Voorbeeld bij $n=3\to \text{P}(X=2)=\text{P}(x=\mathrm{2,}n=\mathrm{3,}p=\frac{1}{3})=\frac{2}{9}$.

De sd bereken via list 1 en list 2 op je rekenmachine:
$n=1\to \text{E}(X)=\frac{1}{3}\to \text{sd}(X)\approx \mathrm{0,4714045208}\to \text{Var}(X)\approx \mathrm{0,2222...}$
$n=2\to \text{E}(X)=\frac{2}{3}\to \text{sd}(X)\approx \mathrm{0,6666666666}\to \text{Var}(X)\approx \mathrm{0,4444...}$
$n=3\to \text{E}(X)=1\to \text{sd}(X)\approx \mathrm{0,8164965809}\to \text{Var}(X)\approx \mathrm{0,6666...}$
$n=4\to \text{E}(X)=1\frac{1}{3}\to \text{sd}(X)\approx \mathrm{0,9428090416}\to \text{Var}(X)\approx \mathrm{0,8888...}$

Zie antwoord b.

Zowel de verwachting als de variantie zijn evenredig met het aantal draaiingen $n$.

$\text{E}(X)=np$

$0$ en $1$

Alle enen opgeteld geeft de waarde van $X$, dat is dus het aantal successen bij het $n$ keer uitvoeren van het experiment.

$\text{E}(X_1)=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$, dus ook $\text{E}(X_2)$, $\text{E}(X_3)$ enz.

Dus $\text{E}(X)=p+p+p+\mathrm{...}=np$.

Bij $1$ keer draaien zijn er maar twee uitkomsten ($0$ en $1$) en bij twee keer draaien zijn er drie uitkomsten ($0$, $1$ en $2$), dus is er meer spreiding.
Bij drie keer draaien zijn er zelfs vier uitkomsten, dus nog meer spreiding.

$n=2$: $\text{var}(X)={\left(0-\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{4}{9}+{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{4}{9}+{\left(2-\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{1}{9}=\frac{4}{9}$;
$n=3$: $\text{var}(X)={\left(0-1\right)}^2\cdot \frac{8}{27}+{\left(1-1\right)}^2\cdot \frac{4}{9}+{\left(2-1\right)}^2\cdot \frac{2}{9}+{\left(3-1\right)}^2\cdot \frac{1}{27}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$;
De variantie neemt telkens met $\frac{2}{9}$ toe.

$\text{Var}(S_2)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}$ , $\text{Var}(S_6)=6\cdot \frac{35}{12}=\frac{35}{2}$

Ook $\frac{35}{12}$.

$\text{Var}(\text{som})=0$, omdat de som steeds $7$ is, zijn alle afwijkingen van het gemiddelde $0$.

Omdat de aantallen ogen aan de boven- en onderkant afhankelijk zijn van elkaar.

$\text{E}(X_1)=0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$; $\text{Var}(X_1)={\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}+{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$; $\text{sd}(X_1)=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

$\text{E}(X)=\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\mathrm{...}+\text{E}(X_9)=9\cdot \frac{1}{2}=4\frac{1}{2}$;
$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\mathrm{...}+\text{Var}(X_9)=9\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$;
$\text{sd}(X)=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

$\text{E}(Y_1)=0\cdot \frac{5}{6}+1\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$; $\text{Var}(Y_1)={\left(0-\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{5}{6}+{\left(1-\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216}+\frac{25}{216}=\frac{5}{36}$;
$\text{sd}(Y_1)=\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{1}{6}\sqrt{5}\approx \mathrm{0,373}$

$\text{E}(Y)=\text{E}(Y_1)+\text{E}(Y_2)+\mathrm{...}+\text{E}(Y_9)=9\cdot \frac{1}{6}=1\frac{1}{2}$;
$\text{Var}(Y)=\text{Var}(Y_1)+\text{Var}(Y_2)+\mathrm{...}+\text{Var}(Y_9)=9\cdot \frac{5}{36}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$;
$\text{sd}(X)=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{5}\approx \mathrm{1,12}$

Uit de regel $\text{E}(X)=n\cdot p=p$ volgt voor $n=1$ dat: $\text{E}(X_1)=1\cdot p=p$.
Voor het berekenen van de variantie kwadrateer je de twee afwijkingen (zie tabel) en vermenigvuldigt die met de bijbehorende kansen en telt dat op.
$\text{Var}(X_1)=(1-p)\cdot {(0-p)}^2+p\cdot {(1-p)}^2=$
$(1-p)\cdot p^2+p\cdot (1-2p+p^2)=p^2-p^3+p-2p^2+p^3=p-p^2=p(1-p)$.

$X=X_1+X_2+\mathrm{...}+X_n$
$\text{Var}(X)=n\cdot \text{Var}(X_1)=n\cdot p(1-p)$, dus $\text{sd}(X)=\sqrt{np(1-p)}$

$\text{sd}=\sqrt{20\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{5}\approx \mathrm{2,236}$

$\text{sd}=\sqrt{20\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)}=\sqrt{\frac{40}{9}}\approx \mathrm{2,108}$

$\text{sd}=\sqrt{16\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,732}$

Je hebt óf twee plankjes met een $5$ erop, óf een plankje met een $2$ en een met een $5$;
$\text{P}(5+5)=\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{45}$; $\text{P}(2+5)=2\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{14}{45}$; dus $\text{P}(X=5)=\frac{1}{45}+\frac{14}{45}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$

$\text{E}(X)=2\cdot \frac{7}{15}+5\cdot \frac{1}{3}+10\cdot \frac{1}{5}=\mathrm{4,6}$;
$\text{Var}(X)={\mathrm{2,6}}^2\cdot \frac{7}{15}+{\mathrm{0,4}}^2\cdot \frac{1}{3}+{\mathrm{5,4}}^2\cdot \frac{1}{5}=\mathrm{9,04}$;
$\text{sd}(X)=\sqrt{\mathrm{9,04}}\approx \mathrm{3,01}$

Meer dan $€\mathrm{4,60}$

Alle bedragen worden één euro lager, dus zal ook de verwachtingswaarde één lager worden: $\text{E}(Y)=\text{E}(X)-1=\mathrm{4,6}-1=\mathrm{3,6}$;
De afwijkingen ten opzichte van de verwachtingswaarde blijven gelijk, dus de spreiding blijft ook gelijk. Dus blijft de variantie en de sd gelijk. $\text{sd}(Y)=\text{sd}(X)=\sqrt{\mathrm{9,04}}\approx \mathrm{3,01}$

Nee, hij gaat veel verlies lijden.

$\text{E}(U)=20\cdot \frac{7}{15}+50\cdot \frac{1}{3}+100\cdot \frac{1}{5}=46$;
$\text{Var}(U)={26}^2\cdot \frac{7}{15}+4^2\cdot \frac{1}{3}+{54}^2\cdot \frac{1}{5}=904$;
$\text{sd}(U)=\sqrt{904}\approx \mathrm{30,1}$

Alle waarden op de plankjes zijn $10$ keer zo groot, dus de verwachtingswaarde van de uitbetaling natuurlijk ook.
De afwijkingen t.o.v. de verwachtingswaarde worden ook $10$ keer zo groot; deze worden gekwadrateerd bij de berekening van de variantie, dus de variantie wordt ${10}^2=100$ keer zo groot.

$X_1$ en $X_2$ zijn onafhankelijk.

$\text{E}(T)=\mathrm{4,6}+\mathrm{4,6}=\mathrm{9,2}$, $\text{Var}(T)=\mathrm{9,04}+\mathrm{9,04}=\mathrm{18,08}$ en $\text{sd}(T)=\sqrt{\mathrm{18,08}}\approx \mathrm{4,25}$

$\text{E}(D)=2\cdot \mathrm{4,6}=\mathrm{9,2}$, $\text{Var}(D)=2^2\cdot \mathrm{9,04}=\mathrm{36,16}$ en $\text{sd}(D)=\sqrt{\mathrm{36,16}}\approx \mathrm{6,01}$

Voor de verwachtingswaarde maakt het niets uit. Voor de variantie en de sd wel.

Bij twee keer spelen (keuze $T$) kan een verlies of winst bij het 1e spelletje gecompenseerd worden in het 2e spelletje. Bij dubbele inzet en uitbetaling (keuze $D$) kan dat niet: een lage uitbetaling wordt extra laag en een hoge uitbetaling extra hoog door de verdubbeling, dus de spreiding wordt groter.

Voor de verwachtingswaarde maakt het niet uit, dus als ze dit spel veel vaker doet, maakt het niets uit. Maar als ze het alleen deze ene keer speelt, dan hangt het van haar karakter af: houdt ze van een gokje, dan kan ze beter voor optie $D$ kiezen. Want de kans op de hoogste uitbetaling van $20$ euro is dan groter ($\frac{1}{5}$ ten opzichte van $\frac{1}{25}$).

$\text{sd}=\sqrt{1000\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)}$,
ongeveer $95\text{\%}$ ligt tussen $500-2\cdot \mathrm{15,8}=\mathrm{468,4}$ en $500+2\cdot \mathrm{15,8}=\mathrm{531,6}$.

$\text{P}(469\le X\le 531)=\text{P}(X\le 531)-\text{P}(X\le 468)=\mathrm{0,97685}-\mathrm{0,02315}=\mathrm{0,9537}$. Het antwoord is ongeveer $95\text{\%}$. Dit komt dus heel goed overeen met de vuistregel.

$\text{sd}=\sqrt{186.000\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)}\approx \mathrm{215,638}$ ; $\text{E}=93.000$. De afwijking is $2000$.
Dit is $\frac{2000}{\mathrm{215,638}}\approx \mathrm{9,27}$ keer de sd.

Dit is samen $186.000$ en $95.000$ wijkt $\mathrm{9,27}$ keer de sd af van de helft van dat getal, als de kans op een jongen tenminste $\frac{1}{2}$ is. Dus zeer waarschijnlijk is de kans op een jongen niet $\frac{1}{2}$ en is de kans op een jongen dus niet gelijk aan de kans op op een meisje.