en
Bijvoorbeeld en , de som is dan: .
Het parallellogram dat je bij de optelling maakt, is een ruit. In een ruit delen de diagonalen de hoeken van de ruit middendoor.
De bissectrice gaat door het snijpunt en heeft de goede richting, zie c.
Die staat loodrecht op de andere, dus
is een normaalvector.
Een vergelijking is: .
De afstand van tot is (afstandsformule) en tot : , dus hetzelfde.
Noem het punt waar het wiel de lijn
raakt , dan is driehoek gelijkvormig met driehoek
.
Uit volgt dan: ,
dus .
De snelheidsvector waarmee beweegt is
.
Dus op tijdstip zijn de coördinaten van het middelpunt
.
Dan is de -coördinaat , dus: .
Het vermoeden is: ,
dus (deel door ):
.
Het bewijs in dit geval.
.
Zie plaatje links hieronder.
Het vermoeden is:
,
deel weer door .
Het bewijs in dit geval.
.
In het eerste geval de stelling van Pythagoras, in het tweede geval niets.
Zie plaatje rechts hierboven bijvoorbeeld, je moet laten zien:
.
Als je door deelt, moet je dus laten zien dat:
en dat is in onderdeel a gebeurd.
Enzovoort.
-
en .
Voor invullen in
geeft: , dus
.
Middelpunt en straal .
Snijpunt wordt op
bereikt op en op op
; .
Snijpunt ;
Snijpunt ;
Noem de lijn waarover beweegt . Een richtingsvector van is .
staat loodrecht op , dus .
, is minimaal als .
De lijn door loodrecht op snijden met : heeft normaalvector , dus vergelijking . ligt op die lijn als aan die vergelijking voldoet, dus als .
, respectievelijk is de loodrechte projectie van op respectievelijk .
, dus .
.
De lengte van en is ,
dus en
.
De projectie van op heeft lengte , dus en de projectie van op heeft lengte , dus .
,
Noem de afstand , dan is , dus .
ligt op de lijn door
evenwijdig met dus op de lijn
of op de lijn door evenwijdig met ,
dus op de lijn , dus
of
.
Met afstandsformule.
Een vergelijking van is .
Dat punt is . De afstand tot is .
Een vergelijking van is . De afstand tot
is dus .
Dus
of
of .
Zonder afstandsformule.
ligt op de lijn door het snijpunt
met een richtingsvector die ontbonden langs en een twee keer zo lange component in de richting van heeft,
dus veelvoud is van
of van ,
of
,
dus en
of
en dan .
Dat punt is . Noem de hoek α. Dan: , dus .
Zeg , dan:
.
Hieruit volgt (kruislings vermenigvuldigen): ,
dus .
Alleen voldoet, dus
.
Pv lijn is
;
een vergelijking van lijn is:
(of: ).
Het snijpunt is (uit de pv van lijn ). Invullen in de vergelijking van geeft: , dus .
Een richtingsvector van lijn is: . Noem de hoek tussen de lijnen , dan , dus .
Driehoek met is een gelijkbenige rechthoekige driehoek, en ϕ is gelijk aan hoek , dus .