Het grondtal van de exponentiële functie variëren

$3$ ; horizontale vermenigvuldiging met $\frac{1}{3}$ (ten opzichte van de $y$ -as).

$2^{x \cdot {}^{2} \log (3)}$ $= {(2^{{}^{2} \log (3)})}^{x}$ $= 3^{x}$

Horizontale vermenigvuldiging met $\frac{1}{{}^{2} \log (3)}$ .

$e^{x \cdot \ln (2)} = {(e^{\ln (2)})}^{x} = 2^{x}$

Noem die functie $e$ , dan geldt: $e (\ln (2) \cdot x) = e^{\ln (2) \cdot x} = 2^{x} = f (x)$ , dus je moet horizontaal vermenigvuldigen (ten opzichte van de $y$ -as) met $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$504$

$9,2$ km

De getallen die ingevuld moeten worden zijn: ${}^{2} \log (e^{‐ 0,14}) = ‐ 0,20$ , ${}^{10} \log (e^{‐ 0,14}) = ‐ 0,06$ en $e^{‐ 0,14} = 0,87$ .

De afgeleide van

x \to g^{x}

Met de kettingregel:
$x \to 2 e^{2 x}$ , $x \to \sqrt{7} \cdot e^{\sqrt{7} x}$ , $x \to p \cdot e^{p \cdot x}$

Neem in het vorige onderdeel voor $p = \ln (2)$ .

$y^{'} = ‐ \ln (10) \cdot 10^{‐ x}$	$y^{'} = \frac{x \cdot 2^{x} \cdot \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$
$y^{'} = 2^{x} \cdot \ln (2) \cdot x \sqrt{x} + 2^{x} \cdot 1 \frac{1}{2} \sqrt{x}$	$y^{'} = 3^{2 x} + x \cdot 2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{2 x}$

$y^{'} = 2^{x} \cdot \ln (2)$ , als $x = 2$ , dan $y^{'} = 2^{2} \cdot \ln (2) = \ln (2^{4})$ .

Als $x = ‐ 1$ , dan $y^{'} = 2^{‐ 1} \cdot \ln (2) = \ln (\sqrt{2})$ .

Het grondtal van de logaritmische functie variëren

${}^{4} \log (x) = \frac{{}^{2} \log (x)}{{}^{2} \log (4)} = \frac{1}{2} \cdot {}^{2} \log (x)$ ; verticale vermenigvuldiging met $\frac{1}{2}$ .

${}^{8} \log (x) = \frac{{}^{2} \log (x)}{{}^{2} \log (8)} = \frac{1}{3} \cdot {}^{2} \log (x)$ ; verticale vermenigvuldiging met $\frac{1}{3}$ .

Spiegelen in de $x$ -as, want ${}^{\frac{1}{2}} \log (x) =$ $\frac{{}^{2} \log (x)}{{}^{2} \log (\frac{1}{2})} = ‐ {}^{2} \log (x)$ .

${}^{2} \log (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)} = \frac{1}{\ln (2)} \cdot \ln (x)$

Verticale vermenigvuldiging met $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$y = {}^{2} \log (\frac{1}{2} x) + 1 = {}^{2} \log (x)$ .

$h = 50 - 7,2 \cdot \ln (790) = 1,961 \dots$ kilometer, ongeveer $1960$ meter.

$h = 50 - 7,2 \cdot \ln (950) = 0,633 \dots$ kilometer, dus ongeveer $635$ meter.

$2 = 50 - 7,2 \ln (L) \Leftrightarrow \ln (L) = \frac{480}{72} = 6,66 \dots$ , dus $L = 785,77 \dots$ hectopascal.

Er geldt: $\ln (L) = \ln (2) \cdot {}^{2} \log (L)$ , dus er moet ingevuld worden: $7,2 \cdot \ln (2) = 4,99 \dots$ .

Er geldt: $\ln (L) = \ln (10) \cdot {}^{10} \log (L)$ , dus er moet ingevuld worden: $7,2 \cdot \ln (10) = 16,578 \dots$ .

Noem het getal dat ingevuld moet worden $g$ . Dan moet gelden: ${}^{g} \log (L) = \frac{\ln (L)}{\ln (g)} = 7,2 \cdot \ln (L)$ , dus $\ln (g) = \frac{1}{7,2} = 0,1388 \dots$ , dus $g = e^{0,1388 \dots} = 1,148 \dots$ .

$h = 50 - 7,2 \cdot \ln (L) \Leftrightarrow \frac{50}{7,2} - \frac{1}{7,2} h = \ln (L)$ , dus $L = e^{\frac{50}{7,2} - \frac{1}{7,2} h}$ , en $e^{\frac{50}{7,2}} = 1037, \dots$ , klopt ongeveer.

De afgeleide van

x \to {}^{g} \log (x)

Al deze functies zijn van de vorm: $y = c \cdot \ln (x)$ , waarbij $c$ achtereenvolgens de constante $2$ , $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{\ln (2)}$ is, dus $f^{'} (x) = \frac{2}{x}$ , $g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ en $h^{'} (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (2)}$ .

Er geldt: ${}^{2} \log (x) = h (x)$

Van links naar rechts

$y^{'} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2 x = \frac{2 x}{\ln 2 (x^{2} + 1)}$

$y = {}^{2} \log (e) + {}^{2} \log (x)$ , dus $y^{'} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$

$y^{'} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{‐ 2}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1}$

$y^{'} = 2 \cdot \log (x) \cdot \frac{1}{x \cdot \ln (10)}$