1

a

$(‐ 2, ‐ 2)$

b

$k : y = x$ en $m : x - 7 y - 12 = 0$

c

Bijvoorbeeld $(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array})$ en $(\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array})$ , de som is dan: $(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})$ .

d

Het parallellogram dat je bij de optelling maakt, is een ruit. In een ruit delen de diagonalen de hoeken van de ruit middendoor.

e

De bissectrice gaat door het snijpunt en heeft de goede richting, zie c.

f

Die staat loodrecht op de andere, dus $(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array})$ is een normaalvector.
Een vergelijking is: $2 x + y + 6 = 0$ .

g

De afstand van $P$ tot $k$ is $\frac{| ‐ 2 + 2 t + 2 − t |}{\sqrt{2}} = \frac{| t |}{\sqrt{2}}$ (afstandsformule) en tot $M$ : $\frac{| ‐ 2 + 2 t - 7 (‐ 2 + t) - 12 |}{\sqrt{1^{2} + 7^{2}}} = \frac{| 5 t |}{5 \sqrt{2}} = \frac{| t |}{\sqrt{2}}$ , dus hetzelfde.

2

a

Noem het punt waar het wiel de lijn $A B$ raakt $R$ , dan is driehoek $R M B$ gelijkvormig met driehoek $O A B$ .
Uit $R M = 1$ volgt dan: $B M = \frac{\sqrt{6^{2} + 8^{2}}}{8} = 1 \frac{1}{4}$ , dus $M (0,7 \frac{1}{4})$ .

b

De snelheidsvector waarmee $M$ beweegt is $\vec{v} = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 8 \\ ‐ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{4}{5} \\ ‐ \frac{3}{5} \end{matrix})$ .
Dus op tijdstip $k$ zijn de coördinaten van het middelpunt $(\frac{4}{5} t,7 \frac{1}{4} - \frac{3}{5} t)$ .

c

Dan is de $y$ -coördinaat $1$ , dus: $t = 10 \frac{5}{12}$ .

3

a

Het vermoeden is: $R B \cdot B C = A P \cdot B C + A B \cdot A B$ , dus (deel door $A B$ ): $A B + A P = B R \cdot \sqrt{2}$ .

Het bewijs in dit geval.
$B R \cdot \sqrt{2} = (B C - C R) \cdot \sqrt{2} = B C \cdot \sqrt{2} - C P$ $= A B + B C - C P = A B + A P$ .

b

Zie plaatje links hieronder.

onderdeel b

onderdeel d

Het vermoeden is: $A R \cdot A B = A S \cdot A B + M P \cdot A B \cdot \sqrt{2}$ , deel weer door $A B$ . Het bewijs in dit geval.
$A S + M P \sqrt{2} = A S + M X + X P = A Z + Z R = A R$ .

c

In het eerste geval de stelling van Pythagoras, in het tweede geval niets.

d

Zie plaatje rechts hierboven bijvoorbeeld, je moet laten zien:
$A C \cdot x = A B \cdot y + B C \cdot z$ . Als je door $A B$ deelt, moet je dus laten zien dat: $x = y + z \sqrt{2}$ en dat is in onderdeel a gebeurd. Enzovoort.

4

a

-

b

$m_{α} : x + t y = 4$

c

$y = t x$ en $x + t y = 4$ .
Voor $t = \frac{y}{x}$ invullen in $x + t y = 4$ geeft: $x + \frac{y}{x} \cdot y = 4 x$ , dus ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .
Middelpunt $(2,0)$ en straal $2$ .

5

Snijpunt $(‐ 1,4)$ wordt op $k$ bereikt op $t = 4$ en op $m$ op $t = ‐ 2$ ; $\cos (ϕ) = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ .
Snijpunt $(‐ 4,7)$ ; $\cos (ϕ) = \frac{3}{10} \sqrt{10}$
Snijpunt $(5,7)$ ; $\cos (ϕ) = \frac{6}{65} \sqrt{13}$

6

Noem de lijn waarover $P$ beweegt $k$ . Een richtingsvector van $k$ is $\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .

$\vec{O P}$ staat loodrecht op $\vec{v}$ , dus $(\begin{matrix} 6 + 2 t \\ 3 - t \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow 12 + 4 t - 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = ‐ 1 \frac{4}{5}$ .
$O P^{2} = {(6 + 2 t)}^{2} + {(3 - t)}^{2} = 5 t^{2} + 18 t + 45 = 5 {(t + 1 \frac{4}{5})}^{2} + 28 \frac{4}{5}$ , is minimaal als $t = ‐ 1 \frac{4}{5}$ .
De lijn $m$ door $O$ loodrecht op $k$ snijden met $k$ : $m$ heeft normaalvector $\vec{v}$ , dus vergelijking $2 x - y = 0$ . $P$ ligt op die lijn als $(6 + 2 t,3 - t)$ aan die vergelijking voldoet, dus als $2 (6 + 2 t) - (3 - t) = 0 \Leftrightarrow t = ‐ 1 \frac{4}{5}$ .

7

a

$P$ , respectievelijk $Q$ is de loodrechte projectie van $Y$ op $k$ respectievelijk $m$ .

b

$\cos (ϕ) = \frac{3}{5}$ , dus $O P = \frac{3}{5} \cdot 9 = \frac{27}{5}$ .
$O Q = \frac{4}{5} \cdot 9 = \frac{36}{5}$ . De lengte van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ is $5$ , dus $a = \frac{27}{25}$ en $b = \frac{36}{25}$ .

c

De projectie van $\vec{u}$ op $k$ heeft lengte $\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{v} |} = \frac{43}{5}$ , dus $p = \frac{43}{25}$ en de projectie van $\vec{u}$ op $m$ heeft lengte $\frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{| \vec{w} |} = \frac{24}{5}$ , dus $q = \frac{24}{25}$ .

8

a

$A (15,0)$ , $B (0, ‐ 8)$

b

$60$

c

Noem de afstand $a$ , dan is $\frac{1}{2} a \cdot A B = 60$ , dus $a = \frac{120}{A B} = \frac{120}{17} = 7 \frac{1}{17}$ .

d

$(2 \cdot 15,0) = (30,0)$

e

$P$ ligt op de lijn door $O$ evenwijdig met $k$ dus op de lijn $8 x - 15 y = 0$ of op de lijn door $(30,0)$ evenwijdig met $k$ , dus op de lijn $8 x - 15 y = 240$ , dus
$P = (30,16)$ of $P = (45,8)$ .

9

Met afstandsformule.
Een vergelijking van $k$ is $x - 3 y + 16 = 0$ .
Dat punt is $P (t,0)$ . De afstand tot $k$ is $\frac{| t + 16 |}{\sqrt{10}}$ . Een vergelijking van $m$ is $3 x + y - 12 = 0$ . De afstand tot $m$ is dus $\frac{| 3 t - 12 |}{\sqrt{10}}$ .
Dus $\frac{| t + 16 |}{\sqrt{10}} = 2 \frac{| 3 t - 12 |}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow | t + 16 | = | 6 t - 24 | \Leftrightarrow t + 16 = 6 t - 24$ of
$t + 16 = ‐ 6 t + 24 \Leftrightarrow t = 8$ of $t = 1 \frac{1}{7}$ .

Zonder afstandsformule.
$P$ ligt op de lijn door het snijpunt $S (2,6)$ met een richtingsvector die ontbonden langs $k$ en $m$ een twee keer zo lange component in de richting van $m$ heeft, dus veelvoud is van $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ ‐ 5 \end{matrix})$ of van $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix})$ , $P = (2 + t,6 - t)$ of $P = (2 + t,6 + 7 t)$ , dus $t = 6$ en $P = (8,0)$ of $t = ‐ \frac{6}{7}$ en dan $P = (1 \frac{1}{7},0)$ .

10

a

Dat punt is $(1,1)$ . Noem de hoek α. Dan: $\cos (α) =$ $\frac{(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ ‐ 1 \end{matrix})}{65} = ‐ \frac{16}{65}$ , dus $α = 104,3 °$ .

b

Zeg $P = (p, p)$ , dan: $\frac{(\begin{matrix} ‐ p \\ 9 - p \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 9 - p \\ ‐ p \end{matrix})}{2 p^{2} - 18 p + 81} = ‐ \frac{1}{2}$ .
Hieruit volgt (kruislings vermenigvuldigen): $6 p^{2} - 54 p + 81 = 0$ ,
dus $p = 4 \frac{1}{2} \pm 1 \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .
Alleen $p = 4 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2} \sqrt{3}$ voldoet, dus $P = (4 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2} \sqrt{3},4 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2} \sqrt{3})$ .

11

a

Pv lijn $A B$ is $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ ;
een vergelijking van lijn $C D$ is: $x - 3 y + 3 = 0$ (of: $y = \frac{1}{3} x + 1$ ).

b

Het snijpunt is $S (‐ 1 + 2 t,1 - t)$ (uit de pv van lijn $A B$ ). Invullen in de vergelijking van $C D$ geeft: $‐ 1 + 2 t - 3 + 3 t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5}$ , dus $S = (‐ \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

c

Een richtingsvector van lijn $C D$ is: $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ . Noem de hoek tussen de lijnen $ϕ$ , dan $cos (ϕ) = \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $ϕ = 45 °$ .

d

Driehoek $A E B$ met $E (2,2)$ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek, en ϕ is gelijk aan hoek $E A B$ , dus $45 °$ .