ) = 0 t = 1 .
    Verder zie Manier 2.

Een formule voor de afstand van een punt tot een lijn
4
a

De absolute waarde van n A P = ( 1 2 ) ( 1 4 ) is 7 en de lengte van de gekozen normaalvector n is 5 , dus de afstand is: 7 5 = 1 2 5 5 .

b

Het inproduct van P A = ( a b + 1 ) met n is: a 2 b 2 en de absolute waarde hiervan: | a 2 b 2 | , dus de afstand is: | a 2 b 2 | 5 .

5
a

Kies een punt op k , bijvoorbeeld: P ( 0,3 ) . De lengte van de projectie van A P op k is als volgt te berekenen. De absolute waarde van het inproduct van A P = ( 5 5 ) met n = ( 3 4 ) is 35 . De lengte van n is: 5 .
De lengte van de projectie is dan 35 5 = 7 .

b

Neem een punt van lijn k , bijvoorbeeld P ( 4,0 ) . Dan A P = ( 4 a b ) en n = ( 3 4 ) , dus A P n = ( 4 a b ) ( 3 4 ) = 12 3 a 4 b , dus de afstand van A tot k is | 12 3 a 4 b | 5 = | 3 a + 4 b 12 | 5 .

6
a

De x -as heeft vergelijking y = 0 . Dus je krijgt voor de afstand: | b | 0 2 + 1 2 = | b | .

b

| a b | 1 2 + 1 2 = 1 2 2 | a b |

c

Q R = a en A Q = b a .

d

Driehoek A P Q is een 45 - 45 - 90 graden driehoek, dus A P = 1 2 2 ( b a ) .

7
a

Tot O : p en tot lijn A B : | 8 p 600 | 17 . Dit zie je met de afstandsformule; een vergelijking van lijn A B is: 8 x + 15 y 600 = 0 .

b

| 8 p 600 | = 17 p , dus 8 p 600 = 17 p of 8 p 600 = 17 p .
Omdat p > 0 , volgt hieruit dat p = 24 .

c

De bissectrice gaat door B en P , een vergelijking is dus: 5 x + 3 y = 120 .

d

Het middelpunt ligt op het snijpunt van de bissectrices van driehoek O B A , dus op de lijn uit c en op de lijn y = x , dus het middelpunt is ( 15,15 ) . De straal is dus 15 .

8
a

Een vergelijking van lijn B C is: 2 x 3 y + 1 = 0 .
De afstand is: | 2 0 3 9 + 1 | 2 2 + 3 2 = 2 13 .

b

De lengte van B C is 2 13 , dus de oppervlakte van de driehoek is:
1 2 2 13 2 13 = 26 .

c

Dat zijn de punten X die dezelfde afstand tot lijn B C hebben als A .
Die liggen op de twee lijnen evenwijdig aan lijn B C op afstand 2 13 . Dat zijn de lijnen door A en D (spiegelbeeld van A in lijn B C , zie opgave 40) evenwijdig aan lijn B C .
Vergelijkingen van die lijnen zijn: 2 x 3 y + 27 = 0 en 2 x 3 y 25 = 0 .

d

Het zijn de punten op de lijnen uit het vorige onderdeel, dus ( 25, 25 ) en ( 27,27 ) .

9
a

Lijn A B heeft vergelijking 4 x + 3 y 48 = 0 . Noem de eerste coördinaat van zo'n gevraagd punt a , dan | 4 a + 3 10 48 | 5 = 10 .
Dus: | 4 a 18 | = 50 , dus 4 a 18 = 50 of 4 a 18 = 50 .
Dus a = 17 of a = 8 .

b

De driehoeken B R Q , P S Q en B O A zijn gelijkvormig.
B R = 6 , dus R Q = 3 4 6 = 4 1 2 .
P Q = 5 4 P S = 12 1 2 .
Dus P R = 4 1 2 + 12 1 2 = 17 .

10
a

R ( 6,2 )

b

Normaalvectoren ( 2 1 ) van k en ( 1 2 ) van m hebben inproduct 0 .

c

De afstand van P tot k is 4 5 en de afstand van P tot m is 8 5 .
De oppervlakte is 4 5 8 5 = 6 2 5 .