10.3 De natuurlijke logaritme >

Hoofdstukken > Exponentiële functies

De functies $y = {}^{2} \log (x)$ en $y = 2^{x}$ zijn elkaars inverse.
De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Dus: $b = {}^{2} \log (a)$ $\Leftrightarrow 2^{b} = a$ .

Welke waarden kunnen $a$ en $b$ hebben?

Bereken met behulp van bovenstaande (zonder rekenmachine):

${}^{2} \log (1)$	${}^{2} \log (\sqrt{2})$
${}^{2} \log (2)$	${}^{2} \log (\frac{1}{2})$
${}^{2} \log (8)$	${}^{2} \log (\frac{1}{8})$

Voor de meeste getallen $x$ komt ${}^{2} \log (x)$ niet “mooi uit”. Op een rekenmachine kun je dan ${}^{2} \log (x)$ benaderen met:
${}^{2} \log (x)$ $= \frac{\log (x)}{\log (2)}$ .
Met een GR kun je LogBASE of logab gebruiken.

In een zekere kweek zijn er op een gegeven moment $500$ bacteriën. Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën zich.

Bereken na hoeveel uur er $3750$ bacteriën zijn.

We herhalen het volgende uit het hoofdstuk Exponenten en logaritmen uit deel 4vb2.

Regels voor het rekenen met logaritmen

${}^{g} log (x) + {}^{g} log (y) = {}^{g} log (x \cdot y)$
${}^{g} log (x) - {}^{g} log (y) = {}^{g} log (\frac{x}{y})$
$r \cdot {}^{g} log (x) = {}^{g} log (x^{r})$
${}^{g} log (x) =$ $\frac{{}^{a} log (x)}{{}^{a} log (g)}$
Met de laatste regel kun je 'overstappen' op een ander grondtal namelijk van $g$ op $a$ .

De regels gelden voor alle positieve getallen $x$ , $y$ , $a$ , $g$ en willekeurige getallen $r$ , waarbij $a$ en $g$ niet $1$ mogen zijn.
Verder geldt:
${}^{a} \log (a^{x}) = x$ en $a^{{}^{a} \log (x)} = x$ ,
dus de functies $x \to a^{x}$ en $x \to {}^{a} \log (x)$ zijn elkaars inverse.
De grafieken van deze functies zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
$\lim_{x ↓ 0} {}^{g} \log (x) = ‐ \infty$ als $g > 1$ en
$\lim_{x ↓ 0} {}^{g} \log (x) = \infty$ als $0 < g < 1$ .
De $y$ -as is verticale asymptoot van de grafiek van de functie $x \to {}^{g} \log (x)$ .

In deze opgave bekijken we hoe de diverse functies ontstaan uit die van $f : x \to$ ${}^{2} \log (x)$ .

Gegeven is de functie $g : x \to$ ${}^{2} \log (4 x)$ .

Teken de grafieken van $f$ en $g$ in één window op de GR.
De grafiek van $g$ ontstaat uit de grafiek van $f$ door een vermenigvuldiging. Welke?
De grafiek van $g$ ontstaat óók uit de grafiek van $f$ door een verticale verschuiving. Welke? Verklaar dat met een van de regels.

Gegeven is de functie $h : x \to$ ${}^{2} \log (x^{3})$ .

Teken de grafieken van $f$ en $h$ in één window op de GR.
De grafiek van $h$ ontstaat uit die van $f$ door een vermenigvuldiging. Welke?
Verklaar dat met een van de regels.

Gegeven is de functie $k : x \to$ ${}^{2} \log (\frac{1}{x})$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $k$ uit de grafiek van $f$ ?
Verklaar dat met een van de regels.

Gegeven is de functie $m : x \to$ ${}^{4} \log (x)$ .

Teken de grafieken van $f$ en $m$ in één window op de GR.
Hoe ontstaat de grafiek van $m$ uit de grafiek van $f$ ?
Verklaar dat met een van de regels.

Opmerking:

Wil je nog wat spelenderwijs oefenen met de logaritme en de rekenregels? Maak dan deze mini-loco's:

rekenregels (1)

rekenregels (2)

We bekijken de functie $f : x$ $\to$ ${}^{2} \log (x)$ .

Wat is het stijgingsgedrag van de functie (afnemende/toenemende stijging/daling)?

Wat betekent dat voor de hellingfunctie van $f$ ?

Schets de hellinggrafiek.

In plaats van met grondtal $2$ gaan we nu met grondtal $e$ werken, dus met ${}^{e} \log$ . Het is gebruikelijk om “ln” te schrijven in plaats van ${}^{e} \log$ . De notatie ln komt van logaritmus naturalis.
We noemen deze functie natuurlijke logaritme.
Ook voor deze functie zit er op een wetenschappelijke rekenmachine een aparte knop.

De functies $y = \ln (x)$ en $y = e^{x}$ zijn elkaars inverse.
$a = \ln (b) \Leftrightarrow e^{a} = b$

Teken de grafiek van $y = e^{x}$ en $y = \ln (x)$ in één window op de GR.

Wat is het domein van de functie $x \to \ln (x)$ ? En het bereik?

Bereken zonder rekenmachine:

$\ln (1)$	$\ln (\sqrt{e})$
$\ln (e)$	$\ln (\frac{1}{e})$
$\ln (e^{3})$	$\ln (\frac{1}{e^{3}})$

Een speciaal geval van de formule "overstappen op een ander grondtal" is het volgende.

$\ln (x) = \frac{\log (x)}{\log (e)}$

Bereken met behulp van de bovenstaande formule en de log-knop op de GR: $\ln (100)$ .
Controleer het antwoord vervolgens met de ln-knop op de GR.

Uit bovenstaande formule volgt dat de grafiek van de functie $y = \ln (x)$ uit die van $y = \log (x)$ ontstaat door een verticale vermenigvuldiging.

Welke?

Het maakt niet zoveel uit welk getal je als grondtal van de logaritme neemt, $\ln$ , $\log$ , ${}^{2} \log$ of ....
Ze ontstaan uit elkaar door een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as.
We werken bij voorkeur met $\ln$ : deze heeft een "mooie" afgeleide. Die gaan we bekijken.

Gegeven zijn de lijnen $k$ met vergelijking $y = 2 x + 3$ en en $m$ met vergelijking $y = ‐ \frac{2}{3} x + 1$ .

Teken de lijnen in een assenstelsel. Teken ook hun spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .

Wat is het verband tussen de richtingscoëfficiënt van een lijn en van zijn spiegelbeeld in de lijn $y = x$ ?

Gegeven is de lijn met vergelijking $y = a x + b$ . Het is de grafiek van de functie $x \to a x + b$ .

Geef een formule voor de inverse functie.

Een lijn heeft richtingscoëfficiënt $a \neq 0$ . Dan heeft zijn spiegelbeeld in de lijn $y = x$ richtingscoëfficiënt $\frac{1}{a}$ .

Hiernaast is de grafiek van $y = \ln (x)$ getekend. Daarop is het punt $P$ $(3, \ln (3))$ aangegeven en de raaklijn aan de grafiek van de functie $y = \ln (x)$ in $P$ is getekend.
Als je dat geheel spiegelt in de lijn $y = x$ , dan krijg je de grafiek van $y = e^{x}$ met daarop het punt $Q$ $(\ln (3),3))$ en de raaklijn aan de grafiek van $y = e^{x}$ in $Q$ .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $Q$ kunnen we met de afgeleide van $y = e^{x}$ uitrekenen.

Doe dat.

Wat is bijgevolg de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $y = \ln (x)$ in het punt $P$ $(3, \ln (3))$ ?

Wat is de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie $y = \ln (x)$ in het punt $(2, \ln (2))$ ? En in het punt $(1,0)$ ? En in het punt $(x, \ln (x))$ ?

$\frac{d}{d x}$ $\ln (x)$ $= \frac{1}{x}$

Bovenstaande volgt uit opgave 41.
In de volgende opgave laten we dit op nog een andere manier zien.

Bekijk de ketting: $x \to u = \ln (x) \to e^{u}$ .
In twee stappen geeft de ketting bij de invoer $x$ als uitvoer weer $x$ .

Wat is dus de afgeleide van deze ketting?

Je kunt ook de afgeleide van de ketting uitrekenen met de kettingregel.

Ga na dat je dan krijgt: $x \cdot \frac{d u}{d x}$ .

Uit de onderdelen a en b volgt: $\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$ .

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $y = \ln (x)$ in het punt $(e,1)$ ; geef exacte waarden; dus geen benaderingen gebruiken.

Geef ook een exacte vergelijking van de raaklijn in het punt $(5, \ln (5))$ .

Differentieer:

$y = 2 + \ln (x)$	$y = 2 - \ln (x)$
$y = 2 \cdot \ln (x)$	$y = \frac{\ln (x)}{2}$
$y = \ln (2 x)$	$y = \ln (2 + x)$
$y = \ln (x^{2})$	$y = {(\ln (x))}^{2}$
$y = 2 x + 3 \ln (x)$	$y = \frac{\ln (x)}{x}$
$y = x \cdot \ln (x)$	$y = x^{2} \cdot \ln (x)$
$y = \ln (\sqrt{x})$	$y = \sqrt{\ln (x)}$

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{\ln (x)}{x}$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

Bereken de coördinaten van de top van de grafiek van $f$ exact.

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van $f$ exact.

Het lawaai dat men ondervindt van het verkeer op een drukke snelweg blijkt vooral af te hangen van de afstand die men heeft tot de snelweg en van de snelheid van het verkeer op de snelweg. Het lawaai is niet constant. Ook als een waarnemer op een vaste plek staat, wisselt het lawaai in de tijd voortdurend. Voor het vergelijken van situaties hanteert men daarom het gemiddelde lawaainiveau $L$ op een plek. Een hoge waarde van $L$ kan reden zijn om een geluidswal te plaatsen bij een woonwijk. Bij drukke snelwegen gaat men uit van de formule:
$L = 89,5 - 4,3 \ln (a v) + 0,16 v - 0,03 a$ .
Hierbij is $a$ de afstand in meters tot de snelweg en $v$ de gemiddelde snelheid in km/uur van het verkeer op de snelweg.

Stel dat $v = 80$ .
Toon aan dat volgens deze formule $L$ afneemt als de afstand $a$ tot de snelweg groter wordt.

Bewoners van woningen dicht bij de snelweg ondervinden vooral veel overlast bij hoge en bij zeer lage gemiddelde snelheden van het verkeer.
Een woning staat op $100$ meter afstand van de snelweg.

Toon met behulp van differentiëren aan dat er een gemiddelde snelheid van het verkeer is waarbij $L$ minimaal is bij deze woning en bereken die gemiddelde snelheid.

Onderzoek in hoeverre de afstand die een woning heeft tot de snelweg van invloed is op de gemiddelde snelheid waarbij $L$ minimaal is.