Van twee naar één dimensie

In het platte vlak hebben we een assenstelsel aangebracht. Een kogeltje (of een ander minuscuul voorwerp) beweegt in het platte vlak. De baan is hieronder getekend. Bij enkele punten is het tijdstip $t$ geschreven waarop het kogeltje daar langs komt.

figuur 1

De eerste coördinaat van het punt waar het kogeltje zich op tijdstip $t$ bevindt noemen we $x (t)$ en de tweede coördinaat $y (t)$ . In figuur 1 hierboven lees je bijvoorbeeld af dat $x (1) = 7$ en $y (1) = 6$ .

Lees af: $x (‐ 1)$ , $x (0)$ , $x (1)$ , $x (\sqrt{3})$ en $y (‐ 1)$ , $y (0)$ , $y (1)$ .

Formules voor $x (t)$ en $y (t)$ zijn:
$x (t) = 8 t^{2} - t^{4}$ en $y (t) = 9 t - 3 t^{3}$
Meestal noteren we dat zó:
${\begin{cases} x (t) = 8 t^{2} - t^{4} \\ y (t) = 9 t - 3 t^{3} \end{cases}$ of wat korter: ${\begin{cases} x = 8 t^{2} - t^{4} \\ y = 9 t - 3 t^{3} \end{cases}$ .

Corresponderen je antwoorden in a met deze formules?

Er zijn vier tijdstippen $t$ waarop $x (t) = 12$ . In figuur 1 zie je de bijbehorende plaatsen op twee van die tijdstippen; de andere twee vallen buiten de figuur.

Bereken de vier tijdstippen bij die punten exact. Wat zijn de plaatsen?

Bereken ook de tijdstippen waarvoor het kogeltje eerste coördinaat $‐ 9$ heeft. Bereken daarna in welk punt het kogeltje dan is.

Het kogeltje beschrijft een baan in het platte vlak. De formules vertellen voor elk moment waar het kogeltje is. De plaats van het kogeltje is dus gegeven met behulp van de variabele $t$ (de tijd), de zogenaamde parameter. We noemen het tweetal formules een parametervoorstelling kortweg pv van de baan. In het hoofdstuk Rekenen aan lijnen heb je kennis gemaakt met parametervoorstellingen van rechte lijnen. We kunnen ook de bewegingen in de $x$ - en $y$ -richting afzonderlijk bekijken.

Bekijken we de beweging vanuit de negatieve

y

-as (dus loodrecht op de

x

-as; het “onderaanzicht”), dan zien we het kogeltje over de

x

-as bewegen: van rechts naar links, met de uiterste stand in

0

en dan van links naar rechts:

(Om de beweging over de

x

-as goed te zien, is de dikke lijn niet precies over de

x

-as getekend.)

Is er ook een uiterste positie aan de rechterkant? Hoe zie je dat aan de formules? Kun je het onderaanzicht van de beweging afmaken?

Bekijken we de beweging vanuit de negatieve $x$ -as (dus loodrecht op de $y$ -as; het “zijaanzicht van links”), dan zien we het voorwerp over de $y$ -as bewegen:
van boven naar beneden, met een laagste stand, daarna naar boven tot een hoogste stand en dan weer naar beneden.

Teken de beweging over de $y$ -as.

Komt het voorwerp nog hoger dan de hoogste stand (zoals die hierboven genoemd is)? En lager dan de laagste positie? Hoe zie je dat aan de formules? Probeer het zijaanzicht van links af te maken.

In welke richting beweegt het kogeltje ongeveer op tijdstip $1000$ , ten opzichte van de $x$ -as? Kies uit de acht mogelijkheden hieronder.

Voor elke waarde van $t$ geldt: $x (t) = x (‐ t)$ en $y (‐ t) = ‐ y (t)$ .

Hoe zie je dat aan de formules voor $x$ en $y$ ?

Wat betekent dit voor de baan?

Een kogeltje beschrijft de ellipsvormige baan die hieronder getekend is. Veronderstel dat het kogeltje op tijdstip $0$ in het hoogste punt van de ellips begint en dat het dan naar rechts beweegt.

Teken het onderaanzicht van de beweging, dus over de $x$ -as.

Beschrijf het zijaanzicht van links van de beweging, dus over de $y$ -as.

Teken in één assenstelsel de volgende bewegingen, gebruik kleur.

$(x, y) = (t, t + 2)$
$(x, y) = (| t |, t + 2)$
$(x, y) = (| t |, | t + 2 |)$

We bekijken de laatste beweging nader. We kunnen die beschouwen als de beweging van een biljartbal die achtereenvolgens van de $y$ -as en de $x$ -as terugstuit.

Hoe snel beweegt de biljartbal (als $x$ en $y$ in meter en $t$ in sec)?

Opmerking:

Als de bal op een band van het biljart stuit, wordt zijn bewegingsrichting plotseling veranderd. Op die momenten kun je niet spreken van de snelheidvector van de bal.

Gegeven is de kromme met pv $(x, y) = (t^{3} - 3 t, t^{2})$ . Hiernaast staat de baan voor $t > 0$ .
Er geldt: $x (‐ t) = ‐ x (t)$ en $y (‐ t) = y (t)$ .

Ga dat na. Hoe vind je nu de baan voor $t < 0$ met behulp van de baan voor $t > 0$ ?

Bereken exact de coördinaten van het punt waar de kromme zichzelf snijdt.

Bereken exact de coördinaten van de punten met tweede coördinaat $2$ .

In opgave 20 zijn we begonnen met de baan van een kogeltje en hebben daarna de $x$ - en $y$ -coördinaat afzonderlijk als functie van de tijd $t$ bekeken.
Deftiger gezegd: we hebben de baan ontleed in een horizontale en een verticale beweging.
In het volgende gaan we omgekeerd te werk: we beginnen met bewegingen in de $x$ - en $y$ -richting en stellen die samen tot een beweging in het platte vlak.

Van één naar twee dimensies

Midden over een vierkant biljart kiezen we de $x$ - en $y$ -as, zoals in de figuur hiernaast.
Een (puntvormige) biljartbal beweegt over het biljart. Onderstaande grafieken geven de afzonderlijke horizontale en verticale beweging tussen de tijdstippen $0$ en $2$ .

Neem het biljart in het assenstelsel over en geef daarin de plaats aan van de biljartbal op $t = \frac{3}{4}$ .

Bepaal nog enkele punten en teken de baan van de biljartbal.

Tussen twee momenten waarop de bal op een band stuit, heeft de bal constante snelheid.

Bepaal deze constante snelheid uit de horizontale en verticale beweging.

In de figuur hieronder zie je hoe je de baan van de beweging kunt tekenen met de grafieken van de $x$ - en de $y$ -coördinaat als functie van $t$ .

De biljartbal wordt nu anders gestoten, op hetzelfde biljart. De grafieken van $x$ en $y$ als functie van de tijd $t$ staan hieronder.

Hoe vaak raakt de bal een band als $0 < t < 2$ ?

Geef op het biljart de plaatsen aan waar de bal een band raakt en schrijf bij die plaatsen de bijbehorende tijdstippen.
Teken vervolgens de baan van de bal.

Neem (om de gedachten te bepalen) de meter als lengte-eenheid en de seconde als tijdseenheid.

Wat is de snelheid van de bal (in m/s) tussen de momenten dat hij op een band stuit?

Cirkelbewegingen

Een ladder van lengte $2$ glijdt met het ene einde $A$ over de positieve $x$ -as en met het andere $B$ over de positieve $y$ -as. We bekijken de beweging van het midden $M$ van de ladder. De grootte van hoek $O A B$ noemen we $t$ (radialen).

Druk de coördinaten van $M$ in $t$ uit.

Hoe volgt uit a wat de baan van $M$ is?

Kennelijk is de afstand van $M$ tot $O$ constant $1$ .

Kun je dat ook meetkundig verklaren?

Om $M$ over de hele cirkel te laten bewegen moet je $A$ en $B$ ook over een stuk van de negatieve $x$ - en $y$ -as laten bewegen.
$M$ kunnen we de coördinaten $(\cos (t), \sin (t))$ geven, maar de parameter $t$ is daarin niet de hoek $O A B$ .

Wat stelt de parameter $t$ daarin wel voor?

Je kunt de glijdende ladder in de applet ladder bekijken.
Of met de applet ladder-uitgebreid.

In opgave 26 hebben we opnieuw de bekende pv van de eenheidscirkel ontmoet: ${\begin{cases} x = cos (t) \\ y = sin (t) \end{cases}$
We nemen $t$ in seconden en $x$ en $y$ in cm.

Met welke snelheid wordt de cirkel doorlopen?

Geef een pv van de eenheidscirkel waarbij de baan twee keer zo snel doorlopen wordt.

Welke formule ken je voor de eenheidscirkel waarin alleen de variabelen $x$ en $y$ voorkomen?

We bekijken vijf bewegingen. Geef van elk de baan, het startpunt (de positie op $t = 0$ ), de snelheid en de richting van de beweging.

$(x, y) = (\sin (t), \cos (t))$
$(x, y) = (‐ \sin (t), ‐ \cos (t))$
$(x, y) = (‐ \cos (t), ‐ \sin (t))$
$(x, y) = (\cos (t), \cos (t))$
$(x, y) = (2 \sin (t),2 \cos (t))$

Er glijdt weer ladder zoals in opgave 26, nu van een onbepaalde lengte. We bekijken een punt $P$ op de ladder, een ander dan het midden.
De afstand $P A$ noemen we $a$ , de afstand $P B$ noemen we $b$ en de grootte van hoek $O A B = t$ radialen.

Druk de coördinaten van $P$ uit in $t$ .

Teken de baan van $P$ met de GR (neem concrete waarden voor $a$ en $b$ ) of in GeoGebra (maak schuifknoppen voor $a$ en $b$ ).

Geef een vergelijking van de baan van $P$ .

(hint)

In opgave 21 staat een vergelijking van een ellips.

Je wilt een punt $P$ op een ladder het stuk ellips hieronder laten beschrijven.

Hoe lang moet de ladder zijn en waar moet $P$ liggen?

Er zijn ook pv’s van de eenheidscirkel zonder goniometrische functies. In de volgende opgave maken we er een.

In de figuur hiernaast is de cirkel met straal $1$ en middelpunt $(1,0)$ getekend. De lijn door $O$ met helling $t$ snijdt de cirkel ook nog in $P$ . We gaan de coördinaten van $P$ in $t$ uitdrukken.

Ga na dat $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ een vergelijking van de cirkel is.

(hint)

De cirkel met middelpunt $(a, b)$ en straal $r$ heeft vergelijking
${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Geef een vergelijking van lijn $O P$ , uitgedrukt in $t$ .

De eerste coördinaat $x$ van $P$ voldoet aan de vergelijking
$x^{2} + t^{2} x^{2} - 2 x = 0$ . Hiermee kun je $x$ uitrekenen.

Ga na dat je vindt: $P = (\frac{2}{t^{2} + 1}, \frac{2 t}{t^{2} + 1})$ .

We hebben nu dus een pv van de cirkel met middelpunt $(1,0)$ en straal $1$ . Door deze $1$ naar links te verschuiven, krijg je de eenheidscirkel.

Ga na dat ${\begin{cases} x = \frac{1 - t^{2}}{t^{2} + 1} \\ y = \frac{2 t}{t^{2} + 1} \end{cases}$ een pv van de eenheidscirkel is.

Dit is niet een pv van de hele eenheidscirkel. Je mist namelijk één punt.

Welk punt krijg je niet?

(hint)

Bekijk het bereik van de coördinaatfuncties $t \to \frac{1 - t^{2}}{t^{2} + 1}$ en $t \to \frac{2 t^{2}}{t^{2} + 1}$

$T$ maakt de standaardcirkelbeweging. $A$ is het punt $(1,0)$ en $Z$ het zwaartepunt van driehoek $A O T$ .

Bekijk de beweging die $Z$ maakt in een GeoGebra applet.
Beschrijf de baan.

Bepaal de bewegingsvergelijkingen van $Z$ . Kloppen die met je beschrijving?

Met beperkingen

Gegeven is de kromme met pv $(x, y) = (t^{2} - 3, 2 t^{2})$ .

Bereken enkele punten, geef die aan in een assenstelsel en teken de baan.

Geef een vergelijking van de baan.

Anne heeft als antwoord op vraag b gegeven: $y = 2 x + 6$ .
Dat is niet helemaal correct, want de grafiek van
$y = 2 x + 6$ is een hele lijn, terwijl de kromme van de pv een halve lijn is. Een correcte beschrijving van de kromme bestaat uit een vergelijking, tezamen met een ongelijkheid: $y = 2 x + 6$ en $y \geq 0$ .

Welke afstand legt het punt af gedurende het tijdsinterval $[‐ 5,5]$ ?

Ga na dat de kromme met pv $(x, y) = (‐ 2^{t},1 - 3 \cdot 2^{t})$ een deel van een rechte lijn is. Welk deel?
Controleer je antwoord met de GR of met GeoGebra.
Beschrijf de kromme met een vergelijking, tezamen met een ongelijkheid.

Beschrijf elk van de krommen met een vergelijking, zonodig tezamen met een ongelijkheid.
Het kan hierbij helpen de beweging eerst te tekenen met je GR.

$(x, y) = (2 \cdot \sin (t),1 - 3 \cdot \sin (t))$
$(x, y) = (t - | t |, t + | t |)$
$(x, y) = (2^{t} {,2}^{2 t})$
$(x, y) = (\sqrt{1 - t},1 + t)$
$(x, y) = (\sqrt{1 - t}, \sqrt{1 + t})$

Een kogeltje maakt de beweging: ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = {sin}^{2} (t) \end{cases}$ .
We nemen $0 \leq t \leq 2 π$ .

Welke waarden kunnen $x$ en $y$ aannemen?

Teken de baan op de GR.

De baan lijkt een deel van de parabool met top $(0,1)$ die door $(1,0)$ gaat.

Stel een vergelijking op van de parabool met top $(0,1)$ die door $(1,0)$ gaat.

Controleer of $(\cos (t), \sin^{2} (t))$ aan de vergelijking voldoet.

Hoe kun je zien aan de parametervoorstelling welk deel van de parabool je krijgt?