11.3  Twee cirkelbewegingen >

De opgaven in deze paragraaf zijn pittig en niet noodzakelijk voor de opbouw van de stof.

1

Een cirkel (in het plaatje wit) wordt zonder slippen om een andere, even grote cirkel (in het plaatje blauw) gedraaid, zie figuur 1. We volgen een punt P op de witte cirkel. De baan van P is een zogenaamde limaçon. Het contactpunt van de twee cirkels op tijdstip t noemen we C .
We brengen een assenstelsel aan zó dat het contactpunt C van de cirkels de standaardcirkelbeweging maakt, dat wil zeggen dat C op t = 0 in ( 1,0 ) is met snelheid 1  cm/s linksom over de eenheidscirkel beweegt. (Zeg dat t de tijd is, die we rekenen in seconden.)
Neem aan: P valt op tijdstip t = 0 samen met het contactpunt.
NB. De standaardcirkelbeweging is: { x = cos ( t ) y = sin ( t ) .

a

Met welke snelheid draait het middelpunt M van de witte cirkel rond?

P beweegt in tegenwijzerrichting om M . Het startpunt van die beweging is het meest 'linker' punt S van de witte cirkel. Dit meest linker punt S verwijdert zich op de witte cirkel even snel van het contactpunt als P , maar dan in wijzerrichting. Dat kun je mooi zien in de applet "limaçon0" .
Punt P beweegt om M met 2 cm/s.

b

Leg dat uit. Hiervoor kun je de figuur hiernaast goed gebruiken.

Je kunt als volgt punten van de limaçon vinden.
Teken een raaklijn aan de eenheidscirkel. Het spiegelbeeld van ( 1,0 ) in de raaklijn ligt op de baan.

c

Leg dat uit.

d

Teken zo op het werkblad het punt van de limacon als het contactpunt van de cirkels D is.
Teken daarna nog enkele andere punten van de limaçon.

Met de GeoGebra applet limaçon2, kun je zien dat je de limaçon krijgt als je volgens opgave 17d te werk gaat.

2

Bekijk de applet limaçon1 voor een animatie.
In het punt ( 1,0 ) lijkt P in de animatie even stil te staan.

a

Leg dit uit met behulp van de snelheidsvector op dat moment.

(hint)

In opgave 17 heb je gezien dat P deelneemt aan twee bewegingen:

  • P ligt op de rolcirkel, waarvan het middelpunt M in tegenwijzerrichting om O draait,

  • P draait in tegenwijzerrichting met snelheid 2 cm/s om het middelpunt M van de rolcirkel.

b

Teken de snelheidsvector van P als t = 1 2 π .
Welke hoek maakt die snelheidsvector met de y -as?

M beweegt over de cirkel met middelpunt O en straal  2 . Hiernaast staat een plaatje van de snelheidsvectoren, waarmee M over die cirkel beweegt.

c

Ga na dat dit een juist plaatje is en maak op dezelfde schaal een plaatje van de snelheidsvectoren van de beweging van P om M , met dezelfde waarden van t .

Door de twee plaatjes te combineren, kun je het tijdstip bepalen waarop P horizontaal beweegt.

d

Doe dat.

3

In de figuur is de limaçon getekend. De baan van het middelpunt M van de rolcirkel is gestippeld.

Construeer de snelheidsvector waarmee P beweegt op het moment van tekening.