9.6 Het vermoeden van de intro >

Hoofdstukken > Rekenen aan lijnen

$A B C D$ is een vierkant. De zijden van de blauwe rechthoek door $P$ en $Q$ zijn evenwijdig met de zijden van het vierkant.

Neem aan dat het vierkant in figuur 1 zijden $4$ heeft en de vector $\vec{P Q}$ lengte $1,8$ . De vector maakt een hoek van $21 °$ met zijde $A B$ .

Bereken de oppervlakte van de blauwe rechthoek in twee decimalen

Toon aan: de oppervlakte van de blauwe rechthoek in figuur 2 is $\vec{P Q} \cdot \vec{A B}$ .

Wat is het verband tussen $\vec{P Q} \cdot \vec{A B}$ en de oppervlakte van de blauwe rechthoek in figuur 3?

De zijden van de twee vierkanten in de figuur zijn even lang als $\vec{a}$ .

Neem de figuur en laat hiermee zien:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ .

Dat de regel $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ in alle gevallen geldt, kun je zien door uitschrijven in coördinaten.
Als $\vec{a} = (\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array})$ en $\vec{c} = (\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array})$ , dan
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} b_{1} + c_{1} \\ b_{2} + c_{2} \end{array}) = a_{1} (b_{1} + c_{1}) + a_{2} (b_{2} + c_{2})$ en $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} =$
$(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array}) + (\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2}$ .
Dus links en rechts van het =-teken staat hetzelfde.

We bewijzen het vermoeden van de intro.

We schrijven voor de vectoren $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ en $\vec{C A}$ kort: $\vec{x}$ , $\vec{y}$ en $\vec{z}$ .
Voor $\vec{P Q}$ schrijven we $\vec{p}$ .
Er geldt: $\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = \vec{0}$ ,
dus $\vec{p} \cdot \vec{x} + \vec{p} \cdot \vec{y} + \vec{p} \cdot \vec{z} = \vec{p} \cdot (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = \vec{p} \cdot \vec{0} = 0$ .
In de tekening hierboven zijn $\vec{p} \cdot \vec{x}$ en $\vec{p} \cdot \vec{y}$ , positief en $\vec{p} \cdot \vec{z}$ negatief, dus $a + c = b$ .

Binnen een gelijkzijdige driehoek ligt een lijnstuk.
We projecteren dat lijnstuk op de zijden van de driehoek.
De lengtes van twee van de projecties zijn $4$ en $7$ .

Wat is de lengte van de derde projectie? Er zijn twee antwoorden mogelijk. Geef ze allebei.

Hiernaast staat een bekend plaatje: $A B C$ is een rechthoekige driehoek, $h$ is de hoogtelijn uit $C$ . $P$ en $Q$ zijn twee punten 'binnen' driehoek $A B C$ .

Wat levert het (inmiddels bewezen) vermoeden op als je $P Q = B C$ neemt?

En wat als je $P Q = A B$ neemt?