1
a

( 2, 2 )

b

k : y = x en m : x 7 y 12 = 0

c

Bijvoorbeeld ( 5 5 ) en ( 7 1 ) , de som is dan: ( 12 6 ) .

d

Het parallellogram dat je bij de optelling maakt, is een ruit. In een ruit delen de diagonalen de hoeken van de ruit middendoor.

e

De bissectrice gaat door het snijpunt en heeft de goede richting, zie c.

f

Die staat loodrecht op de andere, dus ( 2 1 ) is een normaalvector.
Een vergelijking is: 2 x + y + 6 = 0 .

g

De afstand van P tot k is | 2 + 2 t + 2 t | 2 = | t | 2 (afstandsformule) en tot M : | 2 + 2 t 7 ( 2 + t ) 12 | 1 2 + 7 2 = | 5 t | 5 2 = | t | 2 , dus hetzelfde.

2
a

Noem het punt waar het wiel de lijn A B raakt R , dan is driehoek R M B gelijkvormig met driehoek O A B .
Uit R M = 1 volgt dan: B M = 6 2 + 8 2 8 = 1 1 4 , dus M ( 0,7 1 4 ) .

b

De snelheidsvector waarmee M beweegt is v = 1 10 ( 8 6 ) = ( 4 5 3 5 ) .
Dus op tijdstip k zijn de coördinaten van het middelpunt ( 4 5 t ,7 1 4 3 5 t ) .

c

Dan is de y -coördinaat 1 , dus: t = 10 5 12 .

3
a

Het vermoeden is: R B B C = A P B C + A B A B , dus (deel door A B ): A B + A P = B R 2 .

Het bewijs in dit geval.
B R 2 = ( B C C R ) 2 = B C 2 C P = A B + B C C P = A B + A P .

b

Zie plaatje links hieronder.

onderdeel b
onderdeel d

Het vermoeden is: A R A B = A S A B + M P A B 2 , deel weer door A B . Het bewijs in dit geval.
A S + M P 2 = A S + M X + X P = A Z + Z R = A R .

c

In het eerste geval de stelling van Pythagoras, in het tweede geval niets.

d

Zie plaatje rechts hierboven bijvoorbeeld, je moet laten zien:
A C x = A B y + B C z . Als je door A B deelt, moet je dus laten zien dat: x = y + z 2 en dat is in onderdeel a gebeurd. Enzovoort.

4
a

-

b

m α : x + t y = 4

c

y = t x en x + t y = 4 .
Voor t = y x invullen in x + t y = 4 geeft: x + y x y = 4 x , dus ( x 2 ) 2 + y 2 = 4 .
Middelpunt ( 2,0 ) en straal 2 .

5

Snijpunt ( 1,4 ) wordt op k bereikt op t = 4 en op m op t = 2 ; cos ( ϕ ) = 2 5 5 .
Snijpunt ( 4,7 ) ; cos ( ϕ ) = 3 10 10
Snijpunt ( 5,7 ) ; cos ( ϕ ) = 6 65 13

6

Noem de lijn waarover P beweegt k . Een richtingsvector van k is v = ( 2 1 ) .

  • O P staat loodrecht op v , dus ( 6 + 2 t 3 t ) ( 2 1 ) = 0 12 + 4 t 3 + t = 0 t = 1 4 5 .

  • O P 2 = ( 6 + 2 t ) 2 + ( 3 t ) 2 = 5 t 2 + 18 t + 45 = 5 ( t + 1 4 5 ) 2 + 28 4 5 , is minimaal als t = 1 4 5 .

  • De lijn m door O loodrecht op k snijden met k : m heeft normaalvector v , dus vergelijking 2 x y = 0 . P ligt op die lijn als ( 6 + 2 t ,3 t ) aan die vergelijking voldoet, dus als 2 ( 6 + 2 t ) ( 3 t ) = 0 t = 1 4 5 .

7
a

P , respectievelijk Q is de loodrechte projectie van Y op k respectievelijk m .

b

cos ( ϕ ) = 3 5 , dus O P = 3 5 9 = 27 5 .
O Q = 4 5 9 = 36 5 . De lengte van v en w is 5 , dus a = 27 25 en b = 36 25 .

c

De projectie van u op k heeft lengte u v | v | = 43 5 , dus p = 43 25 en de projectie van u op m heeft lengte u w | w | = 24 5 , dus q = 24 25 .

8
a

A ( 15,0 ) , B ( 0, 8 )

b

60

c

Noem de afstand a , dan is 1 2 a A B = 60 , dus a = 120 A B = 120 17 = 7 1 17 .

d

( 2 15,0 ) = ( 30,0 )

e

P ligt op de lijn door O evenwijdig met k dus op de lijn 8 x 15 y = 0 of op de lijn door ( 30,0 ) evenwijdig met k , dus op de lijn 8 x 15 y = 240 , dus
P = ( 30,16 ) of P = ( 45,8 ) .

9

Met afstandsformule.
Een vergelijking van k is x 3 y + 16 = 0 .
Dat punt is P ( t ,0 ) . De afstand tot k is | t + 16 | 10 . Een vergelijking van m is 3 x + y 12 = 0 . De afstand tot m is dus | 3 t 12 | 10 .
Dus | t + 16 | 10 = 2 | 3 t 12 | 10 | t + 16 | = | 6 t 24 | t + 16 = 6 t 24 of
t + 16 = 6 t + 24 t = 8 of t = 1 1 7 .

Zonder afstandsformule.
P ligt op de lijn door het snijpunt S ( 2,6 ) met een richtingsvector die ontbonden langs k en m een twee keer zo lange component in de richting van m heeft, dus veelvoud is van ( 3 1 ) + 2 ( 1 3 ) = ( 5 5 ) of van ( 3 1 ) 2 ( 1 3 ) = ( 1 7 ) , P = ( 2 + t ,6 t ) of P = ( 2 + t ,6 + 7 t ) , dus t = 6 en P = ( 8,0 ) of t = 6 7 en dan P = ( 1 1 7 ,0 ) .

10
a

Dat punt is ( 1,1 ) . Noem de hoek α. Dan: cos ( α ) = ( 1 8 ) ( 8 1 ) 65 = 16 65 , dus α = 104,3 ° .

b

Zeg P = ( p , p ) , dan: ( p 9 p ) ( 9 p p ) 2 p 2 18 p + 81 = 1 2 .
Hieruit volgt (kruislings vermenigvuldigen): 6 p 2 54 p + 81 = 0 ,
dus p = 4 1 2 ± 1 1 2 3 .
Alleen p = 4 1 2 1 1 2 3 voldoet, dus P = ( 4 1 2 1 1 2 3 ,4 1 2 1 1 2 3 ) .

11
a

Pv lijn A B is ( x y ) = ( 1 1 ) + t ( 2 1 ) ;
een vergelijking van lijn C D is: x 3 y + 3 = 0 (of: y = 1 3 x + 1 ).

b

Het snijpunt is S ( 1 + 2 t ,1 t ) (uit de pv van lijn A B ). Invullen in de vergelijking van C D geeft: 1 + 2 t 3 + 3 t + 3 = 0 t = 1 5 , dus S = ( 3 5 , 4 5 ) .

c

Een richtingsvector van lijn C D is: ( 1 3 ) . Noem de hoek tussen de lijnen ϕ , dan cos ( ϕ ) = ( 3 1 ) ( 2 1 ) 10 5 = 1 2 2 , dus ϕ = 45 ° .

d

Driehoek A E B met E ( 2,2 ) is een gelijkbenige rechthoekige driehoek, en ϕ is gelijk aan hoek E A B , dus 45 ° .