Maximaal $4$ en minimaal $2$

$R$ is de projectie van $Q$ op de $x$-as, dan $QR=\sin (t)$ dus $PR=\sqrt{9-{\sin }^2(t)}$, dus $OP=\cos (t)+\sqrt{9-{\sin }^2(t)}$.

-

$1\frac{1}{4}$ eenheid/s volgt uit gelijkvormigheid.

Zie figuur 1 op de volgende bladzijde.
1 (lengte $1$) is de snelheidsvector waarmee $M$ beweegt, 2 (lengte $1$) is de snelheidsvector waarmee $P$ ten opzichte van $M$ beweegt en 3 is de resultante van de vectoren 1 en 2.

Zie figuur 2 hieronder.
1 (lengte $1$) is de snelheidsvector waarmee $M$ beweegt, 2 (lengte $1\frac{1}{4}$) is de snelheidsvector waarmee $Q$ ten opzichte van $M$ beweegt en 3 is de resultante van de vectoren 1 en 2.

Maximaal $2\frac{1}{4}$ als $Q$ zich op het hoogste punt bevindt en minimaal $\mathrm{‐}\frac{1}{4}$ als $Q$ zich op het laagste punt bevindt.

$\{\begin{array}{l}x=t-1\frac{1}{4}\sin (t)\\ y=1-1\frac{1}{4}\cos (t)\end{array}$

$y=1-1\frac{1}{4}\cos (t)=0\iff \cos (t)=\mathrm{0,8}$. De GR geeft: ${\cos }^{\mathrm{‐}1}(\mathrm{0,80})=\mathrm{0,6435...}$, dus $\mathrm{1,29}$ sec.

Teken de cirkel met middelpunt $S$ en straal $1\frac{1}{4}$. Eén van de snijpunten met de lijn $y=1$ is het middelpunt $M$ van het treinwiel. Teken met beginpunt $S$ een vector met lengte $1$ horizontaal en een vector met lengte $1\frac{1}{4}$ loodrecht op $SM$. De resultante is de gevraagde vector.

Een soort spiraal.

$\overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{l}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$; $\overrightarrow{PQ}$ vind je door $\overrightarrow{OQ}$ een kwartslag rechtsom te draaien en langer te maken. De lengte van $\overrightarrow{PQ}$ is $t$ en de lengte van $\overrightarrow{OQ}=1$.
$\overrightarrow{OQ}$ een kwartslag draaien geeft: $\left(\begin{array}{c}\sin (t)\\ \mathrm{‐}\cos (t)\end{array}\right)$, dus $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{l}\cos (t)+t\cdot \sin (t)\\ \sin (t)-t\cdot \cos (t)\end{array}\right)$.

$(\mathrm{‐}\mathrm{1,}\text{π}+k\cdot 2\text{π})$

Teken de eenheidscirkel. Eén van de raaklijnstukken vanuit $P$ aan de cirkel is het gevraagde lijnstuk.

Het eerste stuk is een cirkelboog van $60°$, met middelpunt $(\mathrm{1,0})$ en straal $1$. Het tweede stuk is een cirkelboog van $60°$ met middelpunt $(\mathrm{2,0})$ en straal $\sqrt{3}$.

$\frac{1}{6}\cdot 2\text{π}+\frac{1}{6}\cdot 2\text{π}\sqrt{3}=\frac{1}{3}\text{π}+\frac{1}{3}\text{π}\sqrt{3}$

$\{\begin{array}{l}x=1+\cos (t+\text{π})\\ y=\sin (t+\text{π})\end{array}$ en $\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}\cdot \cos (t+1\frac{1}{6}\text{π})\\ y=\sqrt{3}\cdot \sin (t+1\frac{1}{6}\text{π})\end{array}$.

$\left(\begin{array}{l}\cos (a)\\ \sin (a)\end{array}\right)$ is een normaalvector, dus is $x\cdot \cos (a)+y\cdot \sin (a)=c$ voor een of ander getal $c$ een vergelijking van lijn $PQ$.
$c$ vind je door een punt van de lijn in te vullen, in dit geval $(\cos (a),\sin (a))$, dit geeft: $c=1$, dus een vergelijking van lijn $PQ$ is: $x\cdot \cos (a)+y\cdot \sin (a)=1$.

Los de volgende vergelijking in $y_P$ op:
$\mathrm{‐}1\cdot \cos (a)+y_P\cdot \sin (a)=1$.

$y_Q$ voldoet aan de vergelijking $1\cdot \cos (a)+y_Q\cdot \sin (a)=1$, dus: $y_Q=\frac{1-\text{cos}(a)}{\text{sin}(a)}$.
$y_P\cdot y_Q=\frac{1-\text{cos}(a)}{\text{sin}(a)}\cdot \frac{1+\text{cos}(a)}{\text{sin}(a)}=\frac{1-{\text{cos}}^{\text{2}}(a)}{{\text{sin}}^{\text{2}}(a)}=1$.

De lijnen $OP$ en $OQ$ staan loodrecht op elkaar want het product van hun richtingscoëfficiënten is $\mathrm{‐}1$.

De driehoeken $POA$ en $POC$ hebben twee zijden gelijk ($OA=OC$ en $OP=OP$) en beide hebben een rechte hoek, dus zijn die driehoeken congruent.
Evenzo zijn de driehoeken $BOQ$ en $COQ$ congruent.
De vier aangegeven hoeken zijn samen $180$ graden evenals de hoeken $AOC$ en $BOC$. Dus hoek $POQ$ is 90 graden.

Dit volgt direct uit het feit dat:
$\overrightarrow{OR}=\left(\begin{array}{l}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{RP}=t\cdot {\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)}_R=t\cdot \left(\begin{array}{c}\sin (t)\\ \mathrm{‐}\cos (t)\end{array}\right)$

$x^{\prime }(t)=\mathrm{‐}\sin (t)+1\cdot \sin (t)+t\cdot \cos (t)$ en $y^{\prime }(t)=\cos (t)-1\cdot \cos (t)+t\cdot \cos (t)$, dus (want $\left(\begin{array}{l}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$ heeft lengte $1$): $1$ heeft lengte $t$.

$\overrightarrow{OR}=\left(\begin{array}{l}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{RQ}=(\text{π}-t)\cdot {\left(\begin{array}{l}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)}_L=t\cdot \left(\begin{array}{l}\mathrm{‐}\sin (t)\\ \cos (t)\end{array}\right)$, dus de bewegingsvergelijkingen van $Q$ zijn: $\{\begin{array}{l}\cos (t)-(\text{π}-t)\cdot \sin (t)\\ \sin (t)+(\text{π}-t)\cdot \cos (t)\end{array}$.

$x(t)=t^4-4t^2$ is minimaal als $x^{\prime }(t)=4t^3-8t=0\iff t=\sqrt{2}$ of $t=\mathrm{‐}\sqrt{2}$, en $x(\pm \sqrt{2})=\mathrm{‐}4$.

$x(t)=t^4-4t^2=5\iff (t^2-5)(t^2+1)=0$ dus $t=\sqrt{5}$ of $t=\mathrm{‐}\sqrt{5}$.
De tweede coördinaat is dan $y(\sqrt{5})=5\sqrt{5}$ of $y(\mathrm{‐}\sqrt{5})=\mathrm{‐}5\sqrt{5}$.

$x=0\iff t=0$ of $t=2$, dit geeft de punten $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{0,8})$.
$y=0\iff t=0$ of $t=\mathrm{‐}2$, dit geeft de punten $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{8,0})$.

In het laagste punt is $y$ minimaal, dus $y^{\prime }(t)=0\iff t=\mathrm{‐}1$, dit geeft het punt $(\mathrm{3,}\mathrm{‐}1)$.
In het meest linkse punt is $x$ minimaal, dus $x^{\prime }(t)=0\iff t=1$, dit geeft het punt $(\mathrm{‐}\mathrm{1,}3)$.

Dit betekent: als $(x,y)$ een punt van de baan is, dan ook $(y,x)$ (zij worden op tegengestelde tijstippen bereikt), dus de lijn $y=x$ is symmetrieas van de baan.

Vul voor $x=t^2-2t$ en voor $y=t^2+2t$ in de vergelijking in en je vindt: $0=0$.

$t=\frac{1}{4}(y-x)$