1

Gegeven zijn de lijnen k : ( x y ) = t ( 1 1 ) en
m : ( x y ) = ( 5 1 ) + t ( 7 1 ) .

a

Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en m .

b

Geef van beide lijnen een vergelijking.

De gegeven richtingsvectoren van k en m zijn niet even lang.

c

Zoek twee even lange richtingsvectoren en tel ze op.

d

Waarom is de somvector richtingsvector van een van de bissectrices van k en m ?

( x y ) = ( 2 2 ) + t ( 2 1 ) is pv van een van de bissectrices.

e

Ga dat na.

f

Geef een vergelijking van de andere bissectrice.

g

Laat met een berekening zien dat een punt P ( 2 + 2 t , 2 + t ) op de bissectrice even ver van k als van m ligt.

2

Een wiel met diameter 2  (dm) wordt met constante snelheid een rechte helling af gerold. De helling gaat door A ( 8,0 ) en B ( 0,6 ) .

Op tijdstip t = 0 is het middelpunt M van het wiel op de y -as. M heeft een snelheid van 1  dm/s). In de figuur is een deel van de baan van het middelpunt gestippeld.

a

Bereken de coördinaten van M op t = 0 .

b

Geef de coördinaten van het middelpunt M van het wiel op tijdstip t .

c

Bereken op welk tijdstip het wiel de grond (de x -as) raakt.

3

We bekijken het vermoeden uit de intro als A B C een gelijkbenig rechthoekige driehoek is.
Neem aan dat P op zijde A C ligt en Q het punt B is. R is de projectie van P op zijde B C .

Als het vermoeden juist is, dan moet A B + A P = B R 2 .

a

Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.

Neem aan dat P op zijde B C ligt en Q het punt A is. R is de projectie van P op zijde A B en M het midden van B C .
Als het vermoeden juist is, dan moet A R = A S + M P 2 .

b

Waarom? Laat zien dat inderdaad het geval is.

Er zijn ook nog randgevallen: P = B en Q = C bijvoorbeeld of P = A en Q = M .

c

Wat moet je in deze gevallen laten zien?

Alle andere gevallen zijn tot bovenstaande te herleiden.

d

Ga dat na.

4

k α de lijn door O ( 0,0 ) met hellingshoek α. m α is de lijn door A ( 4,0 ) met hellingshoek α + 1 2 π .

a

Bepaal met GeoGebra de baan van het snijpunt S van k α en m α als α toeneemt van 0 tot 2 π .

Zeg dat y = t x een vergelijking is van k α .

b

Stel een vergelijking op van m α

c

Geef twee vergelijkingen voor het snijpunt ( x , y ) van k α en m α en leid hieruit een vergelijking in x en y af waarin t niet voorkomt.
Laat zien dat de baan een cirkel is. Wat is het middelpunt en wat is de straal?

5

In de volgende gevallen snijden de lijnen k en m elkaar onder een hoek die we ϕ noemen.

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt en cos ϕ .

    k : ( x y ) = ( 3 0 ) + t ( 1 1 )

en

m : ( x y ) = ( 5 2 ) + t ( 3 1 )

    k : ( x y ) = ( 3 0 ) + t ( 1 1 )

en

m : 2 x + y + 1 = 0

    k : 2 x + 3 y = 31

en

m : 3 x 4 y + 13 = 0

6

Een punt P is op tijdstip t in ( 6 + 2 t ,3 t ) .

Bereken op drie verschillende manieren (zie opgave 40 en 41) exact op welk tijdstip t het punt P het dichtst bij de oorsprong O is.

7

Gegeven zijn de lijnen k en m door O met richtingsvectoren v = ( 4 3 ) en w = ( 3 4 ) . Verder is y = ( 0 9 ) .

a

Neem de figuur over op roosterpapier en ontbind y langs de lijnen k en m .

Er zijn getallen a en b zó, dat y = a v + b w .

b

Bereken de getallen a en b exact.

Gegeven is u = ( 4 9 ) . Er zijn getallen p en q zó, dat u = p v + q w .

c

Bereken p en q exact met behulp van het inproduct.

8

Gegeven is de lijn k met vergelijking 8 x 15 y = 120 .

De lijn snijdt de x -as in A en de y -as in B .

a

Bereken de coördinaten van A en B .

b

Bereken de oppervlakte van driehoek O A B .

c

Bereken met behulp van het vorige onderdeel de afstand van O tot k .

d

Bereken de coördinaten van het punt op de x -as dat ook op afstand 7 1 17 van k ligt.

Het punt P ligt op de lijn 8 x + 15 y = 480 en de oppervlakte van driehoek P A B = oppervlakte driehoek O A B .

e

Bereken de coördinaten van P (twee mogelijkheden).

9

De lijnen k : ( x y ) = ( 1 5 ) + t ( 3 1 ) en m : ( x y ) = ( 4 0 ) + t ( 1 3 ) snijden elkaar loodrecht.
Op de x -as ligt een punt dat twee keer zo ver van k als van m ligt.

Bereken de coördinaten van dat punt exact.
Doe dat op twee manieren: met en zonder afstandsformule.

10

In het Kröller-Müller museum hangt het kunstwerk Hoe hoeker hoe platter van Ger van Elk, zie linker figuur.
Geïnspireerd hierdoor hebben we de volgende vragen.

In rechter figuur is O de oorsprong, A het punt ( 9,0 ) en B het punt ( 0,9 ) . Er zijn tien hoeken getekend (inclusief die met hoekpunt O en de gestrekte hoek A B . De hoekpunten liggen regelmatig verdeeld tussen O en het midden van A B .

a

Bereken de grootte van de hoek bij het tweede verdeelpunt vanaf O in graden nauwkeurig.
Gebruik het inproduct.

b

Bereken exact de coördinaten van het punt P tussen O en het midden van A B waarvoor hoek A P B = 120 ° .

11

Gegeven zijn de punten A ( 1,1 ) , B ( 3, 1 ) , C ( 3,0 ) en D ( 6,3 )

a

Geef een pv van lijn A B en een vergelijking van lijn C D .

b

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen A B en C D exact.

c

Bereken de hoek tussen de lijnen A B en C D exact.

d

Kun je de hoek tussen de lijnen A B en C D ook op een elementaire manier berekenen?