6.7 De variantie >

Hoofdstukken > Discrete verdelingen

We draaien $n$ keer een kanstol met successector $120 °$ .
$X$ is het aantal successen.

Teken een kanstabel en een kanshistogram voor de volgende waarden van $n$ : $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ en $n = 4$ .

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal successen voor elk van deze vier waarden van $n$ .

Bereken ook de variantie, dat is het kwadraat van de standaardafwijking.

Wat valt je op?

$X$ is het aantal successen in een binomiaal kansexperiment met $n$ herhalingen en succeskans $p$ .

Hoe groot, denk je, dat $E (X)$ is?

De verwachtingswaarde van het aantal successen $X$ bij een binomiaal kansexperiment volgt uit de somregel voor de verwachtingswaarde. Hoe, dat ga je in deze opgave uitvinden.
Noem het aantal successen bij de eerste uitvoering van het experiment $X_{1}$ , het aantal successen bij de tweede uitvoering $X_{2}$ , enzovoort.

Welke waarden kunnen $X_{1}$ , $X_{2}$ , $...$ aannemen?

Leg uit dat $X = X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}$ .

Bereken $E (X_{1})$ . Hoe groot zijn $E (X_{2})$ , $E (X_{3})$ , $...$ ?

Hoe groot is $E (X)$ dus?

Als $X$ het aantal successen is bij een binomiaal kansexperiment met succeskans $p$ en aantal herhalingen $n$ , dan is $E (X) = n p$ .

Dit komt geheel overeen met je gevoel, bijvoorbeeld:

Als je $20$ keer een munt opgooit, dus met kans $0,5$ op kop, dan verwacht je ook $0,5 \cdot 20 = 10$ keer kop;
Als je $24$ keer een dobbelsteen gooit met het spel Mens erger je niet, dus telkens met kans $\frac{1}{6}$ op zes ogen, dan verwacht je ook $\frac{1}{6} \cdot 24 = 4$ keer een zes te gooien.
(Dit lijkt vaak anders: je gooit ze namelijk niet op het moment dat je het graag wilt...)
Als je $12$ vragen bij een multiple-choice-toets met vier alternatieven gokt, dus elke vraag met kans $\frac{1}{4}$ goed hebt, dan verwacht je ook $\frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ vragen goed te hebben.

We kijken nogmaals naar de kanstol uit opgave 68 met succeskans $\frac{1}{3}$ .
De standaardafwijking van het aantal successen $X$ is lastiger te vinden voor grotere waarden van $n$ .

We beginnen eenvoudig en vergelijken de aantallen successen voor $1$ , $2$ en $3$ keer draaien, dus voor $n = 1$ , $n = 2$ en $n = 3$ .
De bijbehorende kanstabellen staan hiernaast.

De variantie voor $n = 1$ is $\frac{2}{9}$ .

Leg uit dat het logisch is dat de variantie voor $n = 1$ groter is. En voor $n = 2$ nog groter.

Bereken de variantie bij $n = 2$ en $n = 3$ .
Wat valt je op?

Algemeen geldt de volgende somregel voor de variantie.
Als $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn en $S = X + Y$ , dan geldt: $Var (S) = Var (X) + Var (Y)$ .

De variantie van het aantal ogen bij het werpen met een dobbelsteen is $\frac{35}{12}$ ; zie opgave 30.

Hoe groot is de variantie van het totaal aantal ogen bij het werpen met twee dobbelstenen?
En bij het werpen met zes dobbelstenen?

Hoe groot is de variantie van het aantal ogen dat bij het werpen met een dobbelsteen aan de onderkant komt?

Hoe groot is de variantie van de som van de aantallen ogen die bij het werpen met een dobbelsteen aan de boven- en onderkant komen?

Waarom geldt hier de somregel voor de variantie niet?

We kenden al de somregel voor de verwachtingswaarde: $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .
Belangrijk verschil is dat deze somregel ook geldt als $X$ en $Y$ niet onafhankelijk zijn.

$X$ is het aantal keren kop bij negen worpen met een munt.
$X_{1}$ is het aantal kop bij de 1e worp, $X_{2}$ is het aantal kop bij de 2e worp, ..., $X_{9}$ is het aantal kop bij de 9e worp.
Merk op: $X = X_{1} + X_{2} + ... + X_{9}$ .

Hiernaast staat de kanstabel van $X_{1}$ .

Bereken $E (X_{1})$ , $Var (X_{1})$ en $sd (X_{1})$ .

Voor $X_{2}$ , ..., $X_{9}$ is de kanstabel identiek aan die van $X_{1}$ .

Bereken met de somregels $E (X)$ , $Var (X)$ en $sd (X)$ .

$Y$ is het aantal keren zes ogen bij negen worpen met een dobbelsteen.
$Y_{1}$ is het aantal zessen bij de 1e worp, $Y_{2}$ is het aantal zessen bij de 2e worp, ..., $Y_{9}$ is het aantal zessen bij de 9e worp.
Merk op: $Y = Y_{1} + Y_{2} + ... + Y_{9}$ .

Hiernaast staat de kanstabel van $Y_{1}$ .

Bereken $E (Y_{1})$ , $Var (Y_{1})$ en $sd (Y_{1})$ .

Voor $Y_{2}$ , ..., $Y_{9}$ is de kanstabel identiek aan die van $Y_{1}$ .

Bereken met de somregels $E (Y)$ , $Var (Y)$ en $sd (Y)$ .

Als $X$ het aantal succes is in een binomiaal kansexperiment met succeskans $p$ en aantal herhalingen $n$ , dan is $sd (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Bewijs deze regel voor $n = 1$ (maak eerst een kanstabel).

Bewijs dit vanuit de somregel voor de variantie.

Wat is de standaardafwijking van het aantal kop bij $20$ keer werpen met een zuivere munt?

Wat is de standaardafwijking van het aantal successen bij $20$ keer draaien met een kanstol met succeskans $\frac{1}{3}$ ?

Wat is de standaardafwijking van het aantal vragen goed als je bij alle $16$ vragen van een luistertoets Engels (multiple-choice, vierkeuzevragen) de antwoorden gokt?

"Altijd prijs in de supergrabbelton" staat er bij een kraampje op de braderie. Tussen het zaagsel in de ton zijn tien plankjes verborgen met daarop de getallen $2$ (zeven keer), $5$ (twee keer) en $10$ (één keer). Na een inzet mag je twee plankjes grabbelen (zonder terugleggen). Het hoogste getal dat op deze plankjes staat, is dan de uitbetaling $X$ in euro.

Ga na: $P (X = 5) = \frac{1}{3}$ .

Geef in een tabel de kansverdeling van $X$ .

Ga na: $E (X) = 4,6$ , $Var (X) = 9,04$ en $sd (X) \approx 3,01$ .

Hoeveel moet de inzet minstens bedragen als de organisator winst wil maken?

Na enige tijd merkt de organisator van dit spel dat de winst wat tegenvalt en besluit alle uitbetalingen met één euro te verlagen.
$Y$ is de verlaagde uitbetaling, dus $Y = X - 1$ .

Hoe groot is $E (Y)$ (zonder veel rekenwerk)?
Kun je ook zonder rekenwerk verklaren waarom $Var (Y)$ gelijk is aan $Var (X)$ ? Hoe groot is dus $sd (Y)$ ?

Tegen het eind van de braderie bedenkt de organisator een stunt: de uitbetaling en ook de inzet worden tien keer zo hoog als bij het begin van de braderie.
$U$ is de nieuwe uitbetaling, dus $U = 10 \cdot X$ .

Vind je dit een verstandige actie?

Hoe groot zijn $E (U)$ , $Var (U)$ en $sd (U)$ ?

Kun je verklaren waarom $E (U)$ $10$ keer zo groot is als $E (X)$ ?
Kun je verklaren waarom $Var (U)$ niet $10$ maar $100$ keer zo groot is als $Var (X)$ ?

Gegeven is de stochast $X$ en de ervan afgeleide stochasten
$Y = X + a$ en $U = c \cdot X$ , met $a$ en $c$ constanten.
Dan gelden de volgende rekenregels.

$E (Y) = E (X) + a$ ; $Var (Y) = Var (X)$ ; $sd (Y) = sd (X)$ .
Als bij alle waarden van $X$ een vast getal $a$ wordt opgeteld, dan wordt de verwachtingswaarde ook $a$ groter; de variantie en de standaardafwijking veranderen niet, omdat de ligging ten opzichte van het gemiddelde niet verandert.
$E (U) = c \cdot E (X)$ ; $Var (U) = c^{2} \cdot Var (X)$ ; $sd (U) = | c | \cdot sd (X)$ .
Als alle waarden van $X$ met een een vast getal $c$ worden vermenigvuldigd, dan wordt de verwachtingswaarde ook $c$ keer zo groot; de variantie wordt $c^{2}$ keer zo groot (want de afstanden ten opzichte van het gemiddelde worden $| c |$ keer zo groot, dus de kwadraten van die afstanden worden $c^{2}$ keer zo groot); de standaardafwijking wordt $\sqrt{c^{2}} = | c |$ keer zo groot. ten opzichte van het gemiddelde niet verandert.

Opmerking:

De bovenstaande rekenregels gelden ook voor negatieve waarden van $a$ en $c$ .
Vandaar dat de absolute waarde $| c |$ wordt gebruikt: als je een negatieve waarde van $c$ kwadrateert en daar dan weer de wortel van neemt, dan krijg je een positieve waarde als uitkomst.

We gaan verder met de grabbelton van opgave 76.
Als een speler aangeeft het spel twee keer te willen spelen, daagt de organisator de speler uit met de volgende keuze:

Je speelt het spel gewoon twee keer, met twee keer inzet en twee keer uitbetalen. (Na het eerste keer spelen worden de getrokken plankjes weer in de ton teruggestopt.)
Je speelt het spel één keer, met dubbele inzet, en je krijgt de waarde van het hoogste plankje dubbel uitbetaald.

Angela overweegt het spel twee keer te spelen en vraagt zich af wat het meest gunstig is voor haar om te doen.

Laat $T$ de totale uitbetaling bij twee normale spelletjes zijn, dus $T = X_{1} + X_{2}$ . Hierbij is $X_{1}$ de uitbetaling bij de eerste keer grabbelen en $X_{2}$ bij de tweede keer.
En $D$ is de uitbetaling bij één keer spelen met dubbele inzet en dubbele uitbetaling.

We zagen al eerder: $E (X_{1}) = 4,6$ en $Var (X_{1}) = 9,04$ .

Waarom mag je in dit geval gebruik maken van de somregel voor de variantie?

Bereken $E (T)$ , $Var (T)$ en $sd (T)$ met de somregels.

Bereken $E (D)$ , $Var (D)$ en $sd (D)$ .

Maakt het voor de verwachtingswaarde uit welk van de twee mogelijkheden Angela kiest?
En voor de variantie? En voor de sd?

Kun je ook zonder rekenregels verklaren waarom de variantie bij de keuze voor $D$ groter zal zijn dan bij de keuze voor $T$ ?

Wat is je advies aan Angela?

Opmerking:

Bij stochasten gebeurt er iets wat je niet gewend bent:
$X + X$ is niet hetzelfde als $2 X$ !
Want $Var (X + X) \neq Var (2 X)$ en ook $sd (X + X) \neq sd (2 X)$ .
(Voor de verwachtingswaarde geldt wél $E (X + X) = E (2 X)$ .)

Dat komt omdat de kanstabellen van $X + X$ en van $2 X$ geheel verschillend kunnen zijn.
Hieronder staan bijvoorbeeld de beide kanstabellen voor de stochast $X$ = aantal ogen bij een worp met een dobbelsteen.
Je ziet meteen dat de spreiding zeer verschillend is.

Bekend is de vuistregel dat bij veel experimenten de kans op een afwijking van het gemiddelde van meer dan $2$ keer de sd kleiner is dan $5 %$ .
Met andere woorden: het resultaat ligt met $95 %$ kans tussen
het gemiddelde + $2 \cdot sd$ en het gemiddelde – $2 \cdot sd$ .

Als je duizend keer met een zuivere munt werpt, tussen welke waarden zal – volgens de vuistregel – het aantal kop dan liggen met $95 %$ kans?

Bereken de werkelijke kans dat het aantal kop tussen deze twee waarden ligt.

Er wordt $186.000$ keer met een zuivere munt geworpen. De munt viel $95.000$ keer op kop.

Hoeveel keer de sd wijkt dit resultaat af van het te verwachten aantal keer kop?

In 2008 werden in Nederland $95.000$ jongens geboren en $91.000$ meisjes.

Wat denk je, is de kans op een jongen even groot als op een meisje?