We snijden de lijn door loodrecht op lijn met lijn .
Een normaalvector van de lijn door loodrecht op is: ,
dus een vergelijking is: .
Het snijpunt van de lijnen en
is .
Dat is de afstand van tot , die is .
Het spiegelbeeld noemen we . , dus .
is steunvector en is richtingsvector.
De afstand is de lengte van .
Het kwadraat van die lengte is:
(kwadraat afsplitsen).
De minimale waarde van
krijg je voor en die is .
Dus het punt van lijn dat het dichtst bij ligt, krijg je voor
. Dat punt is dus de projectie van op lijn
. De afstand van tot lijn is .
, dus en de projectie is dus: .
Manier 1
Loodlijn op door : .
Snijden met geeft snijpunt als projectie.
De afstand is .
Manier 2
ligt op .
.
Dus is minimaal voor .
De afstand is dus .
Manier 3
en een richtingsvector van
is .
.
Verder zie Manier 2.
De absolute waarde van is en de lengte van de gekozen normaalvector is , dus de afstand is: .
Het inproduct van met is: en de absolute waarde hiervan: , dus de afstand is: .
Kies een punt op , bijvoorbeeld:
. De lengte van de projectie van
op is als volgt te berekenen.
De absolute waarde van het inproduct van
met is . De lengte van
is: .
De lengte van de projectie is dan .
Neem een punt van lijn , bijvoorbeeld . Dan en , dus , dus de afstand van tot is .
De -as heeft vergelijking . Dus je krijgt voor de afstand: .
en .
Driehoek is een -- graden driehoek, dus .
Tot : en tot lijn : . Dit zie je met de afstandsformule; een vergelijking van lijn is: .
, dus
of
.
Omdat , volgt hieruit dat
.
De bissectrice gaat door en , een vergelijking is dus: .
Het middelpunt ligt op het snijpunt van de bissectrices van driehoek , dus op de lijn uit c en op de lijn , dus het middelpunt is . De straal is dus .
Een vergelijking van lijn is:
.
De afstand is:
.
De lengte van is
, dus de oppervlakte van de driehoek is:
.
Dat zijn de punten
die dezelfde afstand tot lijn hebben als .
Die liggen op de twee lijnen evenwijdig aan lijn op afstand .
Dat zijn de lijnen door en (spiegelbeeld van in lijn
, zie opgave 40) evenwijdig aan lijn .
Vergelijkingen van die lijnen zijn:
en .
Het zijn de punten op de lijnen uit het vorige onderdeel, dus en .
Lijn heeft vergelijking
. Noem de eerste coördinaat van zo'n gevraagd punt
, dan .
Dus: , dus
of
.
Dus of
.
De driehoeken ,
en
zijn gelijkvormig.
, dus
.
.
Dus .
Normaalvectoren van en van hebben inproduct .
De afstand van tot is
en de afstand van
tot is
.
De oppervlakte is .