$a>0$ en $b$ kan alle waarden hebben.

Noem de tijd die het duurt $t$, dan $500\cdot 2^t=3750\iff 2^t=\mathrm{7,5}$, dus $t=\frac{\log \left(\mathrm{7,5}\right)}{\log \left(2\right)}=\mathrm{2,9}$ uur.

Horizontale vermenigvuldiging met factor $\frac{1}{4}$ t.o.v. de $y$-as.
$2$ eenheden omhoog schuiven, dit volgt uit:
${}^2\log \left(4x\right)$ $={}^2\log \left(x\right)$ $+{}^2\log \left(4\right)$ $={}^2\log \left(x\right)$ $+2$.

De verticale vermenigvuldiging met $3$ ten opzichte van de $x$-as, dit volgt uit:
${}^2\log \left(x^3\right)$ $=3\cdot {}^2\log \left(x\right)$.

Spiegelen in de $x$-as, want ${}^2\log \left(\frac{1}{x}\right)$ $=\mathrm{‐}{}^2\log \left(x\right)$.

Verticaal vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$, want ${}^4\log (x)=\frac{{}^2\log \left(x\right)}{{}^2\log \left(4\right)}=\frac{1}{2}\cdot {}^2\log (x)$.

afnemende stijging

Die is positief en dalend.

-

-

Het domein bestaat uit alle positieve getallen en het bereik uit alle getallen.

$\ln \left(100\right)=\mathrm{4,605}\cdots$

Ten opzichte van de $x$-as met $\frac{1}{\log \left(\text{e}\right)}\approx \mathrm{2,3}$.

GR

De richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde, als ze tenminste niet evenwijdig aan een van de assen lopen.

$y=\frac{1}{a}\left(x-b\right)$.

${\text{e}}^{\ln \left(3\right)}=3$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{1}{x}$

$1$

Je krijgt: $\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\cdot {\text{e}}^u=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\cdot x$.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $y=\frac{1}{\text{e}}$, dus een vergelijking is:
$y=\frac{1}{\text{e}}x+b$. De lijn gaat door het punt $\left(\text{e}\mathrm{,1}\right)$, dus $b=0$. Een vergelijking is dus: $y=\frac{1}{\text{e}}x$.

$y=\frac{1}{5}x+\ln \left(5\right)-1$

-

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 1-\ln \left(x\right)=0$, dus de eerste coördinaat van de top is $\text{e}$, de top is $\text{(e}\text{,}\frac{1}{\text{e}})$.

$f^{″}\left(x\right)=\frac{\mathrm{‐}x-2x(1-\ln (x))}{x^4}=\frac{\mathrm{‐}3+2\ln (x)}{x^3}$, dus $f^{″}\left(x\right)=0\iff \ln \left(x\right)=\frac{3}{2}$, het buigpunt is dus $\left(\text{e}\sqrt{\text{e}},\frac{3}{\text{2e}\sqrt{\text{e}}}\right)$.

$L=\mathrm{102,3}-\mathrm{4,3}\ln \left(80a\right)-\mathrm{0,03}a$.
Als $a$ toeneemt, dan nemen $\ln \left(80a\right)$ en $\mathrm{0,03}a$ toe, dus neemt $L$ af.

$L=\mathrm{86,5}-\mathrm{4,3}\ln \left(100v\right)+\mathrm{0,16}v$, dus $\frac{\text{d}}{\text{d}v}L=\mathrm{‐}\mathrm{4,3}\cdot \frac{1}{v}+\mathrm{0,16}$, dus $\frac{\text{d}}{\text{d}v}L=0$ als $v=\mathrm{26,875}$.
Met de grafiek blijkt dat $L$ dan inderdaad minimaal is.

Er geldt: $\ln \left(av\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(v\right)$; dus bij differentiëren valt $a$ weg (want $\ln \left(a\right)$ is een constante). Dus de waarde van $v$ waarvoor de afgeleide $0$ is, hangt niet van $a$ af.