Gegeven zijn de lijnen
en
.
Bereken de coördinaten van het snijpunt van en .
Geef van beide lijnen een vergelijking.
De gegeven richtingsvectoren van en zijn niet even lang.
Zoek twee even lange richtingsvectoren en tel ze op.
Waarom is de somvector richtingsvector van een van de bissectrices van en ?
is pv van een van de bissectrices.
Ga dat na.
Geef een vergelijking van de andere bissectrice.
Laat met een berekening zien dat een punt op de bissectrice even ver van als van ligt.
Een wiel met diameter (dm) wordt met constante snelheid een rechte helling af gerold. De helling gaat door en .
Op tijdstip is het middelpunt van het wiel op de -as. heeft een snelheid van dm/s). In de figuur is een deel van de baan van het middelpunt gestippeld.
Bereken de coördinaten van op .
Geef de coördinaten van het middelpunt van het wiel op tijdstip .
Bereken op welk tijdstip het wiel de grond (de -as) raakt.
We bekijken het vermoeden uit de intro als een gelijkbenig rechthoekige driehoek is.
Neem aan dat op zijde ligt en het punt is. is de projectie van op zijde .
Als het vermoeden juist is, dan moet .
Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.
Neem aan dat op zijde ligt en het punt is.
is de projectie van
op zijde en het midden van .
Als het vermoeden juist is, dan moet .
Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.
Er zijn ook nog randgevallen: en bijvoorbeeld of en .
Wat moet je in deze gevallen laten zien?
Alle andere gevallen zijn tot bovenstaande te herleiden.
Ga dat na.
de lijn door met hellingshoek α. is de lijn door met hellingshoek .
Bepaal met GeoGebra de baan van het snijpunt van en als α toeneemt van tot .
Zeg dat een vergelijking is van .
Stel een vergelijking op van .
Geef twee vergelijkingen voor het snijpunt van
en en leid hieruit een vergelijking in en
af waarin
niet voorkomt.
Laat zien dat de baan een cirkel is. Wat is het middelpunt en wat is de straal?
In de volgende gevallen snijden de lijnen en elkaar onder een hoek die we noemen.
Bereken exact de coördinaten van het snijpunt en .
|
en |
|
|
en |
|
|
en |
|
Een punt is op tijdstip in .
Bereken op drie verschillende manieren (zie opgave 40 en 41) exact op welk tijdstip het punt het dichtst bij de oorsprong is.
Gegeven zijn de lijnen en door met richtingsvectoren en . Verder is .
Neem de figuur over op roosterpapier en ontbind langs de lijnen en .
Er zijn getallen en zó, dat .
Bereken de getallen en exact.
Gegeven is . Er zijn getallen en zó, dat .
Bereken en exact met behulp van het inproduct.
Gegeven is de lijn met vergelijking .
De lijn snijdt de -as in en de -as in .
Bereken de coördinaten van en .
Bereken de oppervlakte van driehoek .
Bereken met behulp van het vorige onderdeel de afstand van tot .
Bereken de coördinaten van het punt op de -as dat ook op afstand van ligt.
Het punt ligt op de lijn en de oppervlakte van driehoek oppervlakte driehoek .
Bereken de coördinaten van (twee mogelijkheden).
De lijnen en
snijden elkaar loodrecht.
Op de -as ligt een punt dat twee keer zo ver van als van ligt.
Bereken de coördinaten van dat punt exact.
Doe dat op twee manieren: met en zonder afstandsformule.
In het Kröller-Müller museum hangt het kunstwerk Hoe hoeker hoe platter van Ger van Elk, zie linker figuur.
Geïnspireerd hierdoor hebben we de volgende vragen.
In rechter figuur is de oorsprong, het punt en het punt . Er zijn tien hoeken getekend (inclusief die met hoekpunt en de gestrekte hoek . De hoekpunten liggen regelmatig verdeeld tussen en het midden van .
Bereken de grootte van de hoek bij het tweede verdeelpunt vanaf in graden nauwkeurig.
Gebruik het inproduct.
Bereken exact de coördinaten van het punt tussen en het midden van waarvoor hoek .
Gegeven zijn de punten , , en .
Geef een pv van lijn en een vergelijking van lijn .
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen en exact.
Bereken de hoek tussen de lijnen en exact.
Kun je de hoek tussen de lijnen en ook op een elementaire manier berekenen?