Gegeven is de functie $f : x \to 2^{x}$ .

Iemand denkt dat $f^{'} (x) = x \cdot 2^{x - 1}$ .

Overtuig hem ervan dat dit nooit goed kan zijn.

Bepaal uit de grafiek van $f$ welke waarden $f^{'} (x)$ aanneemt.

In opgave 14 van de vorige paragraaf heb je gezien dat de relatieve toename van de functie $y = 2^{x}$ op elk interval $[n, n + 1]$ hetzelfde is.

Wat is de relatieve toename van de functie $y = 2^{x}$ op het interval $[a, a + \frac{1}{2}]$ ?

En op het interval $[a, a + 0,001]$ ?

Je kunt de afgeleide van een ingevoerde functie op de GR vinden. Zoek uit hoe dat op jouw apparaat gaat.
Je kunt de afgeleide op de GR ook benaderen met
$Y_{2} = (Y_{1} (X + 0.001) - Y_{1} (X)) /0 .001$ .

Teken in één window de grafieken van Y₁ $= 2^{X}$ en de afgeleide van Y₁.

Teken ook de grafiek van Y₂/Y₁. Wat valt je op?

We herhalen.

De afgeleide van een functie $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$ is: $f^{'} (a) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ .

We nemen de functie $f : x \to 2^{x}$ .

Benader $f^{'} (0)$ door hierboven voor $a = 0$ te nemen en $Δ x = 0,001$ .
Je vindt: $f^{'} (0) \approx 0,69$ .
Ga dat na.

Er geldt: $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x} = f (a) \cdot \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x}$ .

Laat dat zien.

Als je nu $\lim_{Δ x \to 0}$ neemt, vind je: $\frac{d}{d x} 2^{x} \approx 0,69 \cdot 2^{x}$ .

Ga dat na.

Neem nu voor $f$ de standaard-exponentiële functie met grondtal $g$ : $f : x \to g^{x}$ .

Laat zien dat $f^{'} (a) = f (a) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x}$ , voor elke waarde van $a$ .

Uit onderdeel d van de vorige opgave kun je het volgende concluderen.

Gegeven is de functie $f : x \to g^{x}$ .
Dan geldt: $f^{'} (x) = g^{x} \cdot f^{'} (0)$ , voor alle $x$ .

Uit bovenstaande volgt:
als je de afgeleide van een standaard-exponentiële functie in $0$ kent, ken je hem in elk ander punt.
Voor de standaard-exponentiële functie $f : x \to g^{x}$ geldt:
de functie $y = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ heeft als grafiek een horizontale lijn, bijvoorbeeld als $g = 2$ , de lijn $y \approx 0,69$ . Zie opgave 23b.

In de onderstaande tabel staan enkele waarden van $f^{'} (0)$ in drie decimalen nauwkeurig.

$f : x \to g^{x}$	$2,0$	$2,2$	$2,4$	$2,6$	$2,8$	$3,0$
$f^{'} (0)$	$0,693$	$0,788$	$0,875$	$0,956$	$1,030$	$1,099$

Controleer enkele waarden in de tabel.

Uit de tabel concluderen we: er is een grondtal $g$ , waarvoor geldt: $f^{'} (0) = 1$ . Dat grondtal ligt tussen $2,6$ en $2,8$ . Dat grondtal noemen we e.
Dus $\lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x} = 1$ .
Als je voor $Δ x = \frac{1}{1000}$ neemt, vind je al een goede benadering voor het getal e.

Welke benadering voor e vind je zo?

Dus als $n$ groot is, is $\frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} \approx 1$ en dit klopt des te beter naarmate $n$ groter wordt.

Welke benadering voor e krijg je als je $n = 100.000$ neemt?

Er is een getal, we noemen het e, waarvoor geldt: de helling van de grafiek van $y = e^{x}$ in het punt $(0,1)$ is $1$ .
Hieruit volgt dat $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ .

Uit $\frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} \approx 1$ volgt $e^{\frac{1}{n}} \approx \frac{1}{n} + 1$ , dus $e \approx {(\frac{1}{n} + 1)}^{n}$ en dit klopt beter naarmate $n$ groter is.

Gevolg
Er geldt: $e = \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{n} + 1)}^{n}$ .

Het getal e heeft altijd in de schaduw gestaan van π. De geschiedenis van π is veel ouder; dat getal was al bekend bij de oude Grieken. Door de eeuwen heen heeft π de mensheid gefascineerd. Velen hebben hun leven besteed aan het berekenen van zoveel mogelijk decimalen van π (tegenwoordig gebeurt dat met computers). Voor e is er veel minder belangstelling. Het bijzondere van e is hierboven uitgelegd: de functie $y = e^{x}$ is zijn eigen afgeleide. In de natuurwetenschappen werkt men daarom bij voorkeur met deze exponentiële functie (liever dan met $y = 2^{x}$ of met $y = 10^{x}$ ).
Op een wetenschappelijke rekenmachine heeft de functie
$y = e^{x}$ een eigen knop. Net als π, is e een irrationaal getal, dat wil zeggen dat het niet als breuk kan worden geschreven. e kan wel goed worden benaderd door oneindige reeksen, bijvoorbeeld:
e $= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots$
De eerste 300 decimalen van e staan hiernaast.
Verder duikt e op allerlei (onverwachte) plaatsen in de wiskunde op. Bijvoorbeeld: de oppervlakte tussen de $x$ -as, de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ en de lijnen $x = 1$ en $x = e$ is precies $1$ . Een mooie illustratie van e is de volgende opgave.

Iemand leent zijn geld een jaar uit voor $100$ % rente (het kapitaal wordt dus na $1$ jaar verdubbeld).

Het is voordeliger voor hem het geld een jaar uit te lenen voor $50$ % per half jaar.
Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal dan in een jaar?

Nog voordeliger is het om het uit te lenen voor $25$ % per kwart jaar. Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal dan in een jaar?

Nog voordeliger is het om het uit te lenen voor 10% per tiende jaar.
Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal dan in een jaar?

Nog voordeliger is het om het uit te lenen voor 1% per honderdste jaar.
Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal dan in een jaar?

Je kunt zo doorgaan en het jaar in steeds meer periodes van steeds kortere duur hakken. En steeds zal het voordeliger blijken. Maar er is een plafondwaarde: het kapitaal wordt in een jaar nooit meer dan e keer zo groot.

Hoe kun je dat met het gevolg na opgave 25 begrijpen?

Leonard Euler 1707-1783

Leonhard Euler was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige die het grootste deel van zijn leven doorbracht in Rusland en Duitsland. Hij wordt algemeen beschouwd als de belangrijkste wiskundige van de 18e eeuw en als een van de belangrijkste aller tijden.
De notatie voor getal e is door hem geïntroduceerd.
Hij was lange tijd hoogleraar in Koningsbergen (Ostpreußen), tegenwoordig de Russische enclave Kaliningrad in Litouwen.

Het punt $P$ ligt op de grafiek van $y = e^{x}$ . $Q$ is de projectie van $P$ op de $x$ -as. De raaklijn in $P$ aan de grafiek snijdt de $x$ -as in het punt $R$ .

Bewijs dat $Q R = 1$ voor elk punt $P$ op de grafiek.

Voorbeeld:

De afgeleide van $y = e^{2 x}$ bepaal je met de kettingregel.
Het is de ketting $x \to 2 x = u \to y = e^{u}$ ;
dus $\frac{d y}{d x} = e^{u} \cdot 2 = 2 \cdot e^{2 x}$ .

Voorbeeld
De afgeleide van $y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ bepaal je met de quotiëntregel.
$\frac{d y}{d x}$ $= \frac{2 x \cdot e^{x} - x^{2} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = \frac{2 x - x^{2}}{e^{x}}$ .

Bepaal de afgeleide functie van:

$y = 2 \cdot e^{x}$	$y = 2 - e^{x}$
$y = 2 + e^{x}$	$y = \frac{e^{x}}{2}$

Differentieer:

$y = e^{‐ x}$	$y = e^{x^{2}}$
$y = e^{2 + x}$	$y = e^{\sqrt{x}}$
$y = e^{5 - 2 x}$	$y = \sqrt{e^{x}}$

Differentieer:

$y = x^{2} \cdot e^{x}$	$y = \sqrt{x} \cdot e^{x}$
$y = {(1 + e^{x})}^{2}$	$y = \sqrt{e^{x} + x}$

De groei van een bepaalde diersoort wordt benaderd door de formule $D = e^{‐ 0,2 t + 10}$ . Hierbij is $t$ de tijd in jaren en $D$ het aantal exemplaren van de diersoort.

Hoeveel exemplaren telt de diersoort op tijdstip $0$ ?

Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip $0$ (in aantal dieren per jaar)?

Hoe kun je aan de formule zien dat het aantal dieren afneemt?

De grafiek van $D$ als functie van $t$ heeft een horizontale asymptoot.

Welke lijn is dat?

Teken op de GR de grafiek van $y = e^{x}$ en de lijn $y = e x$ .

Bewijs dat de lijn aan de grafiek raakt.

Gegeven is de functie $f : x \to e^{‐ x^{2}}$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

Welke waarden neemt $f (x)$ aan?

Bereken de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van $f$ .

Gegeven is de functie $f : x \to {(e^{x})}^{2}$ .

Differentiëer de functie $f$ op drie manieren en laat zien dat je steeds hetzelfde resultaat krijgt.

direct met de kettingregel,
direct met de productregel,
door eerst een regel voor het rekenen met machten toe te passen en dan te differentiëren.

Gegeven is de functie $g : x \to \frac{e^{2 x} + e^{x}}{e^{x}}$ .

Differentiëer de functie $g$ op twee manieren en laat zien dat je steeds hetzelfde resultaat krijgt.

direct met de quotiëntregel,
door $g (x)$ eerst zoveel mogelijk te vereenvoudigen en dan te differentiëren.