1

Een lijn met helling $‐ 1$ wordt met constante snelheid naar rechts geschoven. Op tijdstip $t$ gaat de lijn door $(t,0)$ .
$x + y = t$ is een vergelijking van die lijn op tijdstip $t$ . Een lijn met helling $2$ die op $t = 0$ door $(0,1)$ gaat wordt twee keer zo snel naar boven geschoven.

a

Geef een vergelijking van die lijn op tijdstip $t$ .

In het plaatje hiernaast is het snijpunt van de lijnen op $t = 0$ getekend.

b

Teken het snijpunt van de lijnen ook op enkele andere tijdstippen.

Je kunt de opdracht ook in GeoGebra uitvoeren. Als volgt.

Maak een schuifknop voor $t$ .
Voer de vergelijking $x + y = t$ in in het ‘invoerveld’.
Voer ook de vergelijking uit a in.
Geogebra tekent de twee lijnen.
Markeer het snijpunt van de twee lijnen met de knop snijpunt(en).
GeoGebra geeft het snijpunt een naam.

Klik met de rechter muisknop op het snijpunt en kies ‘spoor aan’.
Klik met de rechter muisknop op $t$ en kies ‘animatie’.

De snijpunten vormen een rechte lijn.

c

Laat dat algebraïsch met behulp van de vergelijkingen van de lijnen zien.

(hint)

Elimineer de parameter.

2

$k_{t}$ is de lijn met vergelijking $y = ‐ t x + 2$ en $m_{t}$ de lijn met vergelijking $y = t x$ . We laten $t$ alle mogelijke waarden aannemen. Het snijpunt van $k_{t}$ en $m_{t}$ noemen we $S_{t}$ .

a

Bepaal met GeoGebra waar de punten $S_{t}$ liggen.

b

Laat algebraïsch zien dat de punten $S_{t}$ op een rechte lijn liggen en geef een vergelijking van die lijn.

c

Uit welk interval moet je $t$ nemen om als ‘spoor’ het lijnstuk met eindpunten $A (1,1)$ en $B (10,1)$ te krijgen?

3

Bekijk de lijnen $k_{t}$ met vergelijking $x + t y + 1 = 0$ en $m_{t}$ met vergelijking $x - \frac{1}{t} y - 1 = 0$ , voor alle mogelijke waarden van $t \neq 0$ . De lijnen $k_{t}$ gaan door een vast punt. De lijnen $m_{t}$ ook.

a

Bepaal die punten algebraïsch.

Het snijpunt van $k_{t}$ en $m_{t}$ noemen we $S_{t}$ .

b

Bepaal met GeoGebra de ligging van de punten $S_{t}$ .

De punten $S_{t}$ liggen op een cirkel.

c

Kun je dat meetkundig verklaren?

(hint)

Kijk naar de richtingscoëfficiënten van

k_{t}

en

m_{t}

.

De eerste coördinaat van $S_{t}$ is $\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$ .

d

Bereken hiermee de tweede coördinaat van $S_{t}$ en controleer dat dit inderdaad het snijpunt van $k_{t}$ en $m_{t}$ is.

e

Vullen de punten $S_{t}$ de hele cirkel?

4

$k_{α}$ is de lijn door $O (0,0)$ met hellingshoek α.
$m_{α}$ is de lijn door $A (4,0)$ met hellingshoek $2 α$ .
Als we α laten toenemen van $0$ tot $360$ graden, draait $k_{α}$ om $O$ en $m_{α}$ om $A$ . Zodoende ontstaan er twee waaiers. De waaier om $A$ draait twee keer zo snel als de waaier om $O$ .
We onderzoeken de baan van de snijpunten van $k_{α}$ en $m_{α}$ .
Om een idee te krijgen, tekenen we de baan in GeoGebra. Als volgt.

Eerst maak je de waaier door $O$ .
- Teken het punt $A (4,0)$ .
- Maak een schuifknop voor hoek α.
- Om lijn $k_{α}$ te tekenen, gebruiken we de knop ‘hoek met gegeven grootte’.
  
  Daarvoor moet je eerst één been hebben: neem daarvoor de halve lijn met beginpunt $O$ door $A$ . Als je de hoekknop gebruikt, wordt er naar de grootte gevraagd: hiervoor neem je α. GeoGebra tekent een punt op het andere been, dat gebruik je (samen met $O$ ) om $k_{α}$ te tekenen.
Om de waaier door $A$ te maken, ga je op soortgelijke wijze te werk; je neemt nu als hoekgrootte $2 α$ .

a

Nu kun je de baan tekenen.

Markeer het snijpunt van $k_{α}$ en $m_{α}$ . GeoGebra geeft het snijpunt een naam.
Klik met de rechter muisknop op het snijpunt en kies ‘spoor aan’.
Klik met de rechter muisknop op α en kies ‘animatie’.

De baan lijkt een cirkel te worden.

b

Als het een cirkel is, wat is dan het middelpunt en wat de straal?
Geef een vergelijking van die cirkel.

Noem het snijpunt van $k_{α}$ en $m_{α}$ : $S_{α}$ .

c

Waarom geldt: $∠ A S_{α} O$ $=$ α?

d

Bewijs dat de snijpunten $S_{α}$ inderdaad op een cirkel liggen.

5

$k_{α}$ is de lijn door $O$ met hellingshoek α. Nu is $m_{α}$ de lijn door $A (4,0)$ met hellingshoek $α + 45 °$ .

a

Teken in GeoGebra de baan van het snijpunt van $k_{α}$ en $m_{α}$ als α toeneemt van $0$ tot $180$ graden.

Op grond van het plaatje dat Geogebra laat zien, is het niet gek te veronderstellen dat de baan een cirkel is.

Neem aan dat de veronderstelling juist is.

b

Wat is dan het middelpunt van die cirkel? En wat is de straal?

Bekijk de cirkel met dat punt $M$ als middelpunt die door $O$ gaat.

Neem een punt $S$ op de cirkel. Hoek $S O A$ noemen we α.

c

Toon aan: $∠ S A X = α + 45 °$ . ( $X$ is een punt op de $x$ -as met eerste coördinaat groter dan $4$ .)

(hint)

Teken lijnstuk

M S

.

6

$k_{α}$ is de lijn door $O (0,0)$ met hellingshoek α en $m_{α}$ is de lijn door $A (0,0)$ met hellingshoek $3 α$ .
Als we α laten toenemen van $0$ tot $360$ graden, draait $k_{α}$ om $O$ en $m_{α}$ om $A$ .
Zodoende ontstaan er twee waaiers. De waaier om $A$ draait drie keer zo snel als de waaier om $O$ .

a

Onderzoek met GeoGebra de baan van de snijpunten van $k_{α}$ en $m_{α}$ . Schrijf je werkwijze op.

Als je met ‘animatie’ werkt, zie je dat $k_{α}$ en $m_{α}$ wel eens parallel lopen en ook wel eens loodrecht op elkaar staan.

b

Voor welke waarden van α is dit het geval?

7

We bekijken twee waaiers:
$k_{t} : y = (t + 2) x$ en
$m_{t} : y = t (x + 2)$ , voor alle mogelijke waarden van $t$ .

a

Welk is het ‘vaste’ punt van de lijnen $k_{t}$ ?
En welk is het ‘vaste’ punt van de lijnen $m_{t}$ ?

We bekijken de snijpunten $S_{t}$ van $k_{t}$ en $m_{t}$ .

b

Teken de baan van de punten $S_{t}$ met GeoGebra.

De baan lijkt een parabool. Als je de baan in een rooster tekent, kun je de top $(‐ 1, ‐ 1)$ mooi zien.

c

Aangenomen dat de baan een parabool is, geef een vergelijking van de baan. Licht je antwoord toe.

Als je bij $t$ voor de stapgrootte $1$ kiest, zul je het verband tussen de eerste coördinaat van $S_{t}$ en $t$ gemakkelijk zien.

d

Wat zijn de coördinaten van $S_{t}$ ?
Controleer je antwoord met de vergelijkingen van $k_{t}$ en $m_{t}$ .

Je kunt ook een vergelijking van de baan vinden door $t$ te elimineren.

e

Doe dat.