1

De grafiek van elke logaritmische functie y = a log ( x ) met a > 0 en a 1 snijdt de x -as in ( 1,0 ) . Hiernaast staat de grafiek van zo'n functie met de raaklijn in ( 1,0 ) aan de grafiek.
Deze raaklijn snijdt de y -as in P .

Voor welke a > 1 is O P = 3 exact? En voor welke a < 1 ?

2

We bekijken de functie y = x 2 x . Hiernaast staat de grafiek.
De functie heeft een minimum.

a

Ga met een exacte berekening na dat het minimum 1 ln ( 2 ) 1 e is.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek in twee punten die afstand 2 tot elkaar hebben. Noem de eerste coördinaat van het punt dat het dichtst bij O ligt p .

b

Stel een vergelijking voor p op en los die vergelijking langs algebraïsche weg op.

3

Hiernaast staan de grafieken van de functies f , g en h , met: f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 4 x en h ( x ) = 8 x .

a

Door welke vermenigvuldiging/verschuiving ontstaan de grafieken van g en h uit die van f ? Licht je antwoord toe.

Een horizontale lijn snijdt de y -as in A , de grafiek van f in B , de grafiek van g in C en de grafiek van h in D .
Gegeven is B C = 1 .

b

Bereken A D en C D exact.

P is een punt op de grafiek van f . De raaklijn in P aan de grafiek van f gaat door de oorsprong O ( 0,0 ) .

c

Bereken de eerste coördinaat van P exact.

4

Gegeven is de functie f : x ln 2 ( x ) 2 ln ( x ) .
Hiernaast staat de grafiek.

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x -as.

(hint)
Substitutie: ln ( x ) = y ; of: ln 2 ( x ) 2 ln ( x ) = 0 ln ( x ) ( ) = 0 .

Er geldt: f ( x ) = 2 ln ( x ) 1 x .

b

Laat dat zien.

c

Bereken de eerste coördinaat van de top van de grafiek van f exact.

d

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek exact en geef een vergelijking van de buigraaklijn.

Er zijn twee getallen x waarvoor geldt: f ( x ) = 3 .

e

Bereken deze getallen exact.

5

Hiernaast staat de grafiek van de functie f : x 2 e x 2 .

Bereken met behulp van differentiëren exact de eerste coördinaat van de punten van de grafiek die het dichtst bij O ( 0,0 ) liggen.

(hint)
Pas de stelling van Pythagoras toe.
6

Gegeven is de functie f : x e 2 x 2 e x + 1 .
De grafiek staat hiernaast.

a

Schrijf 2 e x + 1 als e x + 1 + .

b

Bereken exact voor welke x geldt: f ( x ) = 0 .

c

Bereken de extreme waarde van f ( x ) exact.

d

Bereken de eerste coördinaat van het buigpunt exact.

7

Hiernaast staan de grafieken van f en g met: f ( x ) = ln ( 2 x + 4 ) en g ( x ) = ln ( | x | ) .

a

Geef een vergelijking van de raaklijn in ( 1,0 ) aan de grafiek van g .

S is het snijpunt van de grafiek van f met de x -as.

b

Geef via een exacte berekening een vergelijking van de raaklijn in S aan de grafiek van f .

De lijn met vergelijking y = a , waarbij a een of ander getal is, snijdt de grafiek van f in punt P en de grafiek van g in de punten Q en R waarbij Q het midden van lijnstuk P R is.

c

Bereken a exact.

8

Hiernaast staat de grafiek van f : x 2 x ln ( x )

a

Bereken de extreme waarde van f ( x ) exact.

b

Bereken de exacte coördinaten van het buigpunt van de grafiek en geef een vergelijking van de buigraaklijn.

9

Gegeven zijn de functies f en g met:
f ( x ) = e 1 2 x en g ( x ) = a x , voor een of ander getal a .
De raaklijn in Q ( 0,1 ) aan de grafiek van f snijdt de x -as in P .

a

Bereken de oppervlakte van driehoek O P Q .

De lijn met vergelijking y = e snijdt de grafiek van f in A , de grafiek van g in B en de y -as in C .

b

Bereken a exact in geval C het midden van lijnstuk A B is.

10

Hieronder staan de grafieken van f en g , met f ( x ) = ln 2 ( x ) . De grafiek van g is het spiegelbeeld van die van f in de lijn y = 1 .

a

Geef de formule van g ( x ) .

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van f in twee punten. De eerste coördinaat van het snijpunt rechts van de lijn x = 1 noemen we a .

b

Druk de eerste coördinaat van het andere snijpunt in a uit.

c

Bereken a als gegeven is dat de afstand van de twee snijpunten 4 4 5 is.

11

Voor alle waarden van p zijn gegeven de functies
f p : x x p ln ( x ) .

a

Voor welke waarden van p heeft f p ( x ) geen extreme waarden?

De punten waar de functies f p een horizontale raaklijn hebben, liggen op de grafiek van een functie.

b

Geef een formule van die functie.

c

Voor welke waarde van p is de lijn y = 3 x raaklijn aan de grafiek van f p ?