11.7  Extra opgaven
1

Bij een stoomlocomotief wordt de lineaire beweging van een zuigerstang omgezet in een cirkelbeweging.
In deze opgave bekijken we de beweging van zo'n stang als de cirkelbeweging eenparig is (de locomotief met constante snelheid beweegt).

Zie het plaatje hiernaast. P Q is een stang van lengte  3 . Q beweegt eenparig over de eenheidscirkel met bewegingsvergelijkingen: { x = cos ( t ) y = sin ( t ) .
Ten gevolge daarvan beweegt P over de x -as.

a

Wat zijn de maximale en de minimale waarde van de eerste coördinaat van P ?

b

Toon aan dat de eerste coördinaat van P op tijdstip t gelijk is aan: cos ( t ) + 9 sin 2 ( t ) .

c

Teken de grafiek van de eerste coördinaat van P met de GR of in GeoGebra.

2
figuur 1
figuur 2

Een flens (figuur 1) is de opstaande rand aan een treinwiel. Die zorgt ervoor dat de trein niet uit rails loopt. In deze opgave bekijken we de beweging van een punt Q op de rand van de flens. We nemen de straal van het treinwiel als eenheid. Veronderstel dat de flens straal 1 1 4 heeft. Neem aan dat het middelpunt M van het treinwiel met een snelheid van 1 eenheid per seconde ten opzichte van rail beweegt. In opgave 15 heb je gezien dat elk punt P op de omtrek van het wiel dan een snelheid van 1 eenheid/s heeft; vector 1 (evenwijdig aan de rail) en 2 (loodrecht op M P zijn de bijbehorende snelheidsvectoren, zie figuur 2.

a

Wat is de snelheid van een punt op de omtrek van de flens? Licht je antwoord toe.

b

Teken op het werkblad de snelheidsvector die de beweging van P weergeeft. Licht je antwoord toe.

c

Teken op het werkblad de snelheidsvector die de beweging van Q weergeeft. Licht je antwoord toe.

d

Wat is de maximale snelheid van Q en wat de minimale snelheid. Op welke hoogte ten opzichte van de rail bevindt zich Q dan?

Er zijn dus onderdelen van een rijdende trein die op bepaalde momenten achteruit gaan. Dat blijkt uit de voorgaande opgave.

3
figuur 1

We gaan verder met opgave 2. We brengen een assenstelsel aan: de x -as is de rail en de y -as staat daar loodrecht op en gaat door een punt waar Q op minimale hoogte is. Het moment waarop dit gebeurt nemen we als t = 0 , zie figuur 1.
In het vervolg stellen we de bewegingsvergelijkingen van Q op. Dan kun je de baan in GeoGebra tekenen, zie figuur 2.

R is het punt van het treinwiel dat op t = 0 op de x -as ligt, zie figuur 1. De bewegingsvergelijkingen van het punt R hebben we in opgave 36 opgesteld: { x = t sin ( t ) y = 1 cos ( t ) .

a

Geef de bewegingsvergelijkingen van Q .

Een periode van de beweging is 2 π sec.

b

Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe lang tijdens een periode het punt Q onder de rail is.

figuur 2

In figuur 2 (ook op het werkblad) is een punt S op de baan aangegeven.

c

Construeer de snelheidsvector in dit punt. Licht je antwoord toe.

(hint)
Zoek het middelpunt van het treinwiel.
4

Een draad wordt van een klosje gehaald. De draad wordt steeds strak gehouden. We onderzoeken de baan die het eindpunt van de draad beschrijft. Je kunt dat experimenteel bepalen. In plaats van een klosje garen kun je ook een conservenblik nemen. Wikkel daar een touw om, maak aan het eind een lus en steek daar een potlood in. Wikkel dan de draad van het blik af; zorg ervoor dat de draad steeds strak gespannen blijft.

a

Hoe zou je de kromme beschrijven die het potlood tekent?

Het klosje is cirkelvormig, met straal 1 . Het afgewikkelde stuk draad is P Q , met P het eindpunt en Q op de klosje. De lengte van P Q noemen we t . Als t = 0 is P ( 1,0 ) .

b

Leg uit dat de bewegingsvergelijkingen van P gegeven worden door:
{ x = cos ( t ) + t sin ( t ) y = sin ( t ) t cos ( t ) .

c

Teken de baan van P in GeoGebra.

d

Bereken exact de snijpunten met positieve tweede coördinaat van de baan met de lijn x = 1 .

Hiernaast zie je het begin van de baan van P . De figuur staat ook op het werkblad.

e

Teken zo nauwkeurig mogelijk het stuk draad dat is afgewikkeld. Licht je antwoord toe.

5

Een regelmatige zeshoek wordt over de x -as gewenteld. We volgen de baan van een hoekpunt P . We kiezen de y -as zó, dat hoekpunt P op t = 0 in de oorsprong O is. De zijden van de zeshoek zijn 1 .

a

Teken de baan van P tot zover, dat P zo hoog mogelijk gekomen is.
Beschrijf dat stuk van de baan.

b

Bereken de exacte lengte van het stuk dat je moest tekenen.

c

Geef van beide delen van de baan een pv. Neem aan dat P met snelheid 1 eenheid per seconde beweegt. (De tijd t rekenen we in seconden.)

6

In de figuur is A ( 1,0 ) en B ( 1,0 ) .

A B is middellijn van de cirkel met middelpunt O . Getekend zijn de raaklijnen x = 1 en x = 1 in de punten A en B .
C loopt over de bovenkant van de cirkel. De raaklijn in C snijdt de lijn x = 1 en x = 1 in P en Q . De coördinaten van C zijn: ( cos ( a ) , sin ( a ) ) .

a

Ga na dat x cos ( a ) + y sin ( a ) = 1 een vergelijking van lijn P Q is.

b

Ga na dat y P = 1 + cos ( a ) sin ( a ) .

c

Druk y Q ook in a uit en ga na dat y P y Q = 1 .

d

Wat volgt hieruit voor hoek P O Q ?

e

Kun je een meetkundig bewijs geven voor het feit dat de lijnen O P en O Q loodrecht op elkaar staan?

(hint)
De driehoeken P O A en P C A zijn congruent evenals de driehoeken B O Q en C O Q .
7

Een lijnstuk P Q met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel.

In figuur 1 zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin P Q raakt aan de halve cirkel noemen we R . Dus op elk moment staat P Q loodrecht op O R en is het lijnstuk P R even lang als de cirkelboog E R .

Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat het middelpunt van de cirkel O ( 0,0 ) is en E het punt ( 1,0 ) is. Zie figuur 2.

Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint P Q aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E .

In figuur 2 op de volgende bladzijde is het lijnstuk P Q op tijdstip t getekend voor een waarde van t tussen 0 en π . Omdat de straal van de halve cirkel  1 is en R snelheid 1 heeft, geldt E O R = t (rad) en R P = t  meter.

De coördinaten van P zijn:
{ x = cos ( t ) + t sin ( t ) y = sin ( t ) t cos ( t ) , met 0 t π .

a

Toon aan dat dit inderdaad de coördinaten van P zijn voor 0 t 1 2 π .

De grootte van de snelheid van het punt P na t seconden noemen we v ( t ) . Er geldt: v ( t ) 2 = x ( t ) 2 + y ( t ) 2 .
Hieruit volgt: v ( t ) = t .

b

Toon dit aan.

c

Geef de bewegingsvergelijkingen van Q .

8

In de figuur staat de baan van een punt met bewegingsvergelijkingen: { x = t 4 4 t 2 y = t 3 .

a

Bereken exact de punten van de baan met minimale eerste coördinaat.

De baan is niet voor alle waarden van t getekend. De maximale eerste coördinaat van de getekende punten is 5 .

b

Bereken de tweede coördinaat van die punten.

9

De baan in de figuur wordt doorlopen door een punt met bewegingsvergelijkingen { x = t 2 2 t y = t 2 + 2 t .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten met de assen.

b

Bereken de momenten, waarop het laagste punt en het meest linkse punt van de baan bereikt worden.
Bereken ook de coördinaten van die punten.

Er geldt: x ( t ) = y ( t ) voor alle t .

c

Wat betekent dit voor de baan?

d

Toon aan dat alle punten van de baan aan de vergelijking ( x y ) 2 = 8 ( x + y ) voldoen.

e

Druk het tijdstip t waarop het punt ( x , y ) van de baan bereikt wordt uit in x en y .