$(\mathrm{3,}\mathrm{‐}\sqrt{3})$ ; $(\mathrm{7,}\mathrm{‐}\sqrt{3})$

Voor $0\le t\le 2$: $(x,y)=(1\frac{1}{2}t,\mathrm{‐}\frac{1}{2}t\sqrt{3})$ en voor $2\le t\le 4$:
$(x,y)=(2t-\mathrm{1,}\mathrm{‐}\sqrt{3})$.

Het startpunt is het laagste punt van de cirkel en de beweging gaat in wijzerrichting, met een snelheid van één eenheid per tijdseenheid.

$(x,y)=(t\mathrm{,1})$

$(x,y)=(t-\sin (t)\mathrm{,1}-\cos (t))$

Zie figuur 1 hieronder.

$\{\begin{array}{l}x=t+\text{cos}(\text{π}t)\hfill \\ y=t+\text{sin}(\text{π}t)\hfill \end{array}$

Zie figuur 2 hierboven.

Jaar.

$\mathrm{9,5}$ AE, $\mathrm{29,5}$ jaar

$(x,y)=(\mathrm{9,5}\cos (\frac{2\text{π}}{\mathrm{29,5}}t)-\cos (2\text{π}t);\mathrm{9,5}\sin (\frac{2\text{π}}{\mathrm{29,5}}t)-\sin (2\text{π}t))$

De afstand is $\mathrm{5,2}$ AE en de omlooptijd $\mathrm{11,9}$ jaar, dus:
$(x,y)=(\mathrm{5,2}\cos (\frac{2\text{π}}{\mathrm{11,9}}t)-\cos (2\text{π}t);\mathrm{5,2}\sin (\frac{2\text{π}}{\mathrm{11,9}}t)-\sin (2\text{π}t))$

Dit komt omdat $\cos (a)=\cos (\mathrm{‐}a)$ en $\sin (\mathrm{‐}a)=\mathrm{‐}\sin (a)$.

Hieruit volgt: als $(x,y)$ op de baan, dan ook $(x,\mathrm{‐}y)$, dus de baan is symmetrisch in de $x$-as.

Die afstand is: $\sqrt{{\left(2\cos (t)+\cos (2t)\right)}^2+{\left(2\sin (t)+\sin (2t)\right)}^2}=$ $\sqrt{4{\cos }^2(t)+4{\sin }^2(t)+{\cos }^2(2t)+{\sin }^2(2t)+4\cos (t)\cos (2t)+4\sin (t)\sin (2t)}$ $=\sqrt{5+4\cos (2t-t)}$.

De cosinusfunctie is op $[\mathrm{0,}\text{π}]$ dalend, dus $t\to \sqrt{5+4\cos (t)}$ ook.

Omdat de grote en de kleine cirkel elkaar raken, liggen het raakpunt en de middelpunten van de cirkel op één lijn. Dus is het middelpunt van de grote cirkel de antipode van het raakpunt op de kleine cirkel.

Zie de figuur hieronder.

Zie de figuur hieronder.

In een bepaalde tijd wordt over de grote cirkel dezelfde afstand afgelegd als over de kleine. Dan is de hoeksnelheid half zo groot.

$P$ beweegt over de cirkel met middelpunt $M$ volgens:
$(x,y)=(\cos (\frac{1}{2}t),\sin (\frac{1}{2}t))$
$M$ beweegt over de eenheidscirkel volgens: $(x,y)=(\mathrm{‐}\cos (t),\mathrm{‐}\sin (t))$.
Dus $P$ beweegt ten opzichte van $O$ volgens:
$(x,y)=(\cos (\frac{1}{2}t)-\cos (t),\sin (\frac{1}{2}t)-\sin (t))$.

De beweging gaat half zo snel.