10.1  Exponentiële functies >

In dit hoofdstuk bekijken we exponentiële en logaritmische functies, met name hoe je ze moet differentiëren.
We zullen zien dat het handig is, je grondtal goed te kiezen. Welk getal het is, zie je in paragraaf 2.
We beginnen met een herhaling van wat je in het hoofdstuk Exponenten en logaritmen in klas 4 gezien hebt.

1

Bij de meeste spaarbanken wordt de rente jaarlijks berekend. Als je de rente niet opneemt, wordt de rente bij het tegoed bijgeschreven en levert het jaar daarop dus ook rente op. Men spreekt dan van samengestelde interest.

a

Wat is voordeliger, 4 % rente per jaar of 2 % per halfjaar?

Op 28 januari 2014 meldde RTLnieuws dat de Turkse rente van 4,5 naar 10 procent werd verhoogd. Dit gebeurde om de waardedaling van de Lira (de Turkse munt) tegen te gaan.
Jaap besluit om 1000 euro op een Turkse bank te zetten tegen 10 % per jaar.
Het kapitaal is na t jaren gegroeid tot K ( t ) euro.

b

Neem de tabel over en vul hem verder in.

t

0

1

2

3

4

K ( t )

1000

1100

Als je het kapitaal dat nu op de rekening staat kent, kun je dat van het jaar erop berekenen door met een factor te vermenigvuldigen: kapitaal kapitaal ...

c

Welke factor moet ingevuld worden?

d

Geef een formule voor K ( t ) .

2

Tussen 2008 en 2012 (dus in vier jaar tijd) zijn de prijzen voor vrijstaande woningen met ongeveer 20 % gedaald.

We bekijken een huis dat in 2008 nog 200.000 euro waard was. Neem aan dat dat huis per jaar 5 % in waarde daalt. De waarde van het huis t jaar na 2008 noemen we W ( t ) .

a

Neem de tabel over en vul die verder in.

t

0

1

2

3

4

W ( t )

200.000

190.000

Als je de waarde van het huis nu kent, kun je die van het jaar erop berekenen door met een factor te vermenigvuldigen: waarde waarde .

b

Welke factor moet ingevuld worden?

c

Geef een formule voor W ( t ) .

Opmerking:

Op de GR kun je handig steeds weer met dezelfde factor vermenigvuldigen.
Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat.

3

De laatste jaren wordt een steeds grotere hoeveelheid stroom opgewekt door wind.
Voor het omzetten van windenergie in electriciteit gebruikt men windturbines.
De energieproductie per tijdseenheid wordt het vermogen genoemd. De eenheid van vermogen is watt. Het vermogen van een windturbine hangt onder andere af van de ashoogte. Uit metingen blijkt dat een toename van de ashoogte met 1 meter 1 % meer vermogen oplevert.

a

Laat met een berekening zien dat een toename van de ashoogte met 15 meter ongeveer 16 % meer vermogen oplevert.

b

Met welke factor neemt het geleverde vermogen toe als de ashoogte h meter toeneemt?

De groeifuncties in de opgaven 1, 2 en 3 zijn zogenaamde exponentiële functies. Ze hebben dezelfde eigenschap: de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid hoger) krijg je door de hoeveelheid nu (of op deze hoogte) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen. Deze factor noemen we de groeifactor.

4

Wat is de groeifactor per jaar in opgave 1 en opgave 2?
Wat is de groeifactor per meter in opgave 3?

In opgave 1 en opgave 3 is de groeifactor groter dan 1 , hoeveelheid wordt steeds groter.
In opgave 2 is de groeifactor kleiner dan 1 , de hoeveelheid wordt steeds kleiner.

Functies van de vorm y = A g x , A 0 en g > 0  en  g 1 , zijn exponentiële functies.
Het getal g heet groeifactor.
Als g > 1 , dan is de functie stijgend, als 0 < g < 1 , dan is de functie dalend.

5

Blaasontsteking bij mensen wordt veroorzaakt door de colibacterie (Eschirichia Coli). Een kolonie van zulke bacteriën groeit snel: in 20 minuten tijd is hun aantal verdubbeld. Bij iemand bevonden zich op tijdstip t = 0 zo’n 1000 coli-bacteriën in de urinewegen. Het aantal bacteriën t uur later noemen we N ( t ) .

a

Geef een formule voor N ( t ) .

b

Teken de bijbehorende grafiek op de GR.

De infectie wordt pas door de drager opgemerkt als hij zo’n 10 8 bacteriën heeft.

c

Wanneer is dat het geval? Geef een berekening langs algebraïsche weg; controleer je antwoord op de GR.

In een volle blaas zitten 10 8 bacteriën. Bij het legen wordt 90 % uitgestoten.

d

Bereken langs algebraïsche weg hoeveel tijd de kolonie daarna nodig heeft om weer op het peil van 10 8 te komen.

6

Bij de kernramp in Tsjernobyl in 1986 kwamen vooral de radio-actieve elementen Jodium, Cesium en Strontium vrij. Radio-actieve stoffen zenden straling uit, die bij grote dosis erg schadelijk kan zijn voor de gezondheid. Maar gelukkig neemt de stralingsintensiteit af in de loop van de tijd.

Van Jodium neemt de stralingsintensiteit snel af, namelijk met 8,3 % per etmaal.

a

Toon aan dat de straling na acht dagen gehalveerd is.

De halfwaardetijd (halveringstijd) van Jodium is 8 dagen.

b

Hoe lang duurt het voordat de stralingsintensiteit tot een kwart is teruggegaan?

c

Stel een formule op voor de stralingsintensiteit van Jodium in %, als functie van de tijd in dagen.

d

Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel tijd de stralingsintensiteit is teruggegaan tot 1 %.

Rekenregels voor machten
Voor positieve gehele getallen n en positieve getallen c hebben we afgesproken:
c n = 1 c n en c 1 n = c n .
Met deze afspraken gelden de volgende rekenregels.

  1. a p a q = a p + q

  2. a p : a q = a p q

  3. ( a p ) q = a p q

  4. ( a b ) p = a p b p

Deze regels gelden voor alle positieve getallen a en b en willekeurige getallen p en q .
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Opmerking:

In opgave 5 en 6 hebben we gebruikt dat de vergelijking c x = a als oplossing x = c log ( a ) = log ( a ) log ( c ) heeft.
De getallen a en c moeten positief zijn. Bovendien moet c 1 zijn.
Je kunt de optie LogBASE of logab op de GR gebruiken om de oplossing c log ( a ) meteen af te lezen.

7
a

Neem over en vul in:

7 p 7 = 7

7 p : 7 = 7

( 7 p ) 2 = 7

7 p 2 p = ( )

b

Bereken zonder rekenmachine:

2 1,23 2 1,77

2 23,5 : 2 21,5

( 2 0,125 ) 16

2 0,5 8 0,5

Voorbeeld:

27 2 3 kun je als volgt zonder GR berekenen.
27 2 3 = ( 3 3 ) 2 3 = 3 3 2 3 = 3 2 = 1 3 2 = 1 9

8

Bereken zonder rekenmachine; schrijf tussenstappen op:
8 2 3 , 49 1 1 2 , 10000 3 4 8 2 3 , 49 1 1 2 , 10000 3 4

In de tabel van opgave 2b zie je dat een daling met 20 % per vier jaar groter is dan een daling van 5 % per jaar.
Als de daling in vier jaar 20 % is, vind je die per jaar als volgt.
Noem de groeifactor per jaar x , dan is de groeifactor in vier jaar x 4 , dus x 4 = 0,8 , dus x = 0,8 4 oftewel x = 0,8 1 4 0,9457 , dus de daling is 5,43 % per jaar.

9

Laat langs algebraïsche weg zien dat:
0,8 1 1 2 = 1 0,512 ; 5 3 4 = 125 4 en ( 1 2 ) 1,1 = 2048 10 .

10

We nemen in de algemene gedaante y = A g x voor A het getal 1 en voor g de getallen 1 , 2 , 4 , 1 2 en 1 4 .
Hieronder staan de vijf grafieken.

Beantwoord de volgende vragen zonder GR.

a

Welke grafiek hoort bij welke waarde van g ?

De grafieken van y = ( 1 1 2 ) x en y = ( 2 3 ) x lopen ergens tussen de vijf getekende grafieken door.

b

Geef in een schets aan hoe.

De grafieken van de functies f : x ( 1 1 2 ) x en g : x ( 2 3 ) x zijn elkaars spiegelbeeld in de y -as.

c

Bewijs dat.

11

De grafieken van de functies y = g x met g > 0 hebben een punt gemeenschappelijk.

a

Welk punt? Kun je dat verklaren?

b

Wat weet je van g als de functie stijgend is?
En wat als de functie dalend is?
Blijft er één geval over. Welk?

c

Hoe ziet de grafiek eruit van y = 0,99 x ?
En van y = 1,01 x ?

De grafiek van y = 2 x gaat aan de linkerkant steeds meer op de x -as lijken. Preciezer gezegd: als je langs de grafiek van y = 2 x naar links gaat, kom je zo dicht bij de x -as als je maar wilt.

d

Voor welke x geldt: 2 x < 0,01 ?

y = 2 x
e

Probeer nu ook zonder GR zeggen voor welke x geldt:
2 x < 0,0001 .

Er geldt: lim x 2 x = 0 , dus de x -as is horizontale asymptoot van de grafiek van y = 2 x .
Omdat de grafieken van y = 2 x en y = ( 1 2 ) x elkaars spiegelbeeld in de y -as zijn, geldt: lim x ( 1 2 ) x = 0 .
Het volgende geldt algemeen.

Als g > 1 , dan lim x g x = 0 .
Als 0 < g < 1 , dan lim x g x = 0 .
De x -as is horizontale asymptoot van de grafiek van y = g x .

12

Zeg van de volgende functies of ze stijgend of dalend zijn, zonder eerst de grafiek te tekenen:
y = ( 1,1 ) x ; y = π x ; y = ( 1 2 2 ) x ; y = ( 17 20 ) x

13

Vergelijk de functies y = 2 x en y = x 2 . De formules lijken veel op elkaar. Maar het zijn toch heel verschillende functies.

a

Noem eens wat opvallende verschillen, bijvoorbeeld wat de grafieken betreft.

We gaan het groeigedrag van y = 2 x en y = x 2 vergelijken. Daarvoor berekenen we de gemiddelde toename van beide functies op verschillende x -intervallen van lengte 1 .
Voorbeeld
We laten x toenemen van 2 tot 3 .
Dan neemt y = 2 x toe van 4 tot 8 . Dus Δ y = 4 .
Dan neemt y = x 2 toe van 4 tot 9 . Dus Δ y = 5 .

b

Bereken Δ y voor beide functies op de x -intervallen in de tabel.

x -interval

[2 ,3]

[3 ,4]

[4 ,5]

[10 ,11]

[100 ,101]

Voor y = 2 x

Voor y = x 2

c

Is de conclusie gerechtvaardigd dat voor grote waarden van x de functie y = 2 x veel sneller groeit dan y = x 2 ?

14

We hebben in de vorige opgave gekeken naar de absolute toename van y . We kunnen ook kijken naar de relatieve toename van y : dat is hoeveel keer zo groot y wordt op een x -interval van lengte 1 .
Voorbeeld
We laten x toenemen van 2 tot 3 .
Dan neemt y = 2 x toe van 4 tot 8 . y wordt dus 8 4 = 2 keer zo groot .
Dan neemt y = x 2 toe van 4 tot 9 . Dus y wordt 9 4 = 2,25 keer zo groot.

a

Bereken voor beide functies hoeveel keer zo groot y wordt op de x -intervallen in de tabel.

x -interval

[2 ,3]

[3 ,4]

[4 ,5]

[10 ,11]

[100 ,101]

Voor y = 2 x

2

Voor y = x 2

2,25

b

Wat valt je op?

y = g x is de standaard-exponentiële functie met grondtal g .
Als g > 1 , dan is de functie stijgend en lim x g x = 0 .
Als 0 < g < 1 , dan is de functie dalend en lim x g x = 0 .
De x -as is horizontale asymptoot van de grafiek (behalve als g = 1 ).
De grafiek gaat door het punt (0 ,1) .
g x kan alle positieve waarden aannemen.

De waarden die een functie aan kan nemen, vormen het bereik van de functie.

15

Gegeven zijn de functies f : x 1 + ( 2 3 ) x en g : x 1 ( 2 3 ) x .

a

Hoe krijg je de grafiek van f uit die van y = ( 2 3 ) x ?
En hoe krijg je de grafiek van g uit die van y = ( 2 3 ) x ?

b

Is f stijgend? En g ?

c

Geef een vergelijking van de horizontale asymptoot van de grafiek van f . Ook voor de grafiek van g .

d

Geef het bereik van beide functies.

Er is een getal x , met f ( x ) = 4 .

e

Bereken g ( x ) exact voor dat getal x .

(hint)
Je hoeft daarvoor x niet uit te rekenen.
16

We bekijken verschillende kolonies bacteriën: A , B en C . Ze groeien alle drie met factor 2 per uur.
Kolonie A bestaat op t = 0 uit 1 mg bacteriën.
Kolonie B loopt 1 1 2 uur achter op kolonie A .
Het aantal bacteriën in kolonie A respectievelijk B op tijdstip t noemen we a ( t ) respectievelijk b ( t ) , t in uren.

a

Geef een formule voor a ( t ) .

b

Neem over en vul de juiste tijdstippen in: b ( 3 ) = a ( ) ; b ( 7 ) = a ( ) ; b ( t ) = a ( ) .
Geef een formule voor b ( t ) .

De grafiek van b kun je uit de grafiek van a krijgen door een verschuiving.

c

Hoe moet je de grafiek van a verschuiven?
Controleer je antwoord met de GR. (Je hebt in onderdeel b een formule voor b gevonden.)

De derde kolonie C loopt 2 uur vóór op kolonie a .
Het aantal bacteriën op tijdstip t in deze kolonie noemen we c ( t ) .

d

Neem over en vul in: c ( t ) = a ( ) .

e

Geef een formule voor de functie c .
Hoe ontstaat de grafiek van c uit die van a ?
Controleer je antwoord door de grafiek van c op de GR te tekenen.

Op t = 0 is het aantal mg bacteriën in kolonie C : 4 .

f

Ga na dat c ( t ) = 4 2 t .

De grafiek van c kun je ook uit die van a krijgen door een vermenigvuldiging ten opzichte van een van de coördinaatassen.

g

Welke vermenigvuldiging?

Een vierde kolonie D bestaat op tijdstip 0 uit 1 mg bacteriën en groeit 1 1 2 keer zo snel als kolonie A . Het aantal bacteriën van kolonie D op tijdstip t is d ( t ) .

h

Neem over en vul in:
d ( 4 ) = a ( ) ; d ( 5 ) = a ( ) ; d ( t ) = a ( ) .

i

Door welke vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van d uit die van a ?

j

Bereken de (exacte) groeifactor van kolonie D per uur.
Neem over en vul in: een (andere) formule voor d ( t ) is: d ( t ) = ( ) t .

k

Hoe kun je uit regels voor machtsverheffen afleiden:
2 1 1 2 t = ( 2 2 ) t ?

Het volgende is een herhaling uit het hoofdstuk 4Vb deel 1 Verbanden.
Je kunt de beweringen op de GR controleren. Neem daar voor f de functie met f ( x ) = x 2 en voor a het getal 2 .

Gegeven is een functie f .

  • Neem aan: g ( x ) = f ( a x ) met a 0 .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f horizontaal met 1 a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = a f ( x ) .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f verticaal met a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x + a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar links te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar rechts te schuiven.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x ) + a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar boven te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x ) a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar beneden te schuiven.

17

Gegeven zijn de functies f : x 2 x en g : x 2 x 3 .

a

Teken de grafieken in één window op de GR.

De grafiek van g ontstaat uit die van f uit een verschuiving.

b

Welke?

De grafiek van g ontstaat ook uit die van f door een vermenigvuldiging.

c

Welke? Uit welke rekenregel volgt dat?

18

Teken in één window op de GR de grafieken van f : x 1 2 2 x en g : x 2 x 1 .

a
Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar?

b

Verklaar onderdeel a behulp van de rekenregels.

De grafiek van g ontstaat op twee manieren (verschuiven /vermenigvuldigen) uit die van y = 2 x .

c

Welke manieren?

d

Bereken langs algebraïsche weg voor welke x geldt:
1 2 2 x > 32

19

Gegeven zijn de functies f : x 2 x en g : x 8 x .

a

Teken in één window op de GR de grafieken van f en g .

b

Door welke verschuiving/vermenigvuldiging ontstaat de grafiek van g uit die van f ?

c

Bereken langs algebraïsche weg voor welke x geldt:
8 x > 32 .

20

In de figuur staat de grafiek van een functie f . De grafiek is puntsymmetrisch in ( 0,1 ) , wat betekent dat bij spiegeling in het punt ( 0,1 ) de grafiek van f in zichzelf overgaat.

Voor x 0 geldt: f ( x ) = 2 x .

a

Bereken f ( 1 ) en f ( 5 ) exact.

b

Geef een formule van f ( x ) voor x > 0 .

Hieronder is de grafiek getekend van f ( x ) voor x 0 .

c

Hoe loopt de grafiek rechts van 0 ? Licht je antwoord toe.