1

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijking:

a

$y = 3 x - 12$ en $2 x - 3 y = 8$

b

$2 x + 3 y = 18$ en $‐ x + 5 y = 4$

c

$3 x - 5 y = 15$ en $x - y = 6$

2

Een boer verbouwt suikerbieten. De suikerbieten zelf verkoopt hij aan de suikerfabriek, het loof gebruikt hij als veevoer.
Het suikergehalte en de hoeveelheid loof van de suikerbieten hangen sterk af van de bemesting met nitraat. Dat is in onderstaand plaatje weergegeven.

a

Omschrijf in woorden de samenhang tussen bemesting en suikergehalte. Beschrijf ook de samenhang tussen bemesting en loofopbrengst.

$S$ = percentage suiker van de biet
$L$ = loofopbrengst (in tonnen per ha)
$N$ = bemesting met nitraat (in kg per ha)

b

Stel een formule op voor beide verbanden.

c

Heeft het snijpunt van de grafieken betekenis?

Wat de suiker betreft, is de suikerbietenteelt alleen rendabel als het suikergehalte ten minste $15,9 %$ is. Wat het loof betreft, is de bietenteelt alleen rendabel als de opbrengst ten minste $37$ ton per ha is.

d

Bereken de minimale hoeveelheid nitraat die de boer per ha mag gebruiken, opdat de loofopbrengst rendabel is.
Bereken de maximale hoeveelheid nitraat die de boer mag gebruiken, opdat de suikeropbrengst rendabel is.

e

Hoeveel kg nitraat per ha mag de boer gebruiken opdat zowel de suiker- als de loofproductie rendabel zijn?

3

Lees het stukje hieronder.

De beschermingsfactor die op anti-zonnebrandmiddelen staat is geen onzin. In de Verenigde Staten waakt de dienst voor voedings- en geneesmiddelen, de FDA, over de juiste toepassing ervan. De beschermingsfactor is eenvoudig een vermenigvuldiger die aangeeft hoeveel keer zo lang je in de zon kunt blijven met het middel als zonder. Als je pas begint te zonnebaden en hooguit tien minuten in de zon kunt, mag je met een zonnebrandmiddel met factor $6$ een uur in de zon blijven; het stukje huid dat je vergeten bent in te smeren is tegen die tijd wel goed verbrand.
De bescherming werkt doordat het ultraviolette licht uit de zonnestralen wordt weggefilterd. Dit ultraviolet zorgt voor bruining, maar ook voor verbranding en voor een vergrote kans op huidkanker.
De FDA erkent beschermingsfactoren tot $15$ , maar er zijn lotions op de markt die tot $30$ of nog hoger gaan. Daarmee kun je, als ze werken, vijf uur in plaats van tien minuten in de zon blijven.
Uit: “De schaal van Richter en andere getallen”, Hans van Maanen

De beschermingsfactor noemen we $F$ , het aantal uren zonnebaden $Z$ . We nemen een Nederlander met een normaal-gevoelige huid, die hooguit tien minuten zonder zonnebrandmiddel in de zon kan blijven.

a

Welke factor heeft hij nodig om $2$ uur in de zon door te kunnen brengen?

b

Waarom bestaat er geen zonnebrandmiddel met factor $1$ ?

Langs de horizontale as is $F$ uitgezet, langs de verticale as is $Z$ (in uren) uitgezet. Neem een punt in zone 1. Als je de daarbij behorende beschermingsfactor gebruikt en de bijbehorende tijdsduur wilt zonnebaden, dan kan dat veilig zonder te verbranden. Bij waarden voor $F$ en $Z$ uit zone 2 verbrandt je huid licht. In zone 3 verbrandt je huid ernstig (behandeling is noodzakelijk).

c

Geef van beide grenslijnen een formule (gebruik de variabelen $F$ en $Z$ ).
Gaan de lijnen door de oorsprong als je ze door zou trekken?

Vul ongelijkheden (met de variabelen $F$ en $Z$ ) in:

d

als ......, dan zal de huid niet verbranden,
als ......, dan zal de huid licht verbranden,
als ......, dan zal de huid ernstig verbranden.

Voor iemand met een heel gevoelige huid zal de grenslijn tussen zone 1 en zone 2 anders liggen.

e

Hoe ligt deze grenslijn ten opzichte van de grenslijn bij een normaal-gevoelige huid?

4

Voor suikerziektepatiënten is de zogenaamde HbA_1c-waarde van belang. Die geeft de hoeveelheid versuikerd hemoglobine in het bloed aan. De HbA_1c-waarde is een maat voor de gemiddelde bloedglucosewaarde in de afgelopen $2$ tot $3$ maanden. Deze waarde wordt meestal door een laboratorium bepaald.
Tot 6 april 2010 werd die gemeten in procenten, daarna in mmol/mol.
Op de schaal staat links de oude waarde $P$ (in procenten), en rechts de nieuwe waarde $H$ (HbA_1c waarde). De waarden in deze tabel zijn afgeronde waarden.
Voorbeeld: als $P = 6$ , dan $H = 42$ .
$H$ varieert tussen $0$ en $200$ ; goede waarden zijn als $H$ tussen $42$ en $75$ ligt, met streefwaarde $53$ .

a

Is er (bij benadering) een evenredig verband tussen $P$ en $H$ ?

b

Is er (bij benadering) een lineair verband tussen $P$ en $H$ ?

c

Geef een formule voor $H$ uitgedrukt in $P$ .

Een diabetespatiënt kan zijn eigen glycemie meten, dat is hoeveelheid glucose in het bloed (in millimol per liter).
Er is een verband tussen de glycemie $G$ en de oude waarde $P$ :
$G = 315,7 P - 735,5$

d

Geef een formule voor $G$ uitgedrukt in de nieuwe waarde $H$ .

5

Gewone spijkers variëren in lengte van $2,5$ tot $15$ cm, en ze zijn zeer verschillend in gewicht: van de kleinste gaan er $1867$ in een kilogram en van de grootste maar $24$ . Van een aantal standaardklassen is de lengte $L$ en de diameter $D$ (beide in cm) opgemeten en in de tabel hieronder zie je het verband tussen $D^{3}$ en $L^{2}$ .

Geef aan de hand van de tabel een formule voor het verband tussen $L$ als functie van $D$ . Schrijf de formule als machtsfunctie.

6

Als oudere mensen een flink stuk van hun huid verbranden, is dat gauw dodelijk. Als jonge kinderen dat doen is er veel meer kans dat ze het overleven.

Hierboven staat een grafiek; $P$ is het percentage van de huid dat verbrand is, $L$ is de leeftijd van het slachtoffer in jaren.
De drie lijnen horen bij de sterftekansen $0 %$ , $50 %$ en $100 %$ .

a

Hoeveel procent van de huid mag bij een $40$ -jarige verbrand zijn om nog geen enkel gevaar te lopen om aan de brandwonden te overlijden?

b

Hoe groot is de kans ongeveer om te overlijden voor een $60$ -jarige, wiens huid $30 %$ verbrand is?

c

Stel een formule op voor $P$ en $L$ voor de drie lijnen (de $0 %$ -, $50 %$ - en de $100 %$ -lijn).

We onderscheiden drie zones:

de fatale zone: iedereen overlijdt,
de veilige zone: niemand overlijdt,
de risico zone: daartussen in.

d

Beschrijf de drie zones met ongelijkheden.

We noemen de risicofactor $R$ .
Dan kun je bij de grafiek een formule maken voor het verband tussen $P$ , $R$ en $L$ :
$P = b + a \cdot R - 0,5 L$ , waarbij $a$ en $b$ constanten zijn.

e

Bepaal de waarden van $a$ en $b$ en geef de formule.

f

Geef ook een formule voor $R$ als functie van $P$ en $L$ .

7

Van alcohol word je dronken. Hoe dronken je wordt, hangt niet alleen af van het aantal glazen alcoholische drank, maar ook van je lichaamsgewicht. Het aantal glazen alcoholische drank noemen we $A$ , het lichaamsgewicht $G$ (in kg) en het alcoholpromillage in je bloed $P$ . We nemen aan dat alle glazen evenveel alcohol bevatten.
Met de volgende vuistregel kun je $P$ berekenen als je $A$ en $G$ kent: $P = 18 \cdot \frac{A}{G}$ .
Deze formule geldt een half uur nadat je snel achter elkaar de glazen hebt gedronken.
Als je met een alcoholpromillage boven $0,5$ aan het verkeer deelneemt, ben je strafbaar.

a

Bereken hoeveel glazen iemand van $72$ kg maximaal kan drinken, wil hij nog aan het verkeer deel mogen nemen.

In de grafiek hieronder staan voor drie waarden van $A$ de iso-lijnen getekend.

b

Bepaal de ontbrekende (gehele) waarde van $A$ . Geef ook een formule van $P$ als functie van $G$ bij deze grafiek.

Neem voor $G$ het getal $72$ .

c

Zijn $A$ en $P$ evenredige of omgekeerd evenredige grootheden? Geef een bijbehorende formule.

Neem voor $A$ het getal $3$ .

d

Zijn $P$ en $G$ evenredige of omgekeerd evenredige grootheden? Geef een bijbehorende formule.

Neem voor $P$ het getal $0,5$ .

e

Zijn $A$ en $G$ evenredige of omgekeerd evenredige grootheden? Geef een bijbehorende formule.

8

In kleinere kamers staan meestal kleinere cv-radiatoren dan in grotere kamers. Dit heeft te maken met de zogenaamde capaciteit van de verwarming; dit is een maat voor de hoeveelheid warmte die een radiator af kan geven.
Hieronder zie je een grafiek waaruit je de benodigde capaciteit kunt aflezen als je de inhoud van de kamer kent.

Een kamer van $8$ m lang, $4$ m breed en $2,60$ m hoog moet een temperatuur van $18 ° C$ hebben.

a

Welke capaciteit is nodig?

Dat de grafieken stijgend zijn is niet verwonderlijk. Ook niet dat de grafieken bij hogere temperaturen hoger liggen.

b

Maar waarom lopen de grafieken niet evenwijdig?

Een radiator heeft een capaciteit van $8000$ kcal/uur.

c

Op welke temperatuur kan deze radiator een kamer van $110$ m³ ongeveer houden?

Een radiator heeft zo'n capaciteit dat een kamer van $50$ m³ op $18 ° C$ gehouden kan worden.

d

Hoeveel m³ mag de kamer zijn die door dezelfde radiator op $15 ° C$ kan worden gehouden?

e

We noemen de capaciteit $C$ (in kcal/uur), de inhoud van de kamer $I$ (in m³) en de temperatuur $T$ (in $° C$ ).

Bereken voor iedere lijn $\frac{Δ C}{Δ I}$ .

Een kamer van $120$ m³ heeft een capaciteit van $6800$ kcal/uur nodig om hem op $18 ° C$ te houden.

f

Bereken met je antwoord op vraag e hoeveel capaciteit een kamer van $144$ m³ nodig heeft om hem op $18 ° C$ te houden.

g

Stel voor elke lijn in de figuur een formule op.

Neem een vertrek met een inhoud van $100$ m³. Bij elke temperatuur $T$ hoort een capaciteit $C$ .

h

Hoe kun je uit de grafieken concluderen dat het verband tussen $T$ en $C$ niet lineair is?

9

Een bedrijf heeft twee vestigingen: een oude en een nieuwe. De activiteiten worden geleidelijk van de oude vestiging naar de nieuwe verlegd. Op dit moment werken er in de oude vestiging $540$ mensen. Naar verwachting zal dit aantal elke maand $25$ minder worden. In de nieuwe vestiging werken op dit moment $40$ mensen, terwijl de directie verwacht dat dit aantal elke maand met $40$ zal toenemen. Het is dus niet voldoende werknemers van de oude naar de nieuwe vestiging over te plaatsen; er moet zelfs nieuw personeel worden aangenomen. We gaan er vanuit dat alle prognoses uitkomen.

Noem het aantal mensen dat in de oude vestiging werkt $O$ , het aantal mensen dat in de nieuwe vestiging werkt $N$ en het aantal maanden $t$ .

a

Stel bij beide vestigingen een formule op voor het aantal werknemers in de komende maanden.

b

Bereken met de formules over hoeveel maanden er op beide vestigingen evenveel mensen werken.

c

Bereken na hoeveel maanden de personeelsbezetting op de oude vestiging nog maar de helft is van die op de nieuwe vestiging.

Het bedrijf hanteert een formule voor het percentage $P$ van de werknemers dat op elk moment werkt op de nieuwe vestiging: $P = \frac{800 + 800 t}{116 + 3 t}$

d

Laat zien dat deze formule juist is.

e

Bereken met de formule na hoeveel maanden voor het eerst minder dan $5 %$ van het totale aantal werknemers werkzaam is op de oude vestiging.

10

Uit onderzoek is gebleken dat er een verband bestaat tussen de lengte van diersoorten en het aantal diersoorten met die lengte. Met de lengte van een diersoort wordt bedoeld de gemiddelde lengte van volwassen dieren van die soort. Het blijkt dat er weinig lange diersoorten zijn en veel korte diersoorten. Uit gegevens die de onderzoeker Dobson verzamelde, blijkt dat bij benadering het aantal diersoorten van een bepaalde lengte omgekeerd evenredig is met het kwadraat van die lengte, ofwel

S ~ \frac{1}{L^{2}}

.
Hierin is

L

de lengte in meter en

S

het aantal diersoorten van die lengte. Het verband geldt voor

0,01 \leq L \leq 10

.

Het aantal diersoorten van $10$ cm lang is veel groter dan het aantal diersoorten van $50$ cm lang.

a

Bereken hoeveel maal zo groot.

Als de lengte van de dieren toeneemt van $25$ naar $40$ cm, dan neemt het aantal dieren af met $6825$ .

b

Bereken de evenredigheidsconstante.

Voor diersoorten met een lengte tussen $10$ en $50$ cm blijkt er ook een verband te bestaan tussen het gemiddelde gewicht van de volwassen dieren van een diersoort en het aantal diersoorten met dit gemiddelde gewicht: $D^{3} ~ \frac{1}{G^{2}}$ .
Hierin is $G$ het gemiddelde gewicht in kilogram en $D$ is het aantal diersoorten met dit gemiddelde gewicht.

Volwassen huiscavia's zijn gemiddeld $28$ cm lang en hebben een gemiddeld gewicht van $1,1$ kg.
Er zijn ongeveer $8000$ diersoorten met hetzelfde gewicht als een cavia.

c

Geef een formule voor $D$ uitgedrukt in $G$ . Schrijf de formule in de vorm $D = a \cdot G^{b}$ .

11

De gegevens in onderstaande tabel zijn afkomstig van het CBS. De bevolking is het gemiddelde aantal mensen in het betreffende jaar in Nederland.

a

Hoe hangt de laatste kolom samen met de kolommen Geboorte, Sterfte, Immigratie en Emigratie?

b

Maak een toenamediagram van de groei van Nederlandse bevolking per jaar.

De Nederlandse bevolking bedroeg op 1 januari 2007 $16.359$ duizend mensen.

c

Hoe groot was de Nederlandse bevolking op 1 januari 2008, denk je?
Waarom kun je dat niet zeker weten?

Hieronder staat de grafiek van de ontwikkeling van de Nederlandse bevolking vanaf 1850. De figuur staat ook op het werkblad.

d

Verklaar de kleine dip net vóór 1950.

e

Tot wanneer ongeveer was er sprake van toenemende stijging van de Nederlandse bevolking.
Hoe ontwikkelde de bevolking zich daarna?

In de periode 1950-1975 groeide de Nederlandse bevolking vrij constant.

f

Met hoeveel mensen groeide Nederland in die periode gemiddeld per jaar?

g

In welk jaar groeide de Nederlandse bevolking net zoveel als in het jaar 1900? Licht je werkwijze toe.

12

Er bestaat een mogelijkheid om als sportclub een subsidie te krijgen als deze zijn accommodatie uit wil breiden. Hieronder zie je de regeling vermeld.

a

Laat met een berekening zien dat bij $€ 7500, -$ kosten het subsidiepercentage $11,25 %$ is.

b

Bereken de subsidie als de kosten $€ 9000$ zijn.

Voor alle mogelijke kosten berekent men de subsidie. Van de grafiek van de subsidie is een toenamediagram gemaakt. Het toenamediagram staat hieronder. De kosten in duizenden euro’s noemen we $K$ , het subsidiebedrag (in euro) $S$ .

c

Bereken de hoogte van het staafje in het toenamediagram bij $K = 9$ .

d

Geef met behulp van het toenamediagram een schatting van de kosten waarbij de subsidie maximaal is.

Voor kosten boven de $6000$ euro kun je een formule maken voor de subsidie S (in euro) als functie van $K$ :
$S = 150 K - 5 K^{2}$

e

Laat dit zien.

(hint)

Geef eerst een formule voor het subsidiepercentage $p$ .

f

Bereken met de formule voor welke kosten de subsidie maximaal is en bereken het maximale subsidiebedrag.

g

Bereken met de formule de gemiddelde toename van $S$ op het interval $[a - 1, a]$ .

h

Wat heeft de uitkomst van vraag g te maken met het toenamediagram?

13

Een mossel bestaat voor een deel uit schelp en voor een deel uit vlees. Er bestaat een verband tussen de schelplengte $L$ (in mm) en het gewicht van het vlees $W$ (in grammen) van mosselen.
Bij een onderzoek naar dit verband bij de gewone mossel in de Waddenzee worden van een groot aantal van deze mosselen de schelplengte en het gewicht van het vlees gemeten. In de tabel zijn bij verschillende lengten de gemiddelde vleesgewichten vermeld.

We nemen aan dat $W$ evenredig is met een macht van $L$ . Bij de tabel hoort dus een formule van de vorm $W = a \cdot L^{b}$ .

Bereken $a$ en $b$ .

14

De omtrek van een rechthoek is $28$ m.
De oppervlakte van die rechthoek is $24$ m².

Stel een stelsel vergelijkingen op met de breedte $b$ en de hoogte $h$ , allebei in meter, en bereken met behulp van ontbinden hoe lang de zijdes van de rechthoek zijn.

15

De hoeveelheid ijs op de Noordpool lijkt steeds minder te worden. Het is natuurlijk niet zo dat de hoeveelheid voortdurend afneemt, want hij schommelt met de seizoenen. Daarom moet er elk jaar op hetzelfde tijdstip gemeten worden, bijvoorbeeld in september, aan het eind van de zomer. En dan zijn er nog grote verschillen tussen het ene en het andere jaar.

Op de verticale as staat de ijsoppervlakte op de Noordpool in miljoenen km², in september.

a

Lees uit het plaatje af hoeveel procent meer ijs er in het topjaar was dan in het dieptepunt.

Om aan te geven dat de hoeveelheid ijs op de Noordpool steeds minder wordt is een zogenaamde trendlijn getekend. Daaromheen schommelen de werkelijk gemeten waarden.

b

Stel een formule op voor de trendlijn, waarbij $y$ de ijsoppervlakte in miljoenen km² is en $j$ de tijd gemeten in jaren vanaf september 2000. Voorbeeld: $j = ‐ 5$ in september 1995.

Veronderstel dat de trend zich voortzet.

c

In welk jaar is de Noordpool dan geheel ijsvrij?

16

In een bedrijf is een aantal jaren achter elkaar steeds op 31 december uitgerekend hoeveel personeelsleden er in het afgelopen jaar in totaal zijn bijgekomen of afgegaan. De resultaten staan in het toenamediagram hieronder.
In het diagram kun je bijvoorbeeld aflezen dat er tussen 31 december 2008 en 31 december 2009 in totaal $25$ personeelsleden zijn bijgekomen.
Op 31 december 2013 had het bedrijf $430$ personeelsleden.

a

Bereken het aantal personeelsleden bij het bedrijf op 31 december 2018 en op 31 december 2008.

b

In welk jaar was het aantal personeelsleden aan het eind van het jaar het grootst? Wat was toen het aantal?

Tussen 31 december 2013 en 31 december 2015 heeft het bedrijf 53 nieuwe mensen aangenomen.

c

Hoeveel mensen hebben in deze periode het bedrijf verlaten?

d

In welke periode(n) was er bij dit bedrijf sprake van afnemende groei?

17

Hieronder zie je twee tabellen A en B.

Omdat er te weinig gegevens zijn, is niet te zeggen welk soort verband er tussen $x$ en $y$ is: er zijn (oneindig) veel mogelijkheden.

Maak, indien mogelijk, bij beide tabellen een formule voor $y$ uitgedrukt in $x$ , indien er sprake is van:

een (recht) evenredig verband;
een omgekeerd evenredig verband;
een lineair verband;
een exponentieel verband.

18

Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal verpakkingen. Het verband tussen de totale kosten $T K$ (in duizenden euro's) en het aantal geproduceerde verpakkingen $q$ (in duizendtallen) zie je in de figuur hieronder. Deze figuur staat ook op het werkblad.
In de grafiek lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van $9000$ verpakkingen de totale kosten (ongeveer) $30.000$ euro zijn.

Hieronder zie je vier diagrammen, A, B, C en D, waarin de toename $Δ T K$ van $T K$ is weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek hierboven.

a

Welke toenamediagram past bij de grafiek? Licht je antwoord toe.

De marginale kosten $M K$ geven de veranderingen van de totale kosten weer: het geeft aan hoeveel de kosten veranderen als het bedrijf één product meer gaat maken.
Er is een productiehoeveelheid $q$ waarbij de marginale kosten zo klein mogelijk zijn.

b

Bepaal met de figuur op het werkblad een schatting van het aantal verpakkingen waarbij de marginale kosten het laagst zijn. Hoe groot zijn dan de marginale kosten?

Bij de grafiek hoort de volgende formule:
$T K = 0,12 q^{3} - 1,77 q^{2} + 9,2 q + 3,25$ .
Je kunt met de formule bij elke productie precies berekenen wat de marginale kosten zijn.

c

Bereken met de formule de marginale kosten bij een productie van $2000$ verpakkingen. Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Voor het bedrijf zijn ook de gemiddelde kosten ( $G K$ ) van belang: dat is hoeveel elke verpakking gemiddeld kost bij een bepaalde productie.
Bijvoorbeeld bij een productie van $9000$ verpakkingen zijn de totale kosten $30.000$ euro, dus de gemiddelde kosten per verpakking is dan gelijk aan $\frac{30.000}{9000} \approx 3,3$ euro.
In de grafiek is deze uitkomst gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn door $(0,0)$ en $(9,30)$ .

d

Bepaal met de grafiek op de uitwerkbijlage bij welke productie $q$ de gemiddelde kosten per product het laagst zijn.
Hoe groot zijn dan de gemiddelde kosten per product?

19

Een aardewerkfabriek wilde profiteren van de laatste troonwisseling. Ze gaan daarom mokken en borden maken met plaatjes van Beatrix en Willem-Alexander erop.
Voor een mok is $200$ gram porceleinklei nodig en $16$ cm² decoratiemateriaal. Voor een bord is $250$ gram porceleinklei nodig en $10$ cm² decoratiemateriaal.
Er is een voorraad van $20$ kg porceleinklei en $1200$ cm² decoratiemateriaal.
Noem het aantal mokken $x$ en het aantal borden $y$ .

Er geldt natuurlijk $x \geq 0$ en $y \geq 0$ .

a

Welke twee andere ongelijkheden gelden?

b

Teken het toegestane gebied. Laat de assen lopen van $0$ tot en met $120$ .

c

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van het toegestane gebied.

Op een mok maakt de fabriek $1,50$ euro winst, op een bord $1,75$ euro.

d

Hoeveel mokken en hoeveel borden moeten ze maken om zoveel mogelijk winst te maken?
Hoeveel winst hebben ze dan?

20

Tijdens een warme zomer is het voor de supermarkt niet eenvoudig om voldoende bier in voorraad te hebben.
De brouwerij kan niet altijd de gewenste bestellingen op tijd leveren.
De supermarkt is blij dat de brouwerij vandaag $520$ liter bier levert, in kratten halve liters en kratten pijpjes. Het aantal kratten pijpjes is tweemaal zoveel als het aantal kratten halve liters.
In een pijpje zit $\frac{1}{3}$ liter bier; er zitten $24$ pijpjes in een krat.
Er zitten $20$ halve liters in een krat.

a

Hoeveel liter bier zit er in een krat pijpjes? En in een krat halve liters?

De supermarkt krijgt $x$ kratten pijpjes en $y$ kratten halve liters. Dat het totaal aantal kratten $520$ liter bevat geeft een verband tussen $x$ en $y$ .

b

Geef een formule van dit verband.

c

Teken de grafiek. Zet $x$ horizontaal $(0 \leq x \leq 70)$ en $y$ verticaal $(0 \leq y \leq 60)$ .

In de supermarkt worden twee keer zoveel kratten met pijpjes als met halve liters verkocht, daarom bestelt de supermarkt ook in deze verhouding bij de brouwerij.
Deze verhouding geeft een verband tussen $x$ en $y$ .

d

Geef een formule voor dit verband.

e

Teken de grafiek van dit verband in het rooster van vraag c erbij.

f

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

g

Hoeveel kratten bier worden er van elk soort geleverd als de brouwerij $520$ liter levert in de verhouding die de supermarkt wenst?

21

De Antactische pelsrob
Op eilandjes in de buurt van Antarctica leven weer grote populaties van de Antarctische pelsrob. Dat is bijzonder want ze waren bijna uitgeroeid. In het begin van de 19e eeuw is er namelijk zeer veel op deze robben gejaagd vanwege hun pels. Heel lang werd er geen enkel exemplaar gesignaleerd, maar ruim $50$ jaar geleden werd er een kleine populatie ontdekt. De natuurlijke groei van deze populatie is gevolgd.
Sinds 1966 is met tussenpozen het aantal pups (jonge pelsrobben) geteld. In de figuur zijn deze aantallen met bolletjes weergegeven.

De bolletjes liggen bij benadering op de grafiek waarbij de volgende formule hoort:
$N = \frac{9300}{1 + {0,769}^{t - 25}}$
Hierin is $N$ het aantal pups en $t$ de tijd in jaren, met $t = 0$ op 1 januari 1966.

Op 1 januari 2002 werden er $8577$ pups geteld.

a

Bereken hoeveel procent het aantal volgens de formule afwijkt van het getelde aantal.

b

Bereken met de formule in welk jaar het aantal pups voor het eerst groter is dan $9250$ .

Op 1 januari 1966 werden en $12$ pups geteld. Op 1 januari 1992, $25$ jaar later, werden er $4650$ pups geteld. Tussen die jaren was er bij benadering sprake van exponentiële groei van het aantal pups.

c

Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal pups in deze periode is gegroeid.

Op $t = 25$ is de grafiek het steilst. De richtingscoëfficiënt is daar dus het grootst.

d

Leg uit wat de richtingscoëfficiënt zegt over het aantal pups.

e

Bereken met een differentiequotiënt de richtingscoëfficiënt van de grafiek op $t = 25$ .