-

Als de oppervlakte even groot blijft, moet steeds de breedte maal de hoogte gelijk zijn.

$500$ naar rechts en $5$ maal zo breed.

$5\cdot S$ heeft als gemiddelde $5000$ en standaardafwijking $50$, $5\cdot S-3500$ heeft als gemiddelde $1500$ en de standaardafwijking blijft $50$
Ingevuld moet worden $5$ en $3500$.

$S=\frac{1}{5}L+700$

-

-

-

Noem die lengte $x$, dan $\frac{x-180}{7}=\mathrm{‐}\mathrm{2,86}$, dus de lengte is $180-\mathrm{2,86}\cdot 7\approx 160$ cm.

$180+1\cdot 7=187$ cm

$180$ cm

$\frac{1035-1000}{25}=\mathrm{1,4}$

$Y>\frac{a-1000}{25}$

De kans op $\mathrm{‐}1<Z<1$ is ongeveer $68$%; de kans op $\mathrm{‐}2<Z<2$ is ongeveer $95$%

$\text{P}\left(\mathrm{‐}1<X<1|\text{μ}=0;\text{σ}=1\right)$ $=\mathrm{0,682}\dots$ $\approx 68$%;
$\text{P}\left(\mathrm{‐}2<X<2|\text{μ}=0;\text{σ}=1\right)$ $=\mathrm{0,954}\dots$$\approx 95$%.

$\text{P}\left(\mathrm{‐}3<X<3|\text{μ}=0;\text{σ}=1\right)$ $=\mathrm{0,9973}\dots$ $\approx \mathrm{99,7}$%
(Vaak wordt $\mathrm{99,8}$% gebruikt, $\mathrm{0,1}$% links en $\mathrm{0,1}$% rechts van dit gebied.)

Bepaal met de GR het getal $a$ (de linkergrens) zó, dat $\text{P}\left(X<a|\text{μ}=0;\text{σ}=1\right)$ $=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{0,40}\right)=\mathrm{0,30}$. Je vindt: $z=\mathrm{‐}\mathrm{0,52}$; de rechter grens is dan $z=\mathrm{0,52}$.

Nee, je kunt het gekleurde gebied naar links en naar rechts schuiven, de grenzen liggen dus niet vast.

Bepaal met de GR het getal $a$ zó, dat $\text{P}\left(X<a|1;0\right)$ $a=\frac{1}{3}$; je vindt: $a=\mathrm{‐}\mathrm{0,43}$.
De grenzen zijn $z=\mathrm{‐}\mathrm{0,43}$ en $z=\mathrm{0,43}$.

Bepaal met de GR het getal $a$ met $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$$=\frac{1}{4}$; je vindt $a=\mathrm{‐}\mathrm{0,67}$.
De drie grenzen bij de verdeling in vier stukken zijn: $z=\mathrm{‐}\mathrm{0,67}$, $z=0$ en
$z=\mathrm{0,67}$.
Bepaal met de GR de getallen $a$ met $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$$=\frac{1}{5}$ en $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$$=\frac{2}{5}$; je vindt $a=\mathrm{‐}\mathrm{0,84}$ en $a=\mathrm{‐}\mathrm{0,25}$.
De vier grenzen bij de verdeling in vijf stukken zijn: $z=\mathrm{‐}\mathrm{0,84}$, $z=\mathrm{‐}\mathrm{0,25}$, $z=\mathrm{0,25}$ en $z=\mathrm{0,84}$.

Met de GR: $\text{P}\left(X<985|1000;10\right)=\mathrm{0,0668}\dots$, dus $7$%.

Dat kan op twee manieren.

• Via standaardiseren.
  Bepaal met de GR het getal $a$ zó, dat $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$ $=\mathrm{0,02}$. Je vindt: $a=\mathrm{‐}\mathrm{2,05374}\dots$.
  Noem het gemiddelde waarop de machine ingesteld moet worden $\text{μ}$, dan $\frac{985-\text{μ}}{10}=\mathrm{‐}\mathrm{2,05374}\dots$, dus $\text{μ}=985+10\cdot \mathrm{2,05374}\dots$$\approx \mathrm{1005,5}$ gram.

• Los de volgende vergelijking in $x$ op met een tabel, grafiek of...
  $\text{P}\left(X<985|x;10\right)$ $=\mathrm{0,02}$.

Bepaal met de GR het getal $a$ zó, dat $\text{P}\left(X<a|1;0\right)$ $=\mathrm{0,28}$.
Je vindt: $a=\mathrm{‐}\mathrm{0,5828}$, dat is de gevraagde $z$-waarde.

Het kan weer op twee manieren

• Via standaardiseren.
  Noem de standaardafwijking $\text{σ}$, dan $\frac{62-54}{\text{σ}}=\mathrm{0,5828}$, dus $\text{σ}=\frac{62-54}{\mathrm{0,5828}}\approx \mathrm{13,7}$.

• Los de volgende vergelijking in $x$ op.
  $\text{P}\left(X<54|62;x\right)$ $=\mathrm{0,28}$.

Bepaal met de GR het getal $a$ zó, dat $\text{P}\left(X<a|62;\mathrm{13,7}\right)$ $=\mathrm{0,8}$.
Je vindt: $a=\mathrm{73,5}$. Je moet dus minstens $74$ punten halen.

$\text{P}\left(X\ge \mathrm{24,}n=\mathrm{40,}p=\frac{1}{3}\right)$ $=1-\text{P}\left(X\le \mathrm{23,}n=\mathrm{40,}p=\frac{1}{3}\right)$ $\approx \mathrm{0,0005}$

$\text{E}\left(X\right)=np\approx \mathrm{13,3}$ en $\text{sd}\left(X\right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}\approx \mathrm{2,98}$

Bepaal met de GR het getal $a$ met $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$ $=\mathrm{0,99}$. Je vindt: $a\approx \mathrm{2,3263}$.

$\text{E}\left(X\right)=np=\frac{1}{3}n$, $\text{sd}\left(X\right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{\frac{2}{9}n}$

$Z=\frac{X-\text{μ}}{\text{σ}}=$ $\frac{\mathrm{0,6}n-\frac{1}{3}n}{\sqrt{\frac{2}{9}n}}=$ $\frac{\mathrm{0,6}-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{2}{9}}}\cdot \frac{n}{\sqrt{n}}\approx \mathrm{0,5657}\sqrt{n}$

$\mathrm{0,5657}\sqrt{n}=\mathrm{2,3263}$, dus $n={\left(\frac{\mathrm{2,3263}}{\mathrm{0,5657}}\right)}^2\approx \mathrm{16,9}$, dus $n=17$ minimaal.

Als $n=17$, dan is minimaal $60$% minimaal $11$ vragen. $\text{P}\left(X\ge \mathrm{11,}n=\mathrm{17,}p=\frac{1}{3}\right)=1-\text{P}\left(X\le \mathrm{10,}n=\mathrm{17,}p=\frac{1}{3}\right)\approx \mathrm{0,008}$ en dat is minder dan $1$%.
Als $n=16$, dan is minimaal $60$% minimaal $10$ vragen. $\text{P}\left(X\ge \mathrm{10,}n=\mathrm{16,}p=\frac{1}{3}\right)=1-\text{P}\left(X\le \mathrm{9,}n=\mathrm{16,}p=\frac{1}{3}\right)\approx \mathrm{0,015}$, en dat is meer dan $1$%.

$\text{P}\left(X>110|96;5\right)=\mathrm{0,00255}\dots$, dus $\mathrm{0,3}$%.

Met standaardiseren.
Bepaal met de GR het getal $a$ met $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$ $=\mathrm{0,2}$. Je vindt: $a\approx \mathrm{‐}\mathrm{0,841...}$. Dus $\frac{77-80}{\text{σ}}=\mathrm{‐}\mathrm{0,841}\dots$, dus $\text{σ}=\frac{77-80}{\mathrm{‐}\mathrm{0,841}\dots }=\mathrm{3,56}\dots$.
Het kan ook met een tabel, of een vergelijking op de GR met $\text{P}\left(X<77|80;x\right)=\mathrm{0,2}$.

Met standaardiseren.
$8$ op de $1000$ auto's is $\mathrm{0,8}$%; bepaal met de GR het getal $a$ waarvoor $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$ $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$. Je vindt: $a=\mathrm{2,408}\dots$, dit is de $z$-waarde van $105$, dus $\frac{105-\text{μ}}{4}=\mathrm{2,408}\dots$, dus $\text{μ}=105-4\cdot \mathrm{2,408}\dots$$\approx \mathrm{95,4}$.
Het kan ook met een tabel of vergelijking met $\text{P}\left(X>105|x;1\right)$$=\mathrm{0,008}$.

De $z$-waarde van de grens van het gekleurde gebied bij vrouwen is $\frac{190-\text{μ}}{7}$ en bij mannen $\frac{\text{μ}-190}{7}$, dus het tegengestelde. Vanwege symmetrie geldt voor de standaardnormale verdeling $Z$ dat voor elk getal $a$ de kans dat $Z>a$ en de kans dat $Z<\mathrm{‐}a$ even groot zijn.

Tussen $5$ en $10$ procent is de gewichtstoename ongeveer $4$ kilo, tussen $90$ en $95$ procent ruim $8$ kilo.

Bijvoorbeeld: tussen $10$ en $50$ procent neemt de lengte toe met $5$ cm.
Met de GR zoek je het getal $a$ met $\text{P}\left(X<a|0;1\right)$ $=\mathrm{0,1}$. Je vindt: $a=\mathrm{‐}\mathrm{1,28}\dots$, dus $\frac{0-5}{\text{σ}}=\mathrm{‐}\mathrm{1,28}\dots$, dus $\text{σ}\approx \mathrm{3,9}$ cm.

Het is duidelijk dat er meer jongens dan meisjes zijn met een IQ boven de $120$. Met een hoger IQ zal de kans op een prijs groot zijn.

Bij jongens is de kans op een IQ groter dan $128$: $\text{P}\left(X>128|100;16\right)$ $=\mathrm{0,0400}\dots$, dus bij $500$ zijn er $500\cdot \mathrm{0,0400}\dots \approx 20$.
Bij meisjes is de kans op een IQ groter dan $128$: $\text{P}\left(X>128|100;14\right)$ $=\mathrm{0,0227}\dots$, dus bij $500$ zijn er $500\cdot \mathrm{0,0227}\dots \approx 11$.

Dat zijn er $20$ van de $31$, dat is $65$%.