Bij een stoomlocomotief wordt de lineaire beweging van een zuigerstang omgezet in
een cirkelbeweging.
In deze opgave bekijken we de beweging van zo'n stang als de cirkelbeweging eenparig
is (de locomotief met constante snelheid beweegt).
Zie het plaatje hiernaast. is een stang van lengte .
beweegt eenparig over de eenheidscirkel met bewegingsvergelijkingen: .
Ten gevolge daarvan beweegt over de -as.
Wat zijn de maximale en de minimale waarde van de eerste coördinaat van ?
Toon aan dat de eerste coördinaat van op tijdstip gelijk is aan: .
Teken de grafiek van de eerste coördinaat van met de GR of in GeoGebra.
Een flens (figuur 1) is de opstaande rand aan een treinwiel. Die zorgt ervoor dat de trein niet uit rails loopt. In deze opgave bekijken we de beweging van een punt op de rand van de flens. We nemen de straal van het treinwiel als eenheid. Veronderstel dat de flens straal heeft. Neem aan dat het middelpunt van het treinwiel met een snelheid van 1 eenheid per seconde ten opzichte van rail beweegt. In opgave 15 heb je gezien dat elk punt op de omtrek van het wiel dan een snelheid van eenheid/s heeft; vector 1 (evenwijdig aan de rail) en 2 (loodrecht op zijn de bijbehorende snelheidsvectoren, zie figuur 2.
Wat is de snelheid van een punt op de omtrek van de flens? Licht je antwoord toe.
Teken op het werkblad de snelheidsvector die de beweging van weergeeft. Licht je antwoord toe.
Teken op het werkblad de snelheidsvector die de beweging van weergeeft. Licht je antwoord toe.
Wat is de maximale snelheid van en wat de minimale snelheid. Op welke hoogte ten opzichte van de rail bevindt zich dan?
Er zijn dus onderdelen van een rijdende trein die op bepaalde momenten achteruit gaan. Dat blijkt uit de voorgaande opgave.
We gaan verder met opgave 2.
We brengen een assenstelsel aan: de -as is de rail en de -as staat daar loodrecht op en gaat door een punt waar
op minimale hoogte is.
Het moment waarop dit gebeurt nemen we als , zie figuur 1.
In het vervolg stellen we de bewegingsvergelijkingen van op. Dan kun je de baan in GeoGebra tekenen, zie figuur 2.
is het punt van het treinwiel dat op op de -as ligt, zie figuur 1. De bewegingsvergelijkingen van het punt hebben we in opgave 36 opgesteld: .
Geef de bewegingsvergelijkingen van .
Een periode van de beweging is sec.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoelang tijdens een periode het punt onder de rail is.
In figuur 2 (ook op het werkblad) is een punt op de baan aangegeven.
Construeer de snelheidsvector in dit punt. Licht je antwoord toe.
Een draad wordt van een klosje gehaald. De draad wordt steeds strak gehouden. We onderzoeken de baan die het eindpunt van de draad beschrijft. Je kunt dat experimenteel bepalen. In plaats van een klosje garen kun je ook een conservenblik nemen. Wikkel daar een touw om, maak aan het eind een lus en steek daar een potlood in. Wikkel dan de draad van het blik af; zorg ervoor dat de draad steeds strak gespannen blijft.
Hoe zou je de kromme beschrijven die het potlood tekent?
Het klosje is cirkelvormig, met straal . Het afgewikkelde stuk draad is , met het eindpunt en op de klosje. De lengte van noemen we . Als is .
Leg uit dat de bewegingsvergelijkingen van gegeven worden door:
.
Teken de baan van in GeoGebra.
Bereken exact de snijpunten met positieve tweede coördinaat van de baan met de lijn .
Hiernaast zie je het begin van de baan van . De figuur staat ook op het werkblad.
Teken zo nauwkeurig mogelijk het stuk draad dat is afgewikkeld. Licht je antwoord toe.
Een regelmatige zeshoek wordt over de -as gewenteld. We volgen de baan van een hoekpunt . We kiezen de -as zó, dat hoekpunt op in de oorsprong is. De zijden van de zeshoek zijn .
Teken de baan van tot zover, dat zo hoog mogelijk gekomen is.
Beschrijf dat stuk van de baan.
Bereken de exacte lengte van het stuk dat je moest tekenen.
Geef van beide delen van de baan een pv. Neem aan dat met snelheid eenheid per seconde beweegt. (De tijd rekenen we in seconden.)
In de figuur is en .
is middellijn van de cirkel met middelpunt . Getekend zijn de raaklijnen
en
in de punten
en .
loopt over de bovenkant van de cirkel.
De raaklijn in snijdt de lijn en in en .
De coördinaten van zijn: .
Ga na dat een vergelijking van lijn is.
Ga na dat .
Druk ook in uit en ga na dat .
Wat volgt hieruit voor hoek ?
Kun je een meetkundig bewijs geven voor het feit dat de lijnen en loodrecht op elkaar staan?
Een lijnstuk met een lengte van meter buitelt over een halve cirkel.
In figuur 1 zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin raakt aan de halve cirkel noemen we . Dus op elk moment staat loodrecht op en is het lijnstuk even lang als de cirkelboog .
Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat het middelpunt van de cirkel is en het punt is. Zie figuur 2.
Het lijnstuk buitelt zó dat met snelheid over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip begint aan de buiteling; dan is het punt nog in het punt .
In figuur 2 op de volgende bladzijde is het lijnstuk op tijdstip getekend voor een waarde van tussen
en .
Omdat de straal van de halve cirkel is en snelheid heeft, geldt
(rad) en meter.
De coördinaten van zijn:
, met
.
Toon aan dat dit inderdaad de coördinaten van zijn voor .
De grootte van de snelheid van het punt na seconden noemen we . Er geldt: .
Hieruit volgt: .
Toon dit aan.
Geef de bewegingsvergelijkingen van .
In de figuur staat de baan van een punt met bewegingsvergelijkingen: .
Bereken exact de punten van de baan met minimale eerste coördinaat.
De baan is niet voor alle waarden van getekend. De maximale eerste coördinaat van de getekende punten is .
Bereken de tweede coördinaat van die punten.
De baan in de figuur wordt doorlopen door een punt met bewegingsvergelijkingen .
Bereken de coördinaten van de snijpunten met de assen.
Bereken de momenten, waarop het laagste punt en het meest linkse punt van de baan
bereikt worden.
Bereken ook de coördinaten van die punten.
Er geldt: voor alle .
Wat betekent dit voor de baan?
Toon aan dat alle punten van de baan aan de vergelijking voldoen.
Druk het tijdstip waarop het punt van de baan bereikt wordt uit in en .