11.2  Samengestelde bewegingen >
Twee rechtlijnige bewegingen

In deze paragraaf bekijken we de baan en de snelheid van een punt dat aan twee bewegingen tegelijkertijd deelneemt.

1

Je staat op een open vrachtwagen en loopt langzaam met een snelheid van 1 2 meter per seconde over een regelmatige zeshoek met zijden van 1  meter. Een diagonaal van de zeshoek ligt in de richting waarin de vrachtwagen rijdt.

Je begint in punt S in de figuur. Je bent na twaalf seconden weer op dezelfde plek op de vrachtwagen terug. Gedurende die twaalf seconden heeft je beweging zes verschillende snelheidsvectoren.

a

Teken die alle zes met hetzelfde beginpunt. Neem 2 cm om de grootte van de snelheid van 1 2  m/s aan te geven.

De vrachtwagen rijdt langzaam maar constant met een snelheid van 1 2  meter per seconde. Jij loopt weer over de zeshoek.

b

Teken de zes snelheidsvectoren van je beweging ten opzichte van de straat, alle zes met hetzelfde beginpunt.

c

Wat is je maximale en minimale snelheid ten opzichte van de straat?

d

Maak een tekening op schaal van de baan die je ten opzichte van de straat maakt.

Herhaal het experiment, waarbij jij twee maal zo snel over de zeshoek loopt, dus al na zes seconden in S terugkomt, en de vrachtwagen dezelfde snelheid houdt.

e

Teken de zes snelheidsvectoren van je beweging ten opzichte van de straat en ook je baan in deze situatie ten opzichte van de straat.

Een waarnemer op de stoep ziet de vrachtwagen naar rechts bewegen. Hij krijgt sterk de indruk dat je op zeker moment naar links beweegt.

f

Klopt dat?

2

Een rivier stroomt over de volle honderd meter breedte van west naar oost, op alle plekken met een snelheid van 2  m/s.
De zwemmer steekt over, met zwemsnelheid 1  m/s, steeds gericht op de zon die in het zuiden staat.

a

Is de snelheidsvector van de zwemmer (ten opzichte van het land) constant? Volgt daaruit dat de zwemmer in rechte lijn beweegt?


We kiezen de x -as in oostelijke richting en de y -as in noordelijke richting.

b

Bereken de grootte en richting van die snelheid ten opzichte van het land.

c

Bereken hoeveel tijd de zwemmer voor de oversteek nodig heeft.

Aan de overkant gaat de zwemmer meteen terug, met dezelfde snelheid, nu met de zon in de rug.

d

Teken heen- en terugroute. Duren die even lang?

e

Bij de start drijft een takje in het midden van de rivier, recht voor het startpunt. Komt de zwemmer dat takje tegen, op de heen- of terugroute?

3

Een andere rivier stroomt over de volle honderd meter breedte van oost naar west, maar in het midden aanmerkelijk sneller dan aan de kant. De zwemmer steekt over, met zwemsnelheid 1  m/s, steeds gericht op de zon die in het zuiden staat.

a

Is de snelheidsvector van de zwemmer (ten opzicht van het land) constant? Beweegt de zwemmer in een rechte lijn?

b

Bereken hoeveel tijd de zwemmer voor de oversteek nodig heeft.

Aan de overkant gaat de zwemmer meteen terug.

c

Schets heen- en terugroute. Duren die even lang?

In het midden van de rivier, recht voor het startpunt drijft een kaaiman (slapend).

d

Komt de zwemmer de kaaiman tegen? Zo ja, op de heen- of terugroute of beide, als de kaaiman niet gewekt wordt?

Een punt neemt aan twee bewegingen tegelijk deel.
De snelheidsvector waarmee het punt als gevolg daarvan op een bepaald moment beweegt, vind je door de snelheidsvectoren van die twee bewegingen afzonderlijk, op dat moment op te tellen.

Cirkelbeweging en rechtlijnige beweging
4

Aan het ventiel van een fiets is een lampje vastgemaakt. (Het wordt gevoed door een batterij die tussen de spaken zit.)

In een tijdopname laat het lampje zijn baan op de foto achter.

Als de fietser een vaste snelheid aanhoudt, draait het lampje dan ook met een vaste snelheid rond?

De baan op de foto is een zogenaamde cycloïde.
De cycloïde is de baan van een punt op een cirkelrand, als de cirkel zonder slippen over een rechte lijn rolt. We spreken van rolcirkel en grondlijn. Cycloïde betekent letterlijk cirkelachtige.

Experiment
Neem een rond voorwerp, bijvoorbeeld een koker of en flesje. Markeer een punt op de omtrek. Begin met dat gemarkeerde punt aan de onderkant, dus op de tafel en rol dan het voorwerp langzaam over de tafel, zonder slippen. Volg het punt. Uiteindelijk komt het weer op tafel terecht. Hoe ziet de boog die het punt beschrijft eruit? Zo krijg je de baan van het ventiel van een fietswiel op je tafel. Je kunt het experiment ook op youtube zien.

5

Een rolletje plakband wordt uitgerold. Het punt P op het rolletje dat in het begin ‘onder’ zit, beweegt naar boven.
We nemen de straal van het rolletje als eenheid.

Als de lengte van het afgerolde stuk A C 2 is, bereken dan in twee decimalen hoe hoog P is gekomen.

6

Een fietswiel rolt over de x -as. De dikte van de band wordt verwaarloosd. We volgen het ventiel. De straal van het wiel kiezen we als eenheid. We bekijken de hoogte y van het ventiel als er t  meter is afgelegd. We starten als het ventiel op hoogte 0 is.

a

Hoeveel meter is er afgelegd als het ventiel voor de eerste keer weer op de x -as komt?

Hiernaast is de situatie getekend als het wiel over de weg het stuk O R heeft afgelegd. Het middelpunt van het wiel noemen we M , het ventiel P en de eerste coördinaat van het contactpunt R met de grond noemen we t .

b

Waarom is de lengte van de cirkelboog P R ook t ?

c

Bepaal de waarden van t tussen 0 en 2 π waarvoor y = 1 .

d

Bereken de exacte waarde van y als t = 3 4 π .

De tekening hieronder staat ook op het werkblad.

e

Schets hierop de baan van P .

Je kunt je schets van de baan ook controleren met de GeoGebra applet cycloïde. Neem aan dat de fietssnelheid 1 eenheid per seconde is. Dat is de snelheid waarmee M zich naar rechts verplaatst.
P neemt deel aan twee bewegingen:

  • P draait eenparig om M ,

  • M beweegt eenparig over de lijn y = 1 .

f

Wat is de snelheid van P in de hoogste punten van de baan? En in de laagste? En in de punten op hoogte 1 ?

7

We gaan verder met de vorige opgave. We bekijken het punt P op de rolcirkel (=fietswiel) op een zeker moment t .
De tekening hieronder staat ook op het werkblad.

a

Construeer daarop de snelheidsvector in het punt P met behulp van de snelheidsvector van de rechtlijnige beweging van het middelpunt van de rolcirkel en de snelheidsvector van de cirkelbeweging van P ten opzichte van het middelpunt M van de rolcirkel.

b

Teken de snelheidsvectoren op nog enkele momenten tijdens één cycloïde-boog; teken die snelheidsvectoren allemaal met hetzelfde beginpunt. De eindpunten van de snelheidsvectoren vormen weer een cirkel. Wat is het middelpunt en wat de straal? Licht je antwoord toe.

c

Hoe verandert de snelheidsvector bij de overgang tussen een boog en de volgende boog?

De tekening hieronder staat ook op het werkblad.

d

Construeer de snelheidsvector van P in deze situatie.