1

In 2016 reden er nog weinig elektrische auto's. Maar veel mensen overwegen uit milieuoverwegingen ( C O 2 -uitstoot, fijnstof) om een elektrische auto aan te schaffen. Ook de overheid probeert dit te stimuleren.
In de tabel hieronder staan de tarieven van dat jaar voor de kosten van een elektrische auto vergeleken met de kosten van een benzine-auto. De kosten zijn omgerekend naar wat het per gereden kilometer kost. Het zijn natuurlijk gemiddeldes en er kunnen grote verschillen zijn tussen de verschillende types en merken auto's.

De goedkoopste auto op benzine op dat moment kostte € 7.695. De goedkoopste elektrische auto kostte € 26.490. We gaan deze twee auto's met elkaar vergelijken.

a

Bereken voor beide auto's wat de totale kosten in 5 jaar zijn, inclusief aanschaf, voor iemand die gemiddeld 10.000 km per jaar rijdt.

Het totaal aantal gereden kilometers noemen we k .
De kosten (in euro) voor de benzine-auto noemen we B en voor de elektrische auto E .
Voor de benzine-auto geldt: B = 0,31 k + 7695 .

b

Leg dat uit en geef een soortgelijke formule voor E .

c

Bereken met de beide formules vanaf welk aantal kilometers de kosten voor de elektrische auto goedkoper zijn dan voor de benzine-auto.
Na hoeveel jaar is dat voor iemand die 10.000  km per jaar rijdt? En voor iemand die 25.000  km per jaar rijdt?

Omdat het (dus) financieel niet aantrekkelijk was om een elektrische auto aan te schaffen, worden er plannen bedacht om door middel van subsidies het elektrisch rijden aantrekkelijker te maken, of het rijden op benzine onaantrekkelijker te maken door extra belastingen te heffen.

d

Onderzoek wat het meeste effect heeft: door subsidie de kosten per km voor de elektrische auto met 20% te verlagen, of door extra belastingen de kosten per km voor de benzine-auto met 20% te verhogen.

In de vorige opgave nemen de kosten bij de elektrische auto per gereden kilometer met 0,26  euro toe. Dus als je de grafiek van de kosten E als functie van het aantal gereden kilometers k tekent, dan gaat de grafiek 0,26 omhoog als je 1 naar rechts gaat. Dus is de grafiek een rechte lijn.
En ook als je helemaal niet met de auto rijdt, moet je toch de aanschafkosten betalen. Dus begint de grafiek in het punt ( 0,26490 ) op de verticale as.

Herhaling uit klas 3


Als de grafiek van het verband tussen twee grootheden een rechte lijn is, spreken we van een lineair verband.
De formule (vergelijking) van een lineair verband is van de vorm: y = a x + b .

  • Het getal a is de richtingscoëfficiënt;
    Het getal a wordt ook wel helling, hellingsgetal of hellingscoëfficiënt genoemd.

  • Het getal b is de hoogte waarop de y -as wordt gesneden en is de uitkomst van de formule voor x = 0 .
    Het getal b wordt vaak het startgetal of begingetal genoemd.

  • De grafiek is een stijgende lijn als a > 0 en dalend als a < 0 ;

  • Als a > 0 : de grafiek gaat telkens a omhoog als de x met 1 toeneemt;

  • Als a < 0 : de grafiek gaat telkens a omlaag als de x met 1 toeneemt;

  • De rechte lijn gaat door het punt ( 0, b ) op de y -as.


Hiernaast is bijvoorbeeld de rechte lijn y = 2 x + 5 getekend.

twee lineaire verbanden
2
a

Teken op de GR in één window de grafieken van: y = 1 1 2 x 5 en y = 2 3 x + 8 .

b

Bepaal met de GR het snijpunt van de grafieken.

Als je de grafieken getekend hebt en het snijpunt heeft "mooie" coördinaten, dan kun je het snijpunt gewoon aflezen uit de figuur. Ter controle kun je de afgelezen waarden in de formules invullen.
Voor rechte lijnen kun je het snijpunt ook met de hand uitrekenen, zonder gebruik te maken van grafieken en je GR. In de derde klas heb je geleerd hoe. We herhalen de methode nog even aan de hand van de lijnen uit opgave 16.

Voorbeeld:
1 1 2 x 5 = 2 3 x + 8
MAAL 6
9 x 30 = 4 x + 48
PLUS 30
9 x = 4 x + 78
PLUS 4 x
13 x = 78
DELEN DOOR 13
x = 6

Door deze waarde van x in y = 1 1 2 x 5 of in y = 2 3 x + 8 in te vullen, kun je de tweede coördinaat van het snijpunt vinden: y = 4 . De twee formules moeten natuurlijk dezelfde waarde voor y opleveren; daarmee kun je je antwoord controleren.

3

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de volgende tweetallen lijnen.
Controleer steeds je antwoord.

a

y = 4 x 5 en y = 2 x 1

b

y = 1 4 x + 7 en y = 1 2 x + 9

c

y = 1,3 x en y = 0,9 x 5

d

x + y = 10 en y = 5 8 x

formules opstellen
4

Anneke is op vakantie in Oostenrijk. Vanuit het dorpje Scheffau gaat er een kabelbaan naar de top van de Hohe Salve. Anneke gaat met de kabelbaan naar boven. Als ze 6  minuten in de kabelbaan zit, is ze op 750  meter hoogte. Na 14  minuten is de kabelbaan op 990  meter hoogte.
De hoogte noemen we h (in m.), de reistijd t (in min.).
We nemen aan dat de kabelbaan steeds even snel stijgt, zodat hier sprake is van een lineair verband tussen h en t .

a

Hoeveel meter stijgt Anneke per minuut? Wat is dus de richtingscoëfficiënt van de lineaire formule?

Anneke is op het grondstation ingestapt.

b

Bereken op welke hoogte zich het grondstation bevindt.

c

Geef een formule voor h , uitgedrukt in t .

Het bergstation van de kabelbaan, boven op de Hohe Salve, bevindt zich op 1800  meter hoogte.

d

Bereken hoe lang Anneke in de kabelbaan zit.

5

Stel dat je bij een bank een bedrag leent. Je gaat dat in 40  jaar aflossen. Elk jaar betaal je een zelfde bedrag aan aflossing.
De resterende schuld wordt dus elk jaar evenveel kleiner.
Over de resterende schuld moet je rente betalen.
De hoeveelheid rente wordt dus ook elk jaar kleiner. Dus wordt ook het totale te betalen bedrag elk jaar kleiner. Hier is sprake van een lineaire hypotheek.
Duitenberg leent 100.000, volgens het systeem van lineaire hypotheek. De lening heeft een looptijd van 40  jaar (daarna is het hele bedrag afgelost).

Onderstaand plaatje is afkomstig uit een folder van de bank.
Je kunt daarin goed zien hoe het totale bedrag afneemt dat op het eind van elk jaar aan de bank betaald moet worden.

a

Leg uit dat Duitenberg na het zesde jaar nog een schuld heeft van 85.000  euro.

b

Hoe groot is zijn schuld na het 27 ste jaar?

c

Hoe groot is zijn schuld na het x -ste jaar?

6

Een productie P groeit in de tijd t ; P in kg en t in weken, vanaf 1 januari. Stel dat de productie op 1 januari 11  kg is en dat je weet dat de productie met 1,5  kg per week toeneemt.

a

Stel een formule op voor P , uitgedrukt in t .

Stel dat je de productie 4  weken en 9  weken na 1 januari kent: respectievelijk 37  kg en 52  kg.

b

Stel een formule op voor P , uitgedrukt in t .

rc = toename van y toename van x
Voor toename wordt de Griekse hoofdletter Δ (delta) gebruikt, vergelijkbaar met onze hoofdletter D en komt van het Latijnse woord ‘differentia’, wat verschil betekent.
Dus: rc = Δ y Δ x

De Griekse letter Δ voor 'toename' werd voor het eerst gebruikt in 1706 door de beroemde Zwitserse wiskundige Johann Bernouilli. Daarvoor gebruikte hij de Latijnse letter D om verschillen mee aan te geven. Waarschijnlijk was hij bekend met het Griekse woord διαφορα , dat 'verschil' betekent.

7

Hieronder is een rechte lijn getekend. Op de lijn zijn twee (rooster)punten aangegeven.

a

Bereken met de twee gegeven roosterpunten exact de richtingscoëfficiënt.

Je weet nu dat een formule van de lijn is: y = 2 3 x + b .
Het getal b kun je berekenen door een handig punt ( x , y ) van de lijn in te vullen.

b

Kies een handig punt en bereken daarmee b . Laat breuken in je antwoord staan.

c

Hoe kun je jouw berekende waarde van b in de grafiek controleren?

8

Koude ingeademde lucht wordt verwarmd in de longen; de lucht die je uitademt is warmer dan de lucht die je inademt. We vergelijken de temperatuur van de ingeademde en uitgeademde lucht bij de mens, de eend, de huismus, het winterkoninkje en de buidelrat.

De grafiek voor de mens is anders dan alle andere grafieken.

a

Zeg in woorden wat het verschil is.

De stippellijn geeft aan dat de uitgeademde lucht dezelfde temperatuur heeft als de ingeademde lucht. De grafiek van de buidelrat ligt daaronder.

b

Zeg in woorden wat dat betekent.

c

Stel een formule op voor ten minste drie van de lijnen.
Gebruik de letters I en U voor de temperatuur van de in- en uitgeademde lucht.

9

Het gaat niet goed met de traditionele vrouwenbladen Libelle, Margriet en Viva. Hun oplage daalt gestaag, zoals blijkt uit de onderstaande grafiek. De data zijn afkomstig van NRC-Handelsblad, 12 augustus 2011. Noem hun oplagen in duizenden achtereenvolgens L , M en V . De tijd t rekenen we in jaren sinds 2000; dus t = 1 in 1999.

De drie grafieken zijn goed te benaderen door rechte lijnen.

a

Stel formules op voor L , M en V .

Stel dat de trend in de grafiek zich doorzet en dat Libelle tot het bittere eind doorknokt.

b

Wanneer zal de oplage van Libelle geheel zijn opgedroogd?

Libelle en Margriet hebben ongeveer evenveel lezers verloren, Viva minder.

c

Hoe blijkt dat uit de formules?

De verhouding van de oplagen van Margriet en Viva is ongeveer hetzelfde gebleven.

d

Ga dat na. Hoe zit dat met Libelle en Viva?

e

Stel een formule op voor de totale oplage van de drie bladen.

10

We bekijken de jaarafrekening voor stroom. Je kunt het bedrag dat je moet betalen splitsen in een vaste vergoeding en het verbruiksbedrag voor de hoeveelheid stroom. (Onderstaande bedragen zijn fictief.)
De vaste kosten (vastrecht transport, vastrecht aansluiting en meetdienst tezamen) voor een periode van 365  dagen bedraagt 52, . De prijs per gebruikte Kwh elektriciteit verschilt erg per aanbieder en voor de wijze waarop de stroom is gemaakt. We nemen in deze opgave aan dat de prijs per gebruikte kWh elektriciteit 3,4  eurocent bedraagt. We letten niet op de btw.
Het totale bedrag B (in euro) bij elektriciteitsverbruik v (in kWh) is in dit geval:
B = 0,034 v + 52 .
Verbruik je niets, dan moet je toch de vaste vergoeding betalen. Het vastrecht is dan 100 % van het bedrag. Verbruik je 1000  kWh dan betaal je weliswaar een even grote vaste vergoeding, maar dat is minder dan 100 % van het totale bedrag.

a

Hoe groot is dat percentage afgerond op één decimaal?

b

Wat gebeurt er met dat percentage als het verbruik toeneemt? Kun je dat met de formule uitleggen?

c

Bij welk verbruik bestaat de helft van de kosten uit de vaste vergoeding?

De verhouding tussen de twee delen van het totale bedrag is grafisch mooi voor te stellen:

Op de horizontale as is met een pijltje een zeker verbruik aangegeven.

d

Zoek uit hoe groot dat verbruik ongeveer is.

Trendlijnen
11

Klimaatverandering is een actueel onderwerp. Hierbij is o.a. van belang het niveau van de zeespiegel te blijven volgen. Door de stijging van de temperatuur op aarde is de zeespiegel voor de Nederlandse kust de afgelopen eeuw flink gestegen. Zie de figuur hieronder.

a

Lees uit de figuur af met hoevel cm de zeespiegel aan de Nederlandse kust in de twintigste eeuw is gestegen.

In de figuur zien we een groot aantal losse meetpunten getekend. Zo'n verzameling van losse punten wordt ook wel een puntenwolk genoemd. Bij elk punt hoort een meting van de zeespiegelstand. In de puntenwolk wordt met een rechte lijn de stijgende tendens aangegeven: deze lijn noemen we de (lineaire) trendlijn. Dit is de 'best passende' lijn door de puntenwolk.

b

Lees uit de figuur af in welk jaar de meting het meest afwijkt van de lineaire trend(lijn).

De getekende trendlijn geeft de richting aan waar de verandering van de zeespiegel naar toe gaat. Voor de veiligheid van Nederland, denk aan de kans op overstromingen, is het van belang om voorspellingen voor de toekomst te doen. Zodat vroeg genoeg de nodige voorbereidingen en aanpassingen gedaan kunnen worden.
Vaak wordt het jaar 2050 als richtlijn genomen.
Met behulp van een formule van de trendlijn kun je een voorspelling doen voor de hoogte van de zeespiegel in 2050.
Noem de hoogte van de zeespiegel Z (in cm, t.o.v. NAP) en de tijd in jaren t , met t = 0 het jaar 1900.

c

Stel de formule op van deze trendlijn en geef een voorspelling van de hoogte van de zeespiegel voor 2050.
Kun je ook een marge aangeven?

d

Geef ook een formule voor de trendlijn voor Z als functie van het jaartal j .

Opmerking:

Wiskundigen hebben een methode ontwikkeld om door een puntenwolk de formule van de best passende rechte lijn te berekenen: m.b.v. lineaire regressie. Wat het criterium is om de best passende lijn te vinden en hoe die dan berekend wordt, is voor ons niet van belang. Voor ons is het vaak voldoende om op het oog de best passende lijn door een puntenwolk te tekenen.

Een grafiek van losse (meet)punten kan een stijgend of dalend verloop laten zien. Bij zo'n verloop kijk je niet naar kleine schommelingen, maar naar het (globale) verloop van de grafiek over langere tijd. Wat we dan waarnemen noemen we een trend.


Een lineaire trendlijn is de best passende rechte lijn bij een puntenwolk. Een lineaire tredlijn wordt meestal gebruikt om een regelmatige stijging of daling, als die aanwezig is, weer te geven.
De formule van een lineaire trendlijn is van de vorm y = a t + b .
De variabele t geeft meestal de tijd aan.
Met deze trendlijn kan men dan voorspellingen doen voor de toekomst. Als de puntenwolk dicht op de trendlijn ligt, dan is de nauwkeurigheid van de voorspelling beter dan wanneer de puntenwolk erg 'breed' is. Zie de eerste twee figuren hieronder.

Soms is het ook duidelijk dat er niet sprake is van een lineaire trend, maar heeft de puntenwolk duidelijk een andere vorm en is een lineaire trendlijn niet geschikt om te gebruiken om uitspraken over de toekomst te doen. Zie hierboven de meest rechter figuur: duidelijk is dat daar geen lineaire trendlijn gebruikt kan worden.

12

In de figuur hieronder zie je een puntenwolk van gegevens van de zeespiegel van de Nederlandse kust (in cm t.o.v. NAP) vanaf het jaar 1972, om de 3 jaar gemeten.

a

Teken in de figuur op het werkblad zo goed mogelijk de lineaire trendlijn door deze puntenwolk.

b

Stel een vergelijking op van jouw trendlijn. Neem de tijd t in jaren vanaf 1970.

c

Vergelijk jouw trendlijn met die van een klasgenoot en bespreek met elkaar de mogelijke verschillen. Controleer de formules van elkaar.

d

Geef met jouw trendlijn opnieuw een voorspelling voor het jaar 2050 en vergelijk je voorspelling met de voorspelling die je eerder gedaan hebt.

13

Verandering van de temperatuur in Nederland
In de figuur hieronder zie je de stijging van de gemiddelde jaartemperatuur in de loop van de tijd. De punten geven metingen weer. Op basis van metingen heeft men in de figuur een trendlijn getekend. Hier zien we dus een trendlijn die niet lineair is.

a

Waarom geeft de kromme rode lijn de trend beter aan dan wanneer er een lineaire trendlijn was gebruikt?

Je kunt het tweede deel van de trendkromme wel zien als een rechte lijn die begint bij het jaar 1980. Je kunt bij dit deel een lineaire formule maken in de vorm T = a ( j 1980 ) + b , met j het jaartal.

b

Geef met behulp van de trendkromme de waarden van a en b en bereken met de formule een voorspelling van de gemiddelde jaartemperatuur in De Bilt in het jaar 2050.

In de laatste 40 jaar is de gemiddelde temperatuurstijging per jaar vele malen groter dan de gemiddelde temperatuurstijging in de eerste helft van de vorige eeuw.

c

Hoeveel keer zo groot?

Een trendbreuk is een fundamentele wijziging van een bestaande trend.

Trendbreuk en hockeystick
Wetenschappers hebben gekeken naar het verloop van de temperatuur op het noordelijk halfrond tijdens het laatste millennium (1000 - 2000). Omdat gestandaardiseerde metingen met een thermometer pas omstreeks 1850 begonnen, werden de temperatuur in voorgaande jaren en eeuwen geschat aan de hand van indirecte gegevens. Bijvoorbeeld aan de hand van boomringen, koralen, ijskernen en andere historische bronnen met een grote geografische spreiding.
Bij de grafiek die daarbij werd gemaakt door de onderzoekers (Mann et al., 1999), werd vanwege de vorm gesproken van de (ijs)hockeystick. Deze reconstructie van de gemiddelde temperatuur op het noordelijk halfrond wordt op dit moment als het meest representatief beschouwd.

Hoe verder terug in de geschiedenis, hoe groter de onzekerheid over de juistheid van de schattingen. Daarom zijn er collega wetenschappers die kritiek hebben op de interpretatie van de meetresultaten van dit onderzoek. In de figuur zie je daarom dezelfde metingen, maar met een ijshockeystick waarvan de steel drie verschillende standen heeft.

14

Elektriciteitsverbruik
Uit de cijfers van het CBS blijkt duidelijk dat de Nederlandse bevolking de laatste jaren steeds zuiniger wordt met elektriciteit. Hieronder is het totale Nederlandse elektriciteitsverbruik in de maand januari weergegeven en in de tweede grafiek het elektriciteitsverbruik per Nederlander in dezelfde maand.

a

Bereken de gemiddelde toename per jaar van het totale Nederlandse elektriciteitsverbruik in januari in de periode 1976-2015.

In 1976 was het verbruik per Nederlander 370 kWh. De stijgende trend sindsdien bereikte de grootste waarde van 708 kWh per Nederlander in 2008, waarna er een trendbreuk optrad. In januari 2015 was het verbruik per Nederlander weer gedaald tot 650 kWh.

b

Bereken met hoeveel procent het aantal inwoners in Nederland in de periode 1976-2015 is toegenomen.

Men hoopte in die tijd dat de ingezette trend vanaf 2008 zich zo ook de jaren ernaa in dezelfde mate zal voortzetten.

c

Bereken in welk jaar het verbruik in januari per Nederlander dan weer gedaald is tot het niveau van 1976.

Lineaire verbanden van de vorm ax + by = c
15

In de stal van Jan Pol worden de pony’s precies zo gevoerd als het hoort. ‘s Winters wordt er hoofdzakelijk hooi en biks aan de dieren gegeven. De belangrijkste bestanddelen van dit voer zijn:

  • koolhydraten (zetmeel en suiker), ruwvezel en vetten. Zij zorgen voor de energievoorziening.

  • eiwitten. Die zijn van groot belang voor de vorming van spieren, hoeven, bloed, enzovoort.

Jasper is een pony, die bij Jan op stal staat. Volgens het boekje heeft die pony, als hij niet te intensief gebruikt wordt, per dag 2100  gram zetmeel en 360  gram eiwit nodig.
In 1  kg hooi zit 300  gram zetmeel en 60  gram eiwit.
In 1  kg biks zit 600  gram zetmeel en 80  gram eiwit.

Noem de hoeveelheid hooi x en de hoeveelheid biks y (beide in kg).

a

Hoeveel gram zetmeel krijgt Jasper als hij per dag x  kg hooi en y  kg biks eet?
En hoeveel gram eiwit krijgt hij dan?

Jasper wordt zó gevoerd dat hij per dag precies 2100 gram zetmeel en 360 gram eiwit krijgt.
Hiermee kun je twee vergelijkingen met x en y opstellen.

b

Stel deze twee vergelijkingen op en laat zien dat je ze kunt vereenvoudigen tot:
x + 2 y = 7 en 3 x + 4 y = 18 .

c

Teken in een rooster de grafiek van beide verbanden. Neem daarvoor de tabel en het assenstelsel over.

Om het juiste voederschema te bepalen, moeten we het snijpunt van de twee lijnen uitrekenen. Je kunt daarvoor beide formules omschrijven in de vorm y = ... en ze dan aan elkaar gelijkstellen.

d

Bereken op deze wijze het snijpunt. Gebruik breuken en rond niet tussendoor af.
Hoeveel hooi en biks moet Jasper dus krijgen?

Er is ook een handigere manier om het snijpunt uit te rekenen, namelijk zonder gebruik van breuken tussendoor.
De formule x + 2 y = 7 kun je herschrijven tot x = 7 2 y ;
En dan kan je deze in de tweede formule op de plaats van de x invullen:
3 ( 7 2 y ) + 4 y = 18 .

e

Ga dat na en bereken op deze wijze y en daarna x .

16

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijking:

a

y = 3 x 2 en 2 y + x = 10

b

2 x + 4 y = 11 en ‐4 + 5 y = 4 x

c

‐5 x + 2 y = 20 en 1 2 = x 1 2 y

d

2 x + 3 y = 2 en 6 x y = 1

e

2 x 5 y = 7 en ‐2 x + 13 y = 1

f

3 x 2 y = 16 en 2 x + y = 6

17

Er zijn in een reservaat twee soorten draken: rode en groene.
Iedere rode draak heeft drie koppen en twee staarten. Iedere groene draak heeft vier koppen en drie staarten.
Alle draken samen hebben 111  koppen en 79  staarten.
Noem het aantal rode draken r en het aantal groene draken g .

Stel twee vergelijkingen op en bereken het aantal rode en groene draken in het reservaat.

(hint)
Stel een voor het aantal koppen en een voor het aantal staarten.

18

Vijf flessen cola en acht flessen sinas kosten samen 16,50  euro. Vier flessen cola en twee flessen sinas kosten samen 7,70  euro.
Noem de prijs van een fles cola x en de prijs van een fles sinas  y , beide in euro.

Stel een stelsel vergelijkingen op met x en y en bereken hoeveel tien flessen cola en zeven flessen sinas samen kosten.

(hint)

Schrijf beide vergelijkingen als 20 x = ... .

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met de formules, tabellen en grafieken van rechte lijnen met de applet kwartetten_rechte_lijnen .