11.5  Cycloïde en meer >
Twee bewegingen in één
1

We komen terug op opgave 10. Je loopt met een snelheid van 1 2  m/s over een regelmatige zeshoek met zijden van 1  meter op de vrachtwagen.

Er is op de weg een assenstelsel aangebracht, zie figuur.
Op t = 0 ben je in O ( 0,0 ) . Je bent na twaalf seconden weer op dezelfde plek op de vrachtwagen terug. De vrachtwagen rijdt met een snelheid van 1 2  m/s, een pv van de vrachtwagenbeweging is: ( x , y ) = ( t ,0 ) , dus 1 2  meter is als eenheid gekozen.

a

Bereken exact de coördinaten van je positie in het assenstelsel na 2  seconden. Ook na 4  seconden.

b

Geef een pv van jouw beweging in het assenstelsel als
0 t 2 en ook als 2 t 4 .

Je neemt gelijktijdig deel aan twee bewegingen:

  1. je loopt over de vrachtwagen,

  2. de vrachtwagen rijdt.

De totale beweging ten opzichte van een vast punt (in opgave 35 is dat O ) krijg je door de twee afzonderlijke bewegingen op te tellen.

Een punt S beweegt ten opzichte van de oorsprong volgens { x ( t ) = f ( t ) y ( t ) = g ( t ) .
Een punt J beweegt ten opzichte van het punt S volgens: { x ( t ) = a ( t ) y ( t ) = b ( t ) .
Dan beweegt J ten opzichte van de oorsprong volgens:
{ x = f ( t ) + a ( t ) y = g ( t ) + b ( t ) .

2

We komen terug op de cycloïde van paragraaf 2. Een cirkel met straal 1 rolt over de x -as. We bekijken het punt P op de cirkel dat op t = 0 in O ( 0,0 ) is.
P neemt deel aan twee bewegingen:

  1. P draait eenparig om M ,

  2. M beweegt eenparig over de lijn y = 1 .

a

Ga na dat de relatieve positie van P ten opzichte van M gegeven wordt door: ( sin ( t ) , cos ( t ) ) .

b

Geef de bewegingsvergelijkingen van M .

c

Geef de bewegingsvergelijkingen van P (ten opzichte van O ).
Teken de baan van P in GeoGebra of met de GR.

3

We komen terug op de limaçon van paragraaf 3. De witte cirkel draait om de oker cirkel. De cirkels hebben straal 1 cm. We brengen een assenstelsel aan zó dat het contactpunt van de cirkels de standaardcirkelbeweging maakt. We bekijken de baan van het punt P op de witte cirkel dat op t = 0 in ( 1,0 ) is. P neemt deel aan twee bewegingen:

  1. P draait eenparig om het middelpunt M van de rolcirkel,

  2. M maakt een eenparige cirkelbeweging.

In opgave 18 hebben we gezien dat P twee keer zo snel draait als het contactpunt.

Geef van beide bewegingen een pv en daarna ook van de baan van P . Teken de baan vervolgens in GeoGebra.

4

We houden een punt P op de rand van een wiel in de gaten. De as van het wiel is op tijdstip t in het punt ( t , t ) . Hij beweegt dus over de lijn y = x . P draait om de as van het wiel volgens { x = cos ( π t ) y = sin ( π t ) .
Hiernaast is het wiel getekend op de tijdstippen t = 0 , 1 2 , 1 , 1 1 2 , 2 , 2 1 2 , 3 , 3 1 2 en 4 .
De tekening staat ook op het werkblad.

a

Teken op het werkblad de positie van P op elk van de hierboven genoemde tijdstippen (de positie van P op t = 1 2 is al getekend).

b

Geef de bewegingsvergelijkingen van P .

c

Teken de baan van P op de GR of met GeoGebra.

5
Saturnus door P.P.Rubens
De planeet Saturnus is genoemd naar een Romeinse god. Deze at zijn eigen zoon op.

In deze opgave gaan we er vanuit dat de planeten in één vlak in cirkelvormige banen om de Zon bewegen.
We nemen als eenheid van afstand de AE (astronomische eenheid; dit is de gemiddelde afstand Aarde – Zon).
Als bewegingsvergelijkingen van de Aarde om de Zon nemen we: ( x , y ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) .

a

Wat is dan de eenheid van tijd?

Saturnus beweegt ten opzichte van de Zon volgens:
( x , y ) = ( 9,5 cos ( 2 π 29,5 t ) ; 9,5 sin ( 2 π 29,5 t ) ) .
De waarden 9,5 en 29,5 zijn in één decimaal nauwkeurig.

b

Wat is volgens deze vergelijkingen de afstand van Saturnus tot de Zon? En wat is de omlooptijd van Saturnus om de Zon?

c

Geef de bewegingsvergelijkingen van de relatieve beweging van Saturnus ten opzichte van de Aarde.
Teken de beweging met GeoGebra of de GR.

Vanuit de Aarde zie je Saturnus dus soms teruglopen, de zogenaamde retrograde beweging.

d

Stel de relatieve bewegingsvergelijkingen van Jupiter ten opzichte van de Aarde op. De nodige gegevens vind je bijvoorbeeld op internet; rond die af op "mooie" getallen

6

Je geniet van de Calypso, een kermisattractie. Je zit op plaats P op een draaiende schijf. Die schijf zit op haar beurt met het middelpunt M vast op een grotere ronddraaiende schijf.
Hiernaast staat een bovenaanzicht.
In een geschikt assenstelsel wordt de beweging van M gegeven door:
{ x = 2 cos ( t ) y = 2 sin ( t ) en die van P ten opzichte van M :
{ x = cos ( 2 t ) y = sin ( 2 t ) .
Hieronder zie je de situatie op tijdstip t = 0 .

a

Teken op het werkblad de plaats van P op de tijdstippen 1 4 π , 1 2 π , 3 4 π , π , 1 1 4 π , 1 1 2 π , 1 3 4 π en 2 π .
Voor het gemak is de positie van de kleine schijf op deze tijdstippen al getekend.

De resulterende beweging van P heeft parametervoorstelling:
{ x = 2 cos ( t ) + cos ( 2 t ) y = 2 sin ( t ) sin ( 2 t ) .

b

Teken met GeoGebra of de GR de baan van P .

7

De baas van de Calypso, laat de kleine schijf andersom draaien. De beweging van M gegeven door: { x = 2 cos ( t ) y = 2 sin ( t ) .
Die van P ten opzichte van M wordt gegeven door: { x = cos ( 2 t ) y = sin ( 2 t ) .
Hiernaast is de baan van P getekend. Die wordt op het tijdsinterval [ π , π ] precies één keer doorlopen.
Er geldt: ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) .

a

Laat dat zien. Wat betekent dit voor de baan?

De afstand van P tot de oorsprong op tijdstip t is 5 + 4 cos ( t ) .

b

Toon dat aan.

c

Toon aan dat de afstand van punten van de baan boven de x -as tot O geen twee keer hetzelfde is.

De limaçon anders

In paragraaf 2 hebben we de limaçon gemaakt door een cirkel om een vaste cirkel te laten rollen zó, dat de vaste cirkel op elk moment uitwendig aan de rolcirkel raakte.
We laten nu een cirkel om een vaste cirkel rollen zó, dat de vaste cirkel op elk moment inwendig aan de rolcirkel raakt. De rolcirkel heeft straal 2 en de vaste cirkel heeft straal 1 . We houden een punt P op de rolcirkel in de gaten. We kiezen een assenstelsel zó, dat het contactpunt van de cirkels de standaardcirkelbeweging ( x , y ) = ( cos ( t ) , sin ( t ) ) maakt, met t in seconden. We nemen aan dat P op t = 0 in ( 1,0 ) is. Het middelpunt van de grote cirkel noemen we M .
In de animatie limaçon_alt kun je de baan van P zien. Ook wel aardig om te zien is het filmpje op YouTube.
De baan lijkt wel de limaçon. Dat dat inderdaad de limaçon is zullen we in de volgende opgaven zien.

8
a

Leg uit dat M over de cirkel met middelpunt O ( 0,0 ) en straal 1 beweegt.

Op het werkblad staat de figuur hiernaast. Daarin is de grote cirkel op de tijdstippen t = 0 , 1 2 π , π en 1 1 2 π getekend.

b

Teken de positie van P op de tijdstippen t = 0 , 1 2 π , en 1 1 2 π .

c

Teken in dezelfde figuur ook de posities van P op de tijdstippen 2 π , 2 1 2 π , 3 π π en 3 1 2 π .

d

Schets de baan van P .

e

De hoeksnelheid waarmee P over de grote cirkel beweegt is 1 2 rad/s. Waarom?

9

We gaan verder met de vorige opgave.
P neemt deel aan twee bewegingen:

  1. P beweegt over de cirkel met middelpunt M ,

  2. M beweegt over de eenheidscirkel.

a

Geef van deze beide bewegingen een pv. Geef ook een pv van de baan van P .

b

Vergelijk de pv van P in deze opgave met de pv van de limaçon uit opgave 37. Wat is het verschil?

De kromme in de voorgaande twee opgaven en die van opgave 37 zijn dus precies hetzelfde. We hebben de limaçon nu op twee manieren gemaakt.