$7$, $0$, $7$, $15$ en $\mathrm{‐}6$, $0$, $6$.

-

$8t^2-t^4=12\iff a^2-8a+12=0\text{ en }{t}^2=a$ $\iff$

en de snijpunten zijn: $\left(\mathrm{12,}\mathrm{‐}9\sqrt{6}\right),\left(\mathrm{12,9}\sqrt{6}\right),\left(\mathrm{12,3}\sqrt{2}\right)\text{ en }\left(\mathrm{12,}\mathrm{‐}3\sqrt{2}\right)$

$8t^2-t^4=\mathrm{‐}9\iff a^2-8a-9=0\text{ en }{t}^2=a$ $\iff t^2=9\iff t=3\text{ of }t=\mathrm{‐}3$
en de snijpunten zijn: $\left(\mathrm{‐}\mathrm{9,}\mathrm{‐}54\right)$ en $\left(\mathrm{‐}\mathrm{9,}54\right)$.

Ja, want $8t^2-t^4$ heeft een absoluut maximum voor $t=2$ en $t=\mathrm{‐}2$ gelijk aan $16$, zie figuur 1.

figuur 1

Zie figuur 2.

figuur 2

$\mathrm{‐}3t^3+9t$ wordt zo groot als je maar wilt als $t$ kleiner wordt en zo negatief als je maar wil als $t$ groter wordt.

Zoals hieronder: de $x$- en $y$-coördinaat gaan beide naar $\mathrm{‐}\infty$.

figuur 3

Voor de $x$-coördinaat geldt dat omdat er alleen even machten van $t$ in de formule voorkomen en voor de $y$-coördinaat omdat er alleen oneven machten van $t$ in de formule voorkomen.

De baan is symmetrisch in de $x$-as, want als $(x,y)$ op de baan ligt, dan ligt ook $(x,\mathrm{‐}y)$ op de baan, zij worden op tegengestelde tjdstippen bereikt.

Van hoogte $5\frac{1}{2}$ naar hoogte $2$ en weer terug.

Zie figuur, achtereenvolgens blauw, rood en groen gekleurd.

$\sqrt{2}$ m/s

Door te spiegelen in de $y$-as.

$x=0\iff t^3-3t=0\iff t(t^2-3)=0\iff t=\mathrm{0,}\hspace{0.17em}t=\sqrt{3}$ of $t=\mathrm{‐}\sqrt{3}$
Voor $t=\sqrt{3}$ kom je in het gevraagde punt $\left(\mathrm{0,3}\right)$.

Voor $t=\sqrt{2}$ krijg je $\left(\mathrm{‐}\sqrt{2}\mathrm{,2}\right)$ en voor $t=\mathrm{‐}\sqrt{2}$ krijg je $\left(\sqrt{2}\mathrm{,2}\right)$.

Dat is het punt $\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

Zie figuur hieronder links.

figuur bij opgave 24b

figuur bij opgave 25a

De horizontale en verticale snelheid zijn beiden $2$ (positief of negatief), dus de snelheid is $\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

$5$ keer

Zie figuur rechts hierboven.

$2\sqrt{5}$ m/s

$P$ en $Q$ zijn de projecties van $M$ op de coördinaat-assen.
$MP=\sin \left(t\right)$, kijk in driehoek $MAP$.
$MQ=\cos \left(t\right)$, kijk in driehoek $MBQ$, dus $M(\cos (t),\sin (t\left)\right)$, zie de figuur hieronder.

Een (deel van een) cirkel. (Standaardcirkelbeweging)

$\angle AOB=90°$, dus uit de stelling van Thales volgt dat $O$ op de cirkel met diameter $AB$ ligt; $M$ is het midden van $AB$, dus is het middelpunt van deze cirkel. $OM=AM=BM=1$ (straal), dus $M$ ligt altijd op afstand $1$ van $O$ en ligt dus op de cirkel met middelpunt $O$ en straal $1$.

De parameter is in de figuur aangegeven.

$1$ cm/s

$\{\begin{array}{l}x=\text{cos}\left(2t\right)\\ y=\text{sin}\left(2t\right)\end{array}$

$x^2+y^2=1$

$X$ en $Y$ zijn de projecties van $P$ op de coördinaat-assen, dan: $PX=a\cdot \sin \left(t\right)$ en $PY=b\cdot \cos \left(t\right)$. Dus $P=(b\cdot \cos (t),a\cdot \sin (t\left)\right)$.

-

${\left(\frac{x}{b}\right)}^2+{\left(\frac{y}{a}\right)}^2=1$

De ladder heeft lengte $3$ en $a=1$ en $b=2$.

Werk de haakjes weg in ${(x-1)}^2+y^2=1$.

$y=tx$

$x^2-2x+t^2{x}^2=0\iff x\left(x-2+t^{2}x\right)=0\iff$ $x=0$ of $x(1+t^2)=2$, dus $x=0$ of $x=\frac{2}{t^2+1}$. In het laatse geval is $y=tx=\frac{2t^2}{t^2+1}$.

De cirkel uit het vorige onderdeel moet $1$ eenheid naar links geschoven worden, dus $y$ blijft hetzelfde en $x$ wordt:
$x=\frac{2}{t^2+1}-1=\frac{2}{t^2+1}-\frac{t^2+1}{t^2+1}=\frac{1-t^2}{t^2+1}$.

Je krijgt het punt $\left(\mathrm{‐}\mathrm{1,0}\right)$ niet. (De lijnen $y=tx$ vormen niet alle lijnen door $O$!)

Een cirkel met straal $\frac{1}{3}$ en middelpunt $\left(\frac{1}{3}\mathrm{,0}\right)$.

$\overrightarrow{z}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{t}\right)$, dus $Z=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cos (t),\frac{1}{3}\sin (t\left)\right)$. Ja.

De halve lijn $y=2x+6$, met uitzondering van het stuk 'onder' de $y$-as.

$y=2x+6$ en $y\ge 0$ of: $y=2x+6$ en $x\ge \mathrm{‐}3$

Op $t=0$ in $\left(\mathrm{‐}\mathrm{3,0}\right)$, op $t=\mathrm{‐}5$ en $t=5$ in $\left(\mathrm{22,50}\right)$. Dus er is $50\sqrt{5}$ afgelegd.

$y=3x+1$ met $x>0$.

1. Lijnstuk met grenspunten $\left(\mathrm{‐}\mathrm{2,4}\right)$ en $\left(\mathrm{2,}\mathrm{‐}2\right)$.
   vergelijking: $3x+2y=2$ met $\mathrm{‐}2\le x\le 2$

2. De negatieve $x$-as en de positieve $y$-as, met $O$.
   vergelijking: $xy=0$ met $x\le 0$ en $y\ge 0$.

3. De rechterhelft van de standaard-parabool
   vergelijking: $y=x^2$ met $x>0$.

4. Deel van de parabool met vergelijking: $y=2-x^2$, met $x\ge 0$.

5. Het deel van de cirkel met middelpunt $\left(\mathrm{0,0}\right)$ en straal $\sqrt{2}$, met beide coördinaten niet negatief.
   vergelijking: $x^2+y^2=2$ met $x\ge 0$ en $y\ge 0$.

$\mathrm{‐}1\le x\le 1$ en $0\le y\le 1$

-

$y=\mathrm{‐}{x}^2+1$

Ja, je krijgt: ${\sin }^2\left(t\right)+{\cos }^2\left(t\right)=1$.

Het deel met $\mathrm{‐}1\le x\le 1$, want $x$ neemt alle waarden tussen $\mathrm{‐}1$ en $1$ aan.