Het inproduct

Het inproduct v w van de vectoren v en w is gedefinieerd als volgt.
Als v = ( v 1 v 2 ) en w = ( w 1 w 2 ) , dan v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 .
Er geldt: v w = | v | | w | cos ( ϕ ) , waarbij ϕ de hoek tussen v en w is.

v w > 0 ϕ is scherp,
v w = 0 ϕ is recht,
v w < 0 ϕ is stomp.

Projecties en het inproduct

De (loodrechte) projectie van een punt A op een lijn k is het snijpunt P van de loodlijn uit A op k met lijn k .
De (loodrechte) projectie van een lijnstuk A B op een lijn k is lijnstuk P Q , waarbij P en Q de projecties van A en B zijn.

Je vindt de lengte van de projectie van lijnstuk A B als volgt.
Kies een richtingsvector v van k . Neem het inproduct v A B en daarvan de absolute waarde. Deel dit getal door de lengte van v . Het resultaat is de lengte van de projectie.
In formule: de lengte van de projectie van lijnstuk A B is | v A B | | v | .

Rechte lijnen

Elke lijn k heeft een vergelijking in de vorm p x + q y + r = 0 , waarbij p en q niet beide 0 zijn.
Een lijn die loodrecht op k staat noemen we normaal van k , een vector die loodrecht op k staat noemen we een normaalvector van k .
De vector ( p q ) is een normaalvector van k .
De vector ( q p ) is een richtingsvector van k en p q is de helling (richtingscoëfficiënt) van k , mits q 0 .

Een lijn k maakt vier hoeken met de x -as. Noem de grootte van een niet-stompe hoek: α. De hellingshoek van k is α als k een positieve helling heeft en -α als k een negatieve helling heeft.
Als lijn k helling m heeft en α de hellingshoek van k is, dan tan α = m .

Afstand van punt tot lijn met het inproduct

De afstand van een punt A tot een lijn k vind je als volgt.
Kies een punt P op k en een normaalvector n van k .
Neem de absolute waarde van het inproduct van n met P A en deel dit door de lengte van n . Het resultaat is de afstand van A tot k .
In formule: de afstand van A tot k is: | n P A | | n | .
Als je dit in coördinaten uitschrijft krijg je het volgende.
De afstand van een punt A ( a , b ) tot de lijn k met vergelijking p x + q y + r = 0 is: | p a + q b + r | p 2 + q 2 .

Hoeken

Onder de hoek van twee snijdende lijnen verstaan we de grootte van de twee niet-stompe hoeken in het snijpunt.
De hoek van twee lijnen en de hoek van hun normalen zijn gelijk.
De hoek van twee snijdende lijnen kan worden berekend met het inproduct van hun richtingsvectoren en ook met het inproduct van hun normaalvectoren.
Als twee lijnen met helling m en n (beide 0 ) loodrecht op elkaar staan, dan m n = 1 .

Waaier

Alle lijnen die door een vast punt gaan vormen een zogenaamde (lijnen)waaier of lijnenbundel.
Twee gegeven snijdende lijnen – zeg met vergelijkingen p x + q y + r = 0 en p x + q y + r = 0 – brengen een lijnenbundel door het snijpunt voort.
Een willekeurige lijn uit die bundel heeft vergelijking
a ( p x + q y + r ) + b ( p x + q y + r ) = 0 .
Door speciale waarden voor a en b te kiezen vind je de coördinaten van het gemeenschappelijke punt.