1

Noem de functie f , dan f ( 1 ) = 1 1 ln ( a ) .
Als a > 1 , ligt P onder de x -as. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan 3 . Dus ln ( a ) = 1 3 en a = e 1 3 .
Als a < 1 , ligt P boven de x -as. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan 3 . Dan a = 1 3 . Dus a = e 1 3 .

2
a

y = 2 x + x 2 x ln ( 2 ) en y = 0 1 + x ln ( 2 ) = 0 .
Dus y = 0 x = 1 ln ( 2 ) = 2 log e . Dus y = 1 ln ( 2 ) 2 2 log ( e) = 1 ln ( 2 ) 1 e .

b

Het tweede punt heeft eerste coördinaat p 2 en y ( p ) = y ( p 2 ) ,
dus p 2 p = ( p 2 ) 2 p 2 . Beide kanten van de vergelijking door 2 p delen geeft:
p = 1 4 ( p 2 ) p = 2 3

3
a

Door vermenigvuldiging met 1 2 en 1 3 t.o.v. de y -as, want 4 x = 2 2 x en 8 x = 2 3 x .

b

Uit a volgt A C = 1 2 A B en A D = 1 3 A B . Dus A D = 2 3 en C D = 1 3 .

c

Noem de eerste coördinaat p . Er geldt: f ( p ) p = f ( p ) , dus 2 p p = 2 p ln ( 2 ) , dus p = 1 ln ( 2 ) .

4
a

f ( x ) = 0 ln ( x ) ( ln ( x ) 2 ) = 0 ln ( x ) = 0  of  ln ( x ) = 2   , de snijpunten zijn ( 1,0 ) en ( e 2 ,0 ) .

b

Klopt, want f ( x ) = ln ( x ) 2 x 2 x .

c

f ( x ) = 0 ln ( x ) = 1 , dus de eerste coördinaat is e .

d

f ( x ) = 4 2 ln ( x ) x 2 ; f ( x ) = 0 ln ( x ) = 2 x = e 2 , buigpunt ( e 2 ,0 ) .
Buigraaklijn: y = 2 e 2 x 2 .

e

ln 2 ( x ) 2 ln ( x ) = 3 ( ln ( x ) 3 ) ( ln ( x ) + 1 ) = 0 , dus x = e 3 of x = 1 e .

5

Dan moet a = 4 e 2 x 2 + x 2 minimaal zijn.
a = 16 x e 2 x 2 + 2 x = 0 x = 0 of e 2 x 2 = 1 8 .
x = 0 voldoet niet (zie GR), dus 2 x 2 = ln ( 8 ) , dus x = ± 1 2 ln ( 8 ) .

6
a

Er moet ln ( 2 ) ingevuld worden.

b

Met behulp van a: 2 x = x + 1 + ln ( 2 ) , dus x = 1 + ln ( 2 ) .

c

f ( x ) = 2 e 2 x 2 e x + 1 , dus f ( x ) = 0 x = 1 , dus de extreme waarde is f ( 1 ) = e 2 .

d

f ( x ) = 4 e 2 x 2 e x + 1 , dus f ( x ) = 0 2 e 2 x = e x + 1 e 2 x + ln ( 2 ) = e x + 1 , dus x = 1 ln ( 2 ) .

7
a

g ( x ) = 1 x , ook als x < 0 , ga dat na. Dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt 1 ; een vergelijking raaklijn is: y = x 1 .

b

Zeg S = ( p ,0 ) , dan ln ( 2 p + 4 ) = 0 , dus 2 p + 4 = 1 , dus p = 1 1 2 .
f ( x ) = 2 2 x + 4 , dus f ( 1 1 2 ) = 2 , dus een vergelijking van de raaklijn is:
y = 2 x + 3 .

c

De eerste coördinaat van R noemen we r , dan is r de eerste coördinaat van Q en 3 r de eerste coördinaat van P en f ( 3 r ) = g ( r ) ln ( 3 r 2 + 4 ) = ln ( r ) r = 4 7 , dus a = g ( r ) = ln ( 4 7 ) .

8
a

f ( x ) = 1 x 1 x ; f ( x ) = 0 x = 1 , de extreme waarde is dus f ( 1 ) = 2 .

b

f ( x ) = 1 2 x x + 1 x 2 , dus f ( x ) = 0 2 x x = x 2 , dus x = 4 , dus het buigpunt is: ( 4,4 ln ( 4 ) ) .
De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt f ( 4 ) = 1 4 , dus een vergelijking is: y = 1 4 x + 3 ln ( 4 ) .

9
a

Zie figuur 1. f ( x ) = 1 2 e 1 2 x , dus de raaklijn in Q heeft helling 1 2 ,
dus P = ( 2,0 ) . Dus de oppervlakte van driehoek O P Q = 1 .

b

Zie figuur 2. De eerste coördinaat van B noemen we b , dan e 1 2 b = e b = 2 . Dus a 2 = e a = 1 2 e 2 .

figuur 1
figuur 2
10
a

f ( x ) + g ( x ) = 2 voor alle x , dus g ( x ) = 2 f ( x ) .

b

Er geldt: ln 2 ( x ) = ln 2 ( a ) ln ( x ) = ln ( a ) of ln ( x ) = ln ( a ) = ln ( 1 a ) , dus het andere snijpunt heeft eerste coördinaat 1 a .

c

a 1 a = 4 4 5 5 a 2 24 a 5 = 0 , dus a = 5 , want a moet groter dan 1 zijn.

11
a

f p ( x ) = 1 p x , dus f p ( x ) = 0 x = p . Maar het domein van f p is < 0, > , dus f p heeft geen extremen als p 0 .

b

f p ( p ) = p p ln ( p ) , dus die punten liggen op de grafiek van de functie y = x x ln ( x ) .

c

Noem de eerste coördinaat van het raakpunt a , dan:
3 a = a p ln ( a ) en 3 = 1 p a .
Uit de tweede vergelijking volgt: p = 4 a ; als je dat in de eerste vergelijking invult, vind je: a = e , dus: p = 4 e .