1
a

Bijvoorbeeld: de functie f is stijgend, dus is f ( x ) 0 voor alle x . Maar de formule x 2 x 1 geeft negatieve waarden als x < 0 .

b

Alle positieve waarden.

2
a

2 a + 1 2 2 a = 2

b

2 0,001

3
a

-

b

De grafiek lijkt een horizontale lijn te zijn.

4
a

-

b

f ( a + Δ x ) f ( a ) Δ x = 2 a + Δ x 2 a Δ x = 2 a 2 Δ x 2 0 Δ x = f ( a ) f ( 0 + Δ x ) f ( 0 ) Δ x .

c

Als je lim Δ x 0 wordt de linkerkant d d x 2 x en de rechterkant: 2 x f ( 0 ) .

d

Dit volgt uit: f ( a + Δ x ) f ( a ) Δ x = g a + Δ x g a Δ x = g a g Δ x g 0 Δ x

5
a

Bijvoorbeeld als g = 2,4 , dan moet eronder ongeveer 2,4 0,001 1 0,001 staan. Op de rekenmachine vind ik: 0,875... .

b

e 1 1000 1 1 1000 1 e 1 1000 1 1 1000 e ( 1 1000 + 1 ) 1000 2,7169...

c

2,718268...

6
a

2,25 keer zo groot.

b

1,25 4 2,44

c

1,1 10 2,59

d

1,01 100 2,70

e

Als je het jaar in n stukjes verdeelt, wordt je kapitaal ( 1 n + 1 ) n keer zo groot in een jaar. En e = lim n ( 1 n + 1 ) n .

7

De richtingscoëfficiënt van lijn P R = e x = P Q R Q = e x R Q , dus Q R = 1 .

8

d y d x = 2 e x

d y d x = ‐e x

d y d x = e x

d y d x = 1 2 e x

9

Met de kettingregel:

d y d x = e x

d y d x = 2 x e x 2

d y d x = e 2 + x

d y d x = e x 1 2 x

d y d x = 2 e 5 2 x

d y d x = 1 2 e x e x = 1 2 e 1 2 x

10

d y d x = 2 x e x + x 2 e x

d y d x = 1 2 x e x + x e x

d y d x = 2 ( 1 + e x ) e x

d y d x = 1 2 e x + x ( e x + 1 )

11
a

e 10 22.026

b

d d t e 0,2 t + 10 = 0,2 e 0,2 t + 10 , op t = 0 geeft dit: 4405 , dus een afname van 4405 dieren per jaar.

c

Aan het minteken: als t groter wordt, wordt 0,2 t + 10 kleiner, dus wordt dan ook D kleiner.

d

D = 0 (de horizontale as)

12
a

-

b

Zo te zien gebeurt dat in het punt met eerste coördinaat 1 . Beide functies gaan door het punt ( 1, e ) en beide hebben ze helling e in dat gemeenschappelijke punt.

13
a

-

b

f ( x ) is maximaal 1 , namelijk als x = 0 ;
f ( x ) nadert tot 0 als | x | heel groot wordt.
Dus neemt f ( x ) alle positieve waarden aan die 1 zijn.

c

f ( x ) = 2 x e x 2 en f ( x ) = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 ; f ( x ) = 0 x = ± 1 2 2 , dus de buigpunten zijn: ( ± 1 2 2 , 1 e ) .

14
a
  • De functie is de ketting f : x e x = u u 2 = f ( x ) , dus
    f ( x ) = 2 u e x = 2 e x e x = 2 e 2 x .

  • f ( x ) = e x e x , dus f ( x ) = e x e x + e x e x = 2 e 2 x .

  • f ( x ) = e 2 x , dus f ( x ) = 2 e 2 x (kettingregel).

b
  • g ( x ) = ( 2e 2 x + e x ) e x e x ( e 2 x + e x ) e 2 x = e 3 x e 2 x = e x

  • g ( x ) = e x + 1 , dus g ( x ) = e x