1

De grafiek van elke logaritmische functie $y = {}^{a} \log (x)$ met $a > 0$ en $a \neq 1$ snijdt de $x$ -as in $(1,0)$ . Hiernaast staat de grafiek van zo'n functie met de raaklijn in $(1,0)$ aan de grafiek.
Deze raaklijn snijdt de $y$ -as in $P$ .

Voor welke $a > 1$ is $O P = 3$ exact? En voor welke $a < 1$ ?

2

We bekijken de functie $y = x \cdot 2^{x}$ . Hiernaast staat de grafiek.
De functie heeft een minimum.

a

Ga met een exacte berekening na dat het minimum $‐ \frac{1}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{e}$ is.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek in twee punten die afstand $2$ tot elkaar hebben. Noem de eerste coördinaat van het punt dat het dichtst bij $O$ ligt $p$ .

b

Stel een vergelijking voor $p$ op en los die vergelijking langs algebraïsche weg op.

3

Hiernaast staan de grafieken van de functies $f$ , $g$ en $h$ , met: $f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = 4^{x}$ en $h (x) = 8^{x}$ .

a

Door welke vermenigvuldiging/verschuiving ontstaan de grafieken van $g$ en $h$ uit die van $f$ ? Licht je antwoord toe.

Een horizontale lijn snijdt de $y$ -as in $A$ , de grafiek van $f$ in $B$ , de grafiek van $g$ in $C$ en de grafiek van $h$ in $D$ .
Gegeven is $B C = 1$ .

b

Bereken $A D$ en $C D$ exact.

$P$ is een punt op de grafiek van $f$ . De raaklijn in $P$ aan de grafiek van $f$ gaat door de oorsprong $O (0,0)$ .

c

Bereken de eerste coördinaat van $P$ exact.

4

Gegeven is de functie $f : x \to \ln^{2} (x) - 2 \cdot \ln (x)$ .
Hiernaast staat de grafiek.

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de $x$ -as.

(hint)

Substitutie:

\ln (x) = y

; of:

\ln^{2} (x) - 2 \cdot \ln (x) = 0 \Leftrightarrow \ln (x) \cdot (\dots) = 0

.

Er geldt: $f^{'} (x) = 2 \cdot \frac{\ln (x) - 1}{x}$ .

b

Laat dat zien.

c

Bereken de eerste coördinaat van de top van de grafiek van $f$ exact.

d

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek exact en geef een vergelijking van de buigraaklijn.

Er zijn twee getallen $x$ waarvoor geldt: $f (x) = 3$ .

e

Bereken deze getallen exact.

5

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f : x \to 2 \cdot e^{‐ x^{2}}$ .

Bereken met behulp van differentiëren exact de eerste coördinaat van de punten van de grafiek die het dichtst bij $O (0,0)$ liggen.

(hint)

Pas de stelling van Pythagoras toe.

6

Gegeven is de functie $f : x \to e^{2 x} - 2 \cdot e^{x + 1}$ .
De grafiek staat hiernaast.

a

Schrijf $2 \cdot e^{x + 1}$ als $e^{x + 1 + \dots}$ .

b

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $f (x) = 0$ .

c

Bereken de extreme waarde van $f (x)$ exact.

d

Bereken de eerste coördinaat van het buigpunt exact.

7

Hiernaast staan de grafieken van $f$ en $g$ met: $f (x) = \ln (2 x + 4)$ en $g (x) = \ln (| x |)$ .

a

Geef een vergelijking van de raaklijn in $(‐ 1,0)$ aan de grafiek van $g$ .

$S$ is het snijpunt van de grafiek van $f$ met de $x$ -as.

b

Geef via een exacte berekening een vergelijking van de raaklijn in $S$ aan de grafiek van $f$ .

De lijn met vergelijking $y = a$ , waarbij $a$ een of ander getal is, snijdt de grafiek van $f$ in punt $P$ en de grafiek van $g$ in de punten $Q$ en $R$ waarbij $Q$ het midden van lijnstuk $P R$ is.

c

Bereken $a$ exact.

8

Hiernaast staat de grafiek van $f : x \to 2 \sqrt{x} - \ln (x)$ .

a

Bereken de extreme waarde van $f (x)$ exact.

b

Bereken de exacte coördinaten van het buigpunt van de grafiek en geef een vergelijking van de buigraaklijn.

9

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ met:
$f (x) = e^{‐ \frac{1}{2} x}$ en $g (x) = a \sqrt{x}$ , voor een of ander getal $a$ .
De raaklijn in $Q (0,1)$ aan de grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in $P$ .

a

Bereken de oppervlakte van driehoek $O P Q$ .

De lijn met vergelijking $y = e$ snijdt de grafiek van $f$ in $A$ , de grafiek van $g$ in $B$ en de $y$ -as in $C$ .

b

Bereken $a$ exact in geval $C$ het midden van lijnstuk $A B$ is.

10

Hieronder staan de grafieken van $f$ en $g$ , met $f (x) = \ln^{2} (x)$ . De grafiek van $g$ is het spiegelbeeld van die van $f$ in de lijn $y = 1$ .

a

Geef de formule van $g (x)$ .

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van $f$ in twee punten. De eerste coördinaat van het snijpunt rechts van de lijn $x = 1$ noemen we $a$ .

b

Druk de eerste coördinaat van het andere snijpunt in $a$ uit.

c

Bereken $a$ als gegeven is dat de afstand van de twee snijpunten $4 \frac{4}{5}$ is.

11

Voor alle waarden van $p$ zijn gegeven de functies
$f_{p} : x \to x - p \cdot \ln (x)$ .

a

Voor welke waarden van $p$ heeft $f_{p} (x)$ geen extreme waarden?

De punten waar de functies $f_{p}$ een horizontale raaklijn hebben, liggen op de grafiek van een functie.

b

Geef een formule van die functie.

c

Voor welke waarde van $p$ is de lijn $y = ‐ 3 x$ raaklijn aan de grafiek van $f_{p}$ ?