Differentieer:
|
|
|
|
Gegeven is de functie met
.
Hiernaast staat de grafiek.
Toon aan dat de grafiek puntsymmetisch ten opzichte van de oorsprong .
Bereken de coördinaten van de punten met een horizontale raaklijn exact.
Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn in .
Voor is de functie
gegeven door .
De grafiek van ontstaat door de grafiek van
over een afstand naar
links te verschuiven, waarbij . De grafiek van
snijdt de -as in
punt en de -as in punt .
Er is een waarde van waarvoor het beeld van
bij spiegeling in de lijn
samenvalt met . Zie de figuur hieronder.
Bereken deze waarde van . Rond je antwoord af op twee decimalen.
Gegeven is de functie met .
Wat is het domein van ?
De grafiek van heeft een symmetrieas.
Bewijs dat.
Bereken exact de eerste coördinaat van het punt waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal is.
Bereken exact voor welke geldt: .
Voor
is de functie gegeven door:
.
De functie is de inverse van .
In de figuur hiernaast zijn de grafieken van en getekend.
Er geldt: .
Bewijs dit.
De functie is gegeven door .
Hiernaast is de grafiek van getekend. De grafiek van
heeft een horizontale asymptoot. Deze is in de figuur weergegeven.
De grafiek van snijdt de horizontale asymptoot in het punt .
Bereken exact de -coördinaat van .
Gegeven is de functie .
Hiernaast staat de grafiek. Het punt op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is
noemen we .
Bereken de eerste coördinaat van langs algebraïsche weg in twee decimalen.
In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar verbonden zijn. Elk vierkant heeft een rangnummer . In de figuur zijn de vierkanten met de rangnummers tot en met getekend.
De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van
de diagonaal van het voorgaande vierkant. De lengte van de zijde van een vierkant
met rangnummer stellen we
gelijk aan . De oppervlakte van het vierkant met
rangnummer noemen we .
Het eerste vierkant heeft zijde .
Laat zien dat .
Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan .
Bereken langs algebraïsche weg het bijbehorende rangnummer .
Er zijn getallen en zó, dat .
Bereken en exact.
We bekijken de functies voor alle mogelijke waarden van .
Voor welke waarden van heeft geen extreme waarden?
Er is een getal waarvoor heeft extreme waarde heeft.
Bereken deze waarde exact.
We bekijken de functies voor alle mogelijke
waarden van .
Er is een waarde van waarvoor een nulpunt van is.
Bepaal in dit geval het domein van exact.
Bereken exact voor welke waarde van de extreme waarde van gelijk aan is.
Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie
van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen.
Van een bepaald medicijn wordt de concentratie (in mg/cm3) in het bloed
gegeven door de formule: .
Hierbij is het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn.
Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang groter is dan
mg/cm3.
De tijd dat het medicijn werkzaam is bij keer toedienen is minder dan uur.
Bereken in minuten nauwkeurig hoelang het medicijn in dit geval werkzaam is.
Er geldt: .
Toon dat aan.
Er is een tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.
Bereken dit tijdstip.
Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur.
Omdat uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis
wordt toegediend, geldt vanaf tot de volgende formule voor de
concentratie (in mg/cm3) van het medicijn in het bloed:
.
Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in
het bloed.
In elke periode van uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een
maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van
uur iets groter.
Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de mg/cm3 komt.
Onderzoek of dit het geval is binnen uur na het begin van het toedienen van het medicijn.