In het hoofdstuk Verbanden hebben we ons met limieten bezig gehouden. Deze paragraaf is een herhaling en uitbreiding hiervan.

1

Gegeven is de functie f : x 3 x 2 9 x x 2 9 .

a

Wat is het domein van f ?

b

Teken de grafiek op de GR.

De grafiek van f heeft een perforatie.

c

Welk punt is dat?
Schrijf de bijbehorende limiet op.

De grafiek van f heeft een verticale asymptoot.

d

Welke? Schrijf de bijbehorende limiet(en) op.

e

Geef lim x f ( x ) en lim x f ( x ) .
Wat betekent dit voor de grafiek van f ?

2

Geef de volgende limieten. Als antwoord kun je kiezen uit een getal, , of bestaat niet.
Probeer een antwoord te geven zonder je GR te gebruiken.

lim x x x 2 9

lim x x x 2 9

lim x 0 1 x 2

lim x 0 1 x 3

lim x 2 x + 1 x 2

lim x 2 x + 1 x 2

lim x 2 x 2 + x + 1 x 2

lim x 2 x 2 + x + 1 x 2

lim x 2 x 3 + 1 x 2

lim x 2 x 3 + 1 x 2

lim x x 1 x 1

lim x 1 x 1 x 1

lim x x 2 + 1 x + 1

lim x x 2 + 1 x + 1

lim x x sin ( x )

lim x 10 10 x

lim x 1,001 x

lim x 1,001 x

lim x 0,999 x

lim x 0,999 x

lim x 0 1 ln ( x )

lim x 1 ln ( x )

lim x ln ( 2 x x + 1 )

lim x 0 ln ( 2 x x + 1 )

Als 0 < g < 1 , dan lim x g x = 0 en lim x g x = .
Als g > 1 , dan lim x g x = en lim x g x = 0 .
Als 0 < g < 1 , dan lim x g log x = en lim x 0 g log x = .
Als g > 1 , dan lim x g log x = en lim x 0 g log x = .

Voorbeeld:
  • Dat lim x 2 x 2 + x + 1 x 2 = 2 , is als volgt te verantwoorden.

    lim x 2 x 2 + x + 1 x 2

    =

    deel teller en noemer door x 2

    lim x 2 + 1 x + 1 x 2 1

    =

    2 + 0 + 0 1 = 2

  • Dat lim x x 2 + 1 x = 1 is als volgt te verantwoorden.

    lim x x 2 + 1 x

    =

    Als x , dan x = x 2

    lim x x 2 + 1 x 2

    =

    lim x 1 + 1 x 2 = 1

  • Dat lim x x 2 + 1 x = 1 is als volgt te verantwoorden.

    lim x x 2 + 1 x

    =

    Als x , dan x = x 2

    lim x x 2 + 1 x 2

    =

    lim x 1 + 1 x 2 = 1

  • Dat lim x ln ( 2 x x + 1 ) = ln ( 2 ) is als volgt te verantwoorden.
    Als x , dan 2 x x + 1 2 , dus ln ( 2 x x + 1 ) ln ( 2 ) .

3

Bereken de volgende limieten exact. Licht je antwoord toe.

lim x ln ( 2 x 2 + x + 1 x 2 + 1 )

lim x 0 ln ( 2 x 2 + x x 2 + 1 )

lim x 0 2 ln 2 ( x ) ln ( x ) + ln 2 ( x )

lim x ln ( x ) 2 ln ( 2 x + 1 )

Opmerking:

Het is verstandig je antwoorden met de GR te controleren.

4

Gegeven is de functie f : x e 1 x .

a

Teken de grafiek op de GR.

b

Wat is het domein van de functie?

c

Wat is lim x f ( x ) , lim x f ( x ) , lim x 0 f ( x ) en lim x 0 f ( x ) ?

d

Welke asymptoten heeft de grafiek van f ? Bepaal deze limieten langs algebraïsche weg.

Opmerking:

De functie f : x e 1 x heeft een perforatie ( 0,0 ) .

5

Gegeven is de functie f met f ( x ) = ln ( x 2 + 4 ) ln ( x ) .
Hiernaast staat de grafiek.

a

Wat is het domein van f ?

b

Welke asymptoot heeft de grafiek van f ? Geef een bijbehorende limiet.

Op de grafiek van f ligt een punt met een horizontale raaklijn.

c

Bereken de coördinaten van dit punt exact.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van f in twee punten die afstand 3 tot elkaar hebben.

d

Bereken de coördinaten van die punten exact.