De opgaven in deze paragraaf zijn pittig en niet noodzakelijk voor de opbouw van de stof.

Een cirkel (in het plaatje wit) wordt zonder slippen om een andere, even grote cirkel (in het plaatje blauw) gedraaid. We volgen een punt $P$ op de witte cirkel. De baan van $P$ is een zogenaamde limaçon. Het contactpunt van de twee cirkels op tijdstip $t$ noemen we $C$ .
We brengen een assenstelsel aan zó dat het contactpunt $C$ van de cirkels de standaardcirkelbeweging maakt, dat wil zeggen dat $C$ op $t = 0$ in $(1,0)$ is met snelheid $1$ cm/s linksom over de eenheidscirkel beweegt. (Zeg dat $t$ de tijd is, die we rekenen in seconden.)
Neem aan: $P$ valt op tijdstip $t = 0$ samen met het contactpunt.
NB. De standaardcirkelbeweging is: ${\begin{cases} x = cos (t) \\ y = sin (t) \end{cases}$ .

Met welke snelheid draait het middelpunt $M$ van de witte cirkel rond?

$P$ beweegt in tegenwijzerrichting om $M$ . Het startpunt van die beweging is het meest 'linker' punt $S$ van de witte cirkel. Dit meest linker punt $S$ verwijdert zich op de witte cirkel even snel van het contactpunt als $P$ , maar dan in wijzerrichting. Dat kun je mooi zien in de applet "limaçon0" .
Punt $P$ beweegt om $M$ met $2$ cm/s.

Leg dat uit. Hiervoor kun je de figuur hiernaast goed gebruiken.

Je kunt als volgt punten van de limaçon vinden.
Teken een raaklijn aan de eenheidscirkel. Het spiegelbeeld van $(1,0)$ in de raaklijn ligt op de baan.

Leg dat uit.

Teken zo op het werkblad het punt van de limacon als het contactpunt van de cirkels $D$ is.
Teken daarna nog enkele andere punten van de limaçon.

Met de GeoGebra applet limaçon2, kun je zien dat je de limaçon krijgt als je volgens opgave 17d te werk gaat.

Bekijk de applet limaçon1 voor een animatie.
In het punt $(1,0)$ lijkt $P$ in de animatie even stil te staan.

Leg dit uit met behulp van de snelheidsvector op dat moment.

(hint)

In opgave 17 heb je gezien dat $P$ deelneemt aan twee bewegingen:

$P$ ligt op de rolcirkel, waarvan het middelpunt $M$ in tegenwijzerrichting om $O$ draait,
$P$ draait in tegenwijzerrichting met snelheid $2$ cm/s om het middelpunt $M$ van de rolcirkel.

Teken de snelheidsvector van $P$ als $t = \frac{1}{2} π$ .
Welke hoek maakt die snelheidsvector met de $y$ -as?

$M$ beweegt over de cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ . Hiernaast staat een plaatje van de snelheidsvectoren, waarmee M over die cirkel beweegt.

Ga na dat dit een juist plaatje is en maak op dezelfde schaal een plaatje van de snelheidsvectoren van de beweging van $P$ om $M$ , met dezelfde waarden van $t$ .

Door de twee plaatjes te combineren, kun je het tijdstip bepalen waarop $P$ horizontaal beweegt.

Doe dat.

In de figuur is de limaçon getekend. De baan van het middelpunt $M$ van de rolcirkel is gestippeld.

Construeer de snelheidsvector waarmee $P$ beweegt op het moment van tekening.