Relatieve positie

Je zit in de trein. Je stelt je voor dat de (rijdende) trein stil staat. Het landschap lijkt te bewegen.
Welke kant op?

Evelien zit in de draaimolen. Haar vader staat aan de kant naar haar te kijken.
Welke baan beschrijft vader in de ogen van Evelien?

Een schip $S$ vaart met constante snelheidsvector $\vec{v}$ op volle zee. De plaats van het schip op tijdstip $t$ is $S_{t}$ .
Er geldt: ${\vec{s}}_{t} = {\vec{s}}_{0} + t \cdot \vec{v}$ .
Een tweede schip $U$ vaart met constante snelheidsvector $\vec{w}$ en is op tijdstip $t$ in $U_{t}$ .
Dus ${\vec{u}}_{t} = {\vec{u}}_{0} + t \cdot \vec{w}$ .
In figuur 1 en op het werkblad zijn de posities van de schepen op de tijdstippen $0$ en $1$ aangegeven en ook de snelheidsvectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .
(De lengte van een snelheidsvector geeft aan hoeveel afstand er in $1$ tijdseenheid afgelegd wordt.)

figuur 1

Teken $S_{2}$ , $S_{3}$ , $U_{2}$ en $U_{3}$ op het werkblad. (Om gemakkelijker en nauwkeuriger te kunnen tekenen, is een rooster aangebracht.)

Zoals gezegd vaart schip $S$ met vaste koers en snelheid. De zee is glad. Voor de stuurman van $S$ lijkt zijn schip stil te liggen. Voor hem is het punt $S$ vast; ten opzichte daarvan beweegt het schip $U$ . De stuurman maakt een plaatje van de beweging van $U$ zoals hij die ziet. In figuur 2 staat een begin van dat plaatje.

figuur 2

Ga na dat de vectoren in figuur 2 de relatieve positie van $U$ ten opzichte van $S$ aangeven op $t = 0$ en $t = 1$ .

Teken ook de vectoren die de relatieve positie van $U$ ten opzichte van $S$ aangeven op $t = 2$ , $3$ en $4$ .
Als je het goed gedaan hebt, liggen de eindpunten van die vectoren op een rechte lijn. Die lijn noemen we $k$ .

De relatieve positie van $U$ ten opzichte van $S$ op tijdstip $t$ geven we aan met $R_{t}$ .

Druk ${\vec{r}}_{t}$ uit in ${\vec{s}}_{t}$ en ${\vec{u}}_{t}$ .
Hoe volgt hieruit dat de eindpunten van de vectoren naar de relatieve posities van $U$ ten opzichte van $S$ op een rechte lijn liggen?

Je kunt natuurlijk ook alles vanuit $U$ bekijken.
Wat is het verband tussen de relatieve bewegingen van $S$ ten opzichte van $U$ en van $U$ ten opzichte van $S$ ?

Gegeven zijn twee bewegende punten $S$ en $U$ . Op tijdstip $t$ is $S$ in $S_{t}$ en $U$ in $U_{t}$ .
Ten opzichte van $S$ is de relatieve plaatsvector ${\vec{r}}_{t}$ van $U$ op tijdstip $t$ :
${\vec{r}}_{t} = {\vec{u}}_{t} - {\vec{s}}_{t}$ .

Twee schepen $S$ en $U$ varen beide met constante snelheidsvector op zee, het ene in ZW-richting en het andere in ZO-richting. (Dus hun routes snijden elkaar loodrecht.) Van beide schepen is de positie op $t = 0$ aangegeven en ook de snelheidsvector. De lengte van de snelheidsvector is de afstand die in $1$ tijdseenheid wordt afgelegd. De snelheid van $S$ is $4$ knopen en die van $U$ is $2$ knopen. We bekijken weer de relatieve beweging van $U$ ten opzichte van $S$ .

Teken de snelheidsvector waarmee $U$ ten opzichte van $S$ beweegt.

Bereken de exacte relatieve snelheid van $U$ ten opzichte van $S$ .

We bekijken de relatieve positie van $S$ ten opzichte van $U$ . Neem het punt waar $S$ zich op $t = 0$ bevindt 'vast'.

Geef op het werkblad de plaats van schip $U$ ten opzichte van $S$ aan op de tijdstippen $‐ 1$ , $0$ , $1$ en $2$ .
Teken vervolgens de baan van $U$ ten opzichte van $S$ .

Neem aan dat $t$ in uren wordt gerekend;
$1$ knoop $= 1$ zeemijl per uur.

Bereken de afstand (in zeemijl) van de twee schepen op $t = 0$ , $t = 1$ en $t = 2$ .

Op welk tijdstip zijn de schepen het dichtst bij elkaar?
Licht je antwoord toe.

Twee schepen liggen op ramkoers (zij gaan botsen). Ze varen beide met een constante snelheidsvector.

In het plaatje is hun positie op $t = 0$ aangegeven. Van een van de schepen is ook de positie op $t = 1$ bekend.

Teken, zonder te meten, op het werkblad de positie van het andere schip op $t = 1$ . Licht je antwoord toe.

Een waarnemer op het ene schip kijkt naar het andere.

In welke richting ziet hij dat schip varen?

We bekijken nog eens de vraag over Evelien en de draaimolen aan het begin van de paragraaf:
Evelien zit in de draaimolen. Haar vader staat aan de kant naar haar te kijken.
Welke baan beschrijft vader in de ogen van Evelien?

In de figuur zijn de posities van Evelien op $t = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ en $4$ aangegeven; die punten liggen op een cirkel. De positie van vader is $V$ . We bekijken de relatieve positie van $V$ ten opzichte van Evelien. Neem de positie van Evelien vast; noem dat punt $E$ .

Neem de figuur over en teken de vectoren $\vec{E V}$ op de tijdstippen $t = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ en $4$ .

Wat is de baan van $V$ , vanuit Evelien bekeken?

Twee schepen varen beide met een constante snelheidsvector. In de figuur is hun positie op een bepaald tijdstip getekend.

De snelheidsvector van het ene schip is getekend. Het andere schip vaart twee keer zo snel als het eerste schip. De schepen liggen op ramkoers.

Teken net zo'n figuur en construeer de snelheidsvector van het tweede schip. Niet meten!

Zeeslag voor Gibraltar, 25 april 1607, Pieter van Looy

Het ontploffen van het Spaanse admiraalsschip tijdens de zeeslag bij Gibraltar op 25 april 1607 tussen de Staatse vloot onder admiraal Jacob van Heemskerck en de Spaanse vloot onder admiraal Don Juan Alvares de Avila, op het moment dat het Spaanse oorlogsschip wordt geramd door een Hollands schip.
Door de ontploffing worden mensen de lucht in geslingerd. Op de voorgrond proberen zeelieden zich in sloepen te redden, anderen zwemmen in het water.

Bron: http://www.geheugenvannederland.nl

Twee schepen varen met constante snelheidsvector. Ze liggen op ramkoers. Hun snelheidsvectoren maken een hoek van $120 °$ . Een schip heeft snelheid $4$ knopen, het andere snelheid $2$ knopen, zie figuur.

Met welke snelheid naderen de schepen elkaar?

(hint)

Pas de cosinusregel toe.

Vier indianen op de hoekpunten van een vierkant achtervolgen elkaar: 1 achtervolgt 2 (indiaan 1 heeft zijn blik voortdurend op 2 gericht), 2 achtervolgt 3, 3 achtervolgt 4 en 4 achtervolgt 1, met dezelfde constante snelheid. Ze ontmoeten elkaar in het midden van het vierkant. Op elk moment zitten ze op de hoekpunten van een (steeds kleiner wordend) vierkant. De zijden van het startvierkant zijn $120$ meter en de indianen lopen $10$ m/s.

Hoelang duurt het voor ze elkaar ontmoeten en wat is de afstand die ze dan afgelegd hebben?

De gegevens zijn als in opgave 1. De twee schepen liggen niet op ramkoers: ze botsen niet.

De figuur hierboven (antwoord op opgave 1c) staat op het werkblad.

Teken daarin de vector die de relatieve positie van $U$ ten opzichte van $S$ aangeeft als de schepen het dichtst bij elkaar zijn.

We kiezen een coördinatenstelsel. $S_{0}$ is de oorsprong $(0,0)$ , $U_{0} = (8,6)$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 0 \end{matrix})$ .

Geef een vectorvoorstelling van de lijnen waarlangs de schepen $S$ en $U$ varen en ook van de lijn $k$ waarop de eindpunten van de vectoren liggen die je in opgave 1c getekend hebt.

Bereken exact het tijdstip waarop de schepen het dichtst bij elkaar zijn.

We brengen in opgave 2b een assenstelsel aan met als oorsprong het snijpunt van de routes met $S$ op $t = 0$ op de positieve $y$ -as en $U$ op de positieve $x$ -as.
Kies $1$ zeemijl als eenheid ( $1$ knoop is $1$ zeemijl/uur).

Toon aan dat de afstand tussen de schepen op tijdstip $t$ gelijk is aan $\sqrt{20 t^{2} - 40 t + 40}$ zeemijlen.

Bereken met kwadraatafsplitsen (of differentiëren) het tijdstip waarop de schepen het dichtst bij elkaar zijn.

Het tijdstip waarop de schepen het dichtst bij elkaar zijn kun je ook uitrekenen door de relatieve beweging van $U$ ten opzichte van $S$ te bekijken. Dat wil zeggen de beweging van een punt $R$ dat beweegt volgens $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 t + 2 \\ 4 t - 6 \end{array})$ .
Op het gezochte tijdstip staat lijn $O R$ loodrecht op de lijn met vv $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 t + 2 \\ 4 t - 6 \end{array})$ .

Bereken ook hiermee dat tijdstip.