Halfwaardetijd en verdubbelingstijd

In $1986$ vond er een explosie plaats in de kerncentrale van Tsjernobyl in de toenmalige Sovjetunie: de grootste kernramp in de geschiedenis. Daarbij kwamen veel radioactieve stoffen vrij. Deze stoffen vervallen: onder het uitzenden van straling veranderen ze in een stof die niet meer radioactief is. De radioactiviteit neemt dus af. En dat gebeurt exponentieel. Een van de vrijgekomen stoffen in Tsjernobyl was Cesium-141. Van Cesium-141 neemt de radioactiviteit jaarlijks af met $2$ %.

Geef een formule voor het percentage straling dat er nog over is na $t$ jaar.

Bepaal met je rekenmachine hoeveel jaar het ongeveer duurt voordat de straling gehalveerd is.

Geef een formule voor het percentage straling dat er nog over is in het jaar $j$ .

Halfwaardetijd is een begrip uit de natuurkunde. Het geeft aan hoe lang het duurt voordat de straling gehalveerd is. Het begrip halfwaardetijd wordt ook wel gebruikt bij andere zaken dan radioactiviteit. Stel dat wij $100$ mg Pu-238 (plutonium) hebben. De halfwaardetijd van Pu-238 is negen jaar; dat wil zeggen dat er na negen jaar nog de helft van over is.

Hoeveel mg Pu-238 is er dan nog na 27 jaar?

Hoeveel procent van het Pu-238 vervalt er jaarlijks?

Stel een formule op voor de hoeveelheid Pu-238 na $t$ jaar.

Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel in de tijd afneemt. De tijd waarin die hoeveelheid halveert, noemen we de halfwaardetijd van die stof.
Als het niet om radioactiviteit gaat, wordt deze tijdsduur ook wel de halveringstijd genoemd.

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.
Voor het berekenen van de verdubbelingstijd bij een bepaald groeipercentage bestaat een vuistregel. Deze vuistregel gaat alleen op als het groeipercentage niet al te groot is (tot $10$ %).
Hij luidt:
De verdubbelingstijd $= \frac{70}{groeipercentage}$ .
Stel dat de bevolking van een land elk jaar met $2$ % groeit.

Hoe lang zou het dan volgens de vuistregel duren voordat de bevolking verdubbeld is?

Hoeveel keer zo groot wordt de bevolking in de tijd die je bij het vorige onderdeel hebt gevonden? Klopt het ongeveer?

De vuistregel kan ook omgekeerd gebruikt worden.
Stel dat van een ander land de bevolking in $14$ jaar verdubbelt.

Met hoeveel procent groeit de bevolking van dat land dan jaarlijks volgens de vuistregel?

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent de bevolking precies groeit.

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.

Het aantal PIN-transacties in Nederland is in de periode van 2005 tot 2013 verdubbeld.

Bereken de (gemiddelde) jaarlijkse procentuele groei, afgerond op 1 decimaal.

Bereken (in maanden nauwkeurig) de verdubbelingstijd als het aantal pintransacties met $7,3$ % per jaar toeneemt.

Gemengde oefeningen

Volgens een beleggingsfolder kun je je kapitaal in $10$ jaar tijd verdubbelen. Ga uit van exponentiële groei.

Hoeveel procent rendement per jaar heb je dan?

De halfwaardetijd van Radon 222 is $3,8$ dagen.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent per uur de hoeveelheid Radon 222 afneemt.

Op www.drugsforum.nl staat: "Toch hoor ik van mensen dat het niet zo is dat na 2 keer de halfwaardetijd de stof volledig uit je bloed is? Hoe werkt dit dan precies?"

Hoeveel is er na twee keer de halfwaardetijd van de stof verdwenen?

Iets neemt elk jaar toe met $4$ %. Hoe groot is de procentuele toename in $20$ jaar? (Rond af op een geheel percentage.)

Iets neemt elk jaar af met $5,7$ %. Hoe groot is de procentuele afname in $20$ jaar? (Rond af op een geheel percentage.)

Iets neemt in $40$ jaar met $60$ % toe. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

Iets neemt per jaar met $24$ % af. Bereken de maandelijkse procentuele afname afgerond op 1 decimaal.

De verdubbelingstijd bedraagt $7$ jaar. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

De halveringstijd bedraagt $29$ maanden. Bereken de jaarlijkse procentuele afname afgerond op 1 decimaal.

Het aantal inwoners van een stad groeit in $25$ jaar van $4,3$ naar $6,8$ miljoen. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

Op dit moment zijn er $80.000$ bezitters van een nieuwe gadget. De verwachting is dat dit aantal elke $8$ maanden verdubbelt.

Hoeveel bezitters verwacht je over $3$ jaar? Rond af op duizendtallen.
Geef een formule voor het aantal bezitters na $m$ maanden.
Geef ook een formule voor het aantal bezitters na $j$ jaar.

Een bepaald radioactief isotoop heeft een halfwaardetijd van $5700$ jaar.

Hoeveel procent (afgerond op 1 decimaal) is er nog over na $4000$ jaar? En na $40.000$ jaar?

Een plaats groeide tussen de jaren 1273 en 1409 van $22.000$ naar $45.000$ 0 inwoners.

Bereken het vermoedelijk aantal inwoners in 1350, uitgaande van een vast groeipercentage per jaar.
Geef een formule voor het geschat aantal inwoners in het jaar $j$ .

In opgave 2 wordt begonnen met een vel A0-papier (afmetingen 1189 bij 841 mm) en deze telkens gehalveerd.

Geef een formule voor de afmeting van de langste zijde van het papier dat je krijgt na $n$ keer snijden.
Geef ook een formule voor de kortste zijde.
Geef een formule voor de oppervlakte (in mm²) van het velletje na $n$ keer snijden.

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met het rekenen met groeifactoren met de applet Mini-loco_groeifactor .