Een blauwe vinvis is het grootste dier dat ooit geleefd heeft; hij weegt gemiddeld $100$ ton ( $1$ ton = $1000$ kg). Een bij weegt gemiddeld $0,1$ gram.

In de biologie hebben we te maken met erg zware en erg lichte dieren. Om het hele scala van extreem licht tot uiterst zwaar op één getallenlijn in beeld te brengen gebruiken we een logaritmische schaal (de gewichten zijn in grammen).

Hoeveel bijen zijn samen even zwaar als een blauwe vinvis?

Waarom zetten we de gewichten eigenlijk niet uit op een gewone, lineaire, schaal?

Neem de logaritmische schaal over (neem als eenheid $1$ cm) en geef er op aan: de mens ( $100$ kg), de merel ( $100$ gram), de vlo ( $0,01$ gram).

Bij een lineaire schaal wordt, als je $1$ cm naar rechts gaat, het bijbehorende getal $1$ groter.
Hoe zit dat bij de logaritmische schaal?
Hoeveel cm staat het getal $1000$ rechts van $1$ op de logaritmische schaal?
En $0,00001$ ?

Als je een getal op de logaritmische schaal wil plaatsen, moet je het schrijven als een macht van $10$ .
Dat heb je in de vorige paragraaf geleerd: dan kan met de knop [log] op je rekenmachine. Daarmee vind je de exponent om een getal als macht van $10$ te schrijven.
Toets nog maar eens in: $\log (10)$ , $\log (100)$ ,...

Stel je wilt $275$ als macht van $10$ schrijven, dus $275 = 10^{x}$ .
Dan $x = {}^{10} log (275)$ $= \log (275) \approx 2,439$ .
Nu kun je $275$ op de logaritmische schaal plaatsen, namelijk $2,44$ cm rechts van $1$ .

Schrijf $0,02$ als macht van $10$ .
Hoeveel cm links van $1$ staat $0,02$ dus op de logaritmische schaal?

Gebruik de log-knop om het gewicht van een olifant ( $4$ ton) op de logaritmische schaal (van vraag c) aan te geven. Ook van een spreeuw ( $80$ g) en een mensenbaby ( $3$ kg).

Waar staat het getal $16$ op een getallenlijn met eenheid $1$ cm?

Op een lineaire schaal: op afstand $16$ cm rechts van $0$ .
Op een logaritmische schaal: op afstand $\log (16) \approx 1,2$ cm rechts van $1$ .

De opeenvolgende machten van $10$ : ..., $0,01$ , $0,1$ , $1$ , $10$ , $100$ , ...
(nl. ..., $10^{‐ 2}$ , $10^{‐ 1}$ , $10^{0}$ , $10^{1}$ , $10^{2}$ ,...) vind je op een logaritmische schaal op regelmatige afstanden van $1$ cm van elkaar.
In plaats van de cm kun je ook een andere eenheid nemen.

Hieronder staat een getallenlijn met daarop drie getallen $p$ , $q$ en $r$ aangegeven. Deze figuur staat ook op het werkblad.

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de waarden van $p$ , $q$ en $r$ .

Geef op de getallenlijn op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk het getal $0,075$ aan. Evenzo $50$ en $200$ .

We bekijken de getallen $50$ en $200$ .
$\log (50) \approx 1,69897$ en $\log (200) \approx 2,30103$ .

Noem $x$ het gemiddelde van de exponenten $1,69897$ en $2,30103$ . Hoe groot is dan $10^{x}$ ?
Ga na of dit getal op de logaritmische schaalverdeling midden tussen $50$ en $200$ ligt.

Welk getal ligt op de logaritmische schaalverdeling midden tussen $0,75$ en $300$ ?

Een bacteriesoort wordt gekweekt op een voedingsbodem. Het aantal bacteriën groeit exponentieel; de groeifactor per dag is $10$ . Op tijdstip $0$ zijn er $1000$ .

Hoeveel zijn er na $2 \frac{1}{2}$ dag?
Teken zelf een logaritmische schaal zoals hieronder en geef hierop dat aantal aan.

Hoeveel bacteriën zijn er $40$ uur vóór tijdstip $0$ ?
Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

Wanneer zijn er een half miljard (dat is $\frac{1}{2} \cdot 10^{9}$ ) bacteriën? Geef dat aantal ook aan op de logaritmische schaal.

Bij het hardlopen zijn de wereldrecords van de mannen op verschillende afstanden uitgezet in onderstaande grafiek. Als op beide assen een logaritmische schaalverdeling wordt gebruikt, dan blijken de wereldrecords vrijwel op een rechte lijn te liggen. De tijd is in seconden en de afstanden in meters.

Geef met behulp van de grafiek op het werkblad een schatting van het wereldrecord in minuten en seconden op de $3000$ meter. Geef in de figuur duidelijk aan hoe je te werk bent gegaan.

Lees ook af welke afstand je maximaal kan lopen in een uur.

Bij de rechte lijn hoort de formule: $t = 10^{‐ 1,2} \cdot a^{1,1}$ , met $t$ de tijd in seconden en $a$ de loopafstand in meters.

Bereken ook met deze formule een schatting van het wereldrecord op de $3000$ meter in minuten en seconden.
Vergelijk beide schattingen met de werkelijke wereldrecordtijd die je wel op internet kunt vinden.

Bereken met de formule een schatting van de grootst mogelijke afstand die een man in precies een uur kan rennen. Rond je antwoord af op een geheel aantal meters.

De variatie in geluidssterkte is erg groot. Het menselijk oor is gevoelig voor heel zachte geluiden (een speld valt op een wollen vloerkleed) en voor heel harde geluiden (een startend straalvliegtuig). Om het hele bereik op één getallenlijn aan te geven gebruiken we een logaritmische schaal. We nemen het geluid van de vallende speld als basisgeluid (de gehoordrempel): $0$ bel (bel is de eenheid waarin we geluidssterkte uitdrukken).
Een geluid van $1$ bel is $10$ keer zo sterk als het basisgeluid (dat komt dus overeen met $10$ gelijktijdig vallende spelden). Een geluid van $2$ bel is even sterk als dat van $100$ gelijktijdig vallende spelden, enzovoort.

Maak een logaritmische schaal en geef daarop aan:

ademhaling ( $1000$ spelden)
rustige huiskamer ( $10.000$ spelden)
naburig onweer ( $10$ miljoen spelden)
straalvliegtuig (pijngrens: $10^{14}$ spelden)

Om de plaats (= het aantal bel) van een geluid te bepalen moet je de $10$ -logaritme nemen van het equivalente aantal spelden.

Een normaal gesprek op één meter afstand heeft een geluidssterkte van $300.000$ spelden.
Hoeveel bel is dat? Geef een normaal gesprek aan op jouw logaritmische schaal.

Dicht bij de boxen haalt een popgroep wel een geluidssterkte van 10 bel.

Geef dat aan op jouw logaritmische schaal.
Hoeveel keer zo sterk is dat als een naburig onweer?

De klassen V5a en V5b zijn even rumoerig. Apart brengt elk een geroezemoes van $7$ bel voort. De klassen komen bij elkaar in één lokaal. Hoeveel bel meet het gezamenlijke geroezemoes?

Uit het boek De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek, is de figuur hieronder afkomstig.

In de grafiek is de lengte van de humerus (opperarmbeen) $f$ uitgezet tegen de diameter $d$ (beide in mm) van de schacht bij een groot aantal antilopen van de madok ( $3$ kg) tot de zwarte buffel ( $750$ kg).
Op beide assen is een logaritmische schaal gebruikt, de machten van $10$ hebben gelijke afstand tot elkaar.
Het getal $5$ staat even ver van $1$ als $50$ van $10$ .

Verklaar dat.

$20$ staat even ver van $10$ als $50$ van $100$ .

Verklaar dat.

Welk getal moet midden tussen $10$ en $20$ staan?

Volgens de begeleidende tekst in het boek bij het plaatje is het verband tussen $f$ en $d$ : $f = 24,09 d^{0,66}$ .

Bereken met de formule de diameter (in mm) van de schacht als de lengte van de humerus gelijk is aan $150$ mm.

Over het algemeen vertoont een groter organisme een grotere complexiteit. Het ene uiterste is een foraminifeer met maar één soort cel, in een betrekkelijk klein aantal. Het andere uiterste is een walvis met honderd verschillende celtypen.
Hiernaast staan van verschillende organismen het volume en het aantal cellen uitgezet tegen het aantal celtypen. Op de assen zijn logaritmische schalen gebruikt. De grafiek is afkomstig uit het boek De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek.
We bekijken de paddestoel.

Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met behulp van de grafiek het aantal celtypen, het volume en het aantal cellen van een paddestoel.

Hoeveel cellen gaan er in één kubieke centimeter?