Exponentiële functies
figuur 1

Functies van de vorm y = A g x , A 0 en g zijn exponentiële functies.
Het getal g heet groeifactor.

Voor A = 1 krijg je de standaard-exponentiële functie met grondtal g .
In figuur 1 staan de grafieken van twee standaard-exponentiële functies.
Als g > 1 , dan lim x g x = 0 en lim x g x = .
De functie is stijgend.

Als 0 < g < 1 , dan lim x g x = en lim x g x = 0 .
De functies is dalend.

De x -as is horizontale asymptoot van de grafiek van y = g x .
De grafieken van de functies x g x en x ( 1 g ) x zijn elkaars spiegelbeeld in de y -as.
Het domein van de standaard-exponentiële functie is en het bereik < 0, > .

Logaritmische functies
figuur 2

De functie y = g log ( x ) is de standaard-logaritmische functie met grondtal g , met 0 < g < 1 of g > 1 .
In figuur 2 staan de grafieken van twee standaard-logaritmische functies.

Als g > 1 , dan lim x 0 g log ( x ) = en lim x g log ( x ) = .
De functie is stijgend.
Als 0 < g < 1 , dan lim x 0 g log x = en lim x g log ( x ) = .
De functie is dalend.

De y -as is verticale asymptoot van de grafiek van y = g log ( x ) .
Het domein van de standaard-logaritmische functie is
< 0, > en het bereik . De grafieken van de functies x g log ( x ) en x 1 g log ( x ) zijn elkaars spiegelbeeld in de x -as.

De grafieken van de standaard-exponentiële functie en de standaard-logaritmische functie met hetzelfde grondtal zijn elkaar spiegelbeeld in de lijn y = x .
Ze zijn elkaars inverse functie, dus:
x g log ( x ) = y g y = x en
x g x = y g log ( y ) = x .

Regels voor het rekenen met machten

Afspraak
Voor positieve gehele getallen n en positieve getallen c is
c n = 1 c n en c 1 n = c n .
De volgende rekenregels gelden.

  1. a p a q = a p + q

  2. a p : a q = a p q

  3. ( a p ) q = a p q

  4. ( a b ) p = a p b p

Deze regels gelden voor alle positieve getallen a en b en willekeurige getallen p en q .

Regels voor het rekenen met logaritmen
  1. g log ( x ) + g log ( y ) = g log ( x y )

  2. g log ( x ) g log ( y ) = g log ( x y )

  3. r g log ( x ) = g log ( x r )

  4. g log ( x ) = a log ( x ) a log ( g ) (overstappen op een ander grondtal namelijk van g op a )

De regels gelden voor alle positieve getallen x , y , a , g en willekeurige getallen r , waarbij a en g niet 1 mogen zijn.

Exponentiële en logaritmische functies differentiëren

Er is een getal, dat noemen we e, waarvoor geldt dat de helling van de raaklijn in het punt ( 0,1 ) van de functie x e x gelijk aan 1 is.
De inverse van deze functie noteren we met x ln x , de natuurlijke logaritme.
Er geldt:

d d x e x = e x ,

d d x g x = ln g g x ,

d d x ln x = 1 x ,

d d x g log ( x ) = 1 x ln g .