Noem de functie , dan
.
Als ,
ligt onder de -as.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan . Dus en
.
Als , ligt boven de -as.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan . Dan .
Dus .
en
.
Dus
.
Dus .
Het tweede punt heeft eerste coördinaat en
,
dus
. Beide kanten van de vergelijking door
delen geeft:
Door vermenigvuldiging met en t.o.v. de -as, want en .
Uit a volgt en . Dus en .
Noem de eerste coördinaat . Er geldt: , dus , dus .
, de snijpunten zijn en .
Klopt, want .
, dus de eerste coördinaat is .
;
,
buigpunt .
Buigraaklijn: .
, dus of .
Dan moet minimaal zijn.
of .
voldoet niet (zie GR), dus
, dus
.
Er moet ingevuld worden.
Met behulp van a: , dus .
, dus , dus de extreme waarde is .
, dus , dus .
, ook als , ga dat na. Dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt ; een vergelijking raaklijn is: .
Zeg , dan
, dus
, dus
.
, dus
, dus een vergelijking van de raaklijn is:
.
De eerste coördinaat van noemen we , dan is de eerste coördinaat van en de eerste coördinaat van en , dus .
; , de extreme waarde is dus .
, dus
, dus
, dus het buigpunt is:
.
De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt , dus een vergelijking is:
.
Zie figuur 1. , dus de raaklijn in
heeft helling ,
dus
. Dus de oppervlakte van driehoek
.
Zie figuur 2. De eerste coördinaat van noemen we , dan . Dus .
voor alle , dus .
Er geldt: of , dus het andere snijpunt heeft eerste coördinaat .
, dus , want moet groter dan zijn.
, dus . Maar het domein van is , dus heeft geen extremen als .
, dus die punten liggen op de grafiek van de functie .
Noem de eerste coördinaat van het raakpunt , dan:
en
.
Uit de tweede vergelijking volgt: ; als je dat in de eerste vergelijking invult, vind je:
, dus: .