1

a

Alle getallen met uitzondering van $3$ en $‐ 3$ .

b

-

c

$f (x) = \frac{3 x (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{3 x}{x + 3}$ als $x \neq 3$ .
$\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{3 x}{x + 3} = 1 \frac{1}{2}$ , de perforatie is: $(3,1 \frac{1}{2})$ .

d

De lijn $x = ‐ 3$ .
$\lim_{x ↓ ‐ 3} f (x) = ‐ \infty$ ; $\lim_{x ↑ ‐ 3} f (x) = \infty$ .

e

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 3$ , de lijn $y = 3$ is horizontale asymptoot van de grafiek van $f$ .

2

$0$	$0$
$\infty$	bestaat niet
$0$	$0$
$2$	$2$
$\infty$	$‐ \infty$
$0$	$= \lim_{x ↓ 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$ $= \lim_{x ↓ 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$
$1$	$‐ 1$
bestaat niet	$0$
$\infty$	$0$
$0$	$\infty$
$0$	$0$
$\ln (2)$	$‐ \infty$

3

Antwoorden van links naar rechts:
$\lim_{x \to \infty} \ln (\frac{2 x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1})$ $= \lim_{x \to \infty} \ln (\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}) = \ln (2)$ ,
$\lim_{x ↓ 0} \ln (\frac{2 x^{2} + x}{x^{2} + 1})$ $= ‐ \infty$ , want als $x ↓ 0$ , dan $\frac{2 x^{2} + x}{x^{2} + 1} ↓ 0$ , dus $\ln (\frac{2 x^{2} + x}{x^{2} + 1}) \to ‐ \infty$ ,
$\lim_{x ↓ 0} \frac{2 \ln^{2} (x)}{\ln (x) + \ln^{2} (x)} =$ $\lim_{x ↓ 0} \frac{2}{\frac{1}{\ln (x)} + 1} = \frac{2}{0 + 1} = 2$ ,
$\lim_{x \to \infty} \ln (x) - 2 \cdot \ln (\sqrt{2 x} + 1)$ $= \lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x}{{(\sqrt{2 x} + 1)}^{2}}) = \lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x}{2 x + 2 \sqrt{2 x} + 1})$ $= \ln (\frac{1}{2}) = ‐ \ln (2)$

4

a

-

b

Alle getallen met uitzondering van $0$ .

c

Als $x \to \pm \infty$ , dan $‐ \frac{1}{x} \to 0$ , dus $f (x) \to e^{0} = 1$ .
Als $x ↑ 0$ , dan $‐ \frac{1}{x} \to \infty$ , dus $f (x) \to \infty$ .
Als $x ↓ 0$ , dan $‐ \frac{1}{x} \to ‐ \infty$ , dus $f (x) \to 0$ .

d

Verticale asymptoot $x = 0$ , horizontale asymptoot $y = 1$

5

a

Het domein bestaat uit alle positieve getallen.

b

De $y$ -as. $\lim_{x ↓ 0} f (x) = \infty$ .

c

$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x}$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ , dus dat punt is: $(2,2 \ln (2))$ .

d

Er geldt: $f (x) = \ln (x + \frac{4}{x})$ .
Noem de eerste coördinaat van het punt dat het dichtst bij de $y$ -as ligt: $a$ . Dan $f (a) = f (a + 3) \Leftrightarrow 3 + \frac{4}{a + 3} = \frac{4}{a} \Leftrightarrow 3 a (a + 3) + 4 a = 4 a + 12$ $\Leftrightarrow a (a + 3) = 4$ , dus $a = 1$ . De punten zijn: $(1, \ln (5))$ en $(4, \ln (5))$ .