1

Differentieer:

f : x x e 2 x

g : x x e 2 x + 1

h : x ln ( x x 2 + 1 )

k : x ln ( e x + 1 )

2

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 4 x e 1 2 x 2 .
Hiernaast staat de grafiek.

a

Toon aan dat de grafiek puntsymmetisch ten opzichte van de oorsprong O .

b

Bereken de coördinaten van de punten met een horizontale raaklijn exact.

c

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn in O .

3

Voor x > 0 is de functie f gegeven door f ( x ) = 2 ln ( x ) .
De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar links te verschuiven, waarbij a > 1 . De grafiek van g snijdt de x -as in punt P en de y -as in punt Q .
Er is een waarde van a waarvoor het beeld van P bij spiegeling in de lijn y = x samenvalt met Q . Zie de figuur hieronder.

Bereken deze waarde van a . Rond je antwoord af op twee decimalen.

4

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 4 log ( x ) + 4 log ( 10 x ) .

a

Wat is het domein van f ?

De grafiek van f heeft een symmetrieas.

b

Bewijs dat.

c

Bereken exact de eerste coördinaat van het punt waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal is.

d

Bereken exact voor welke x geldt: f ( x ) = 2 .

5

Voor x > 1 2 is de functie f gegeven door: f ( x ) = ln ( 2 x 1 x + 2 )
De functie g is de inverse van f . In de figuur hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.
Er geldt: g ( x ) = 1 + 2 e x 2 e x .

a

Bewijs dit.

De functie h is gegeven door h ( x ) = | f ( x ) | .
Hiernaast is de grafiek van h getekend. De grafiek van h heeft een horizontale asymptoot. Deze is in de figuur weergegeven.
De grafiek van h snijdt de horizontale asymptoot in het punt A .

b

Bereken exact de x -coördinaat van A

6

Gegeven is de functie f : x 5 x 2 x .
Hiernaast staat de grafiek. Het punt op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is noemen we A .

Bereken de eerste coördinaat van A langs algebraïsche weg in twee decimalen.

7

In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar verbonden zijn. Elk vierkant heeft een rangnummer n . In de figuur zijn de vierkanten met de rangnummers 1 tot en met 4 getekend.

De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van de diagonaal van het voorgaande vierkant. De lengte van de zijde van een vierkant met rangnummer n stellen we gelijk aan z ( n ) . De oppervlakte van het vierkant met rangnummer n noemen we A ( n ) .
Het eerste vierkant heeft zijde 1 .

a

Laat zien dat A ( n ) = 1 2 2 n .

Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan 131.072 .

b

Bereken langs algebraïsche weg het bijbehorende rangnummer n .

Er zijn getallen a en b zó, dat z ( n ) = 2 a n + b .

c

Bereken a en b exact.

8

We bekijken de functies y p = p e x e 2 x voor alle mogelijke waarden van p .

a

Voor welke waarden van p heeft y p ( x ) geen extreme waarden?

Er is een getal p waarvoor heeft y p ( x ) extreme waarde 8 heeft.

b

Bereken deze waarde exact.

9

We bekijken de functies f p : x ln ( x ) + ln ( 1 x p ) voor alle mogelijke waarden van p .
Er is een waarde van p waarvoor 6 een nulpunt van f p ( x ) is.

a

Bepaal in dit geval het domein van f p exact.

b

Bereken exact voor welke waarde van p de extreme waarde van f p ( x ) gelijk aan 1 is.

10

Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen.
Van een bepaald medicijn wordt de concentratie C (in mg/cm3) in het bloed gegeven door de formule: C ( t ) = 0,12 t e 0,5 t .
Hierbij is t het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn. Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang C groter is dan 0,035 mg/cm3. De tijd dat het medicijn werkzaam is bij 1 keer toedienen is minder dan 6 uur.

a

Bereken in minuten nauwkeurig hoe lang het medicijn in dit geval werkzaam is.

Er geldt: C ( t ) = 0,12 ( 1 0,5 t ) e 0,5 t .

b

Toon dat aan.

Er is een tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.

c

Bereken dit tijdstip.

Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur. Omdat 6 uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis wordt toegediend, geldt vanaf t = 6 tot t = 12 de volgende formule voor de concentratie D (in mg/cm3) van het medicijn in het bloed: D ( t ) = C ( t ) + C ( t 6 ) .
Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in het bloed. In elke periode van 6 uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van 6 uur iets groter. Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de 0,11 mg/cm3 komt.

d

Onderzoek of dit het geval is binnen 24 uur na het begin van het toedienen van het medicijn.